第一章 走进数学世界全章回顾与测试
一、体系自主构建
答案：①三角形 ②长方形 ③圆（填其他平面图形也可以） ④长方体 ⑤圆锥 ⑥球（填其他立体图形也可以） ⑦角形 ⑧正方形 ⑨正六边形 ⑩1+2+…+n
二、思维方法点拨
1．本章采用观察、实验等方法，使学生体验到数学就在我们身边，感受数学的魅力，比如观察建筑物、地板砖等物体的形状，再如用正多边形拼地板，都激发了学生的学习兴趣．
2．分类讨论法
分类讨论是一种常用的数学思想方法，即研究有关一个数的问题时，通常把这个数分为正、零、负三种情况．研究有关两个数的问题时，通常把这两个数分为同号、异号和其中至少有一个为零三种情况；研究有关图形问题时，通常应考虑图形不同的位置关系等．
3．换元法
“换元法”是初中数学中把代数式“化繁为简”、“化大为小”的重要的思想方法，如果适当地运用“换元法”，可使解题过程简捷，提高解题速度．
三、经典例题剖析
1．观察、归纳、寻找规律
例1（05年济南市中考·课改卷）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25…则第10个数为_______．
分析：先确定第10个数所在行数．由图可知中间的数依次在第1、3、5、7…行，即第1个数在（2×1-1）行，第2个数在（2×2-1）行，第3、4个数分别在（2×3-1），（2×4-1）…行．由此可推断第10个数在（2×10-1）行，即19行；再确定每行数字个数，各行从上到下数字的个数为1，2，3，4，5，6，7…因此第19行有19个数；最后确定每行中的最大数．由图观察可知，每行最大数为到该行总共用数字的个数，因此第19行最大数字为：1+2+3+…+19=
=190，最中间的数为181．
答案：181
评注：观察、归纳法是重要的数学思维方法，解题关键是先找出不变的量，再找出变化的量与不变量（或两变化量）之间的关系，这是近几年中考的常见题．
例2 数一数图中有多少条线段，如图．
分析：可采用分类讨论法解，也可先找出过一个字母的所有线段，然后求和．
解法一：设每一段长为1个单位，则图中长为1个单位的线段有5条；长为2个单位的线段有4条；长为3个单位的线段有3条；长为4个单位的线段有2条；长为5个单位的线段有1条．故共有15条线段．
解法二：以A为其中一个端点的线段有5条；同理，以B，C，D，E，F为其中一个端点的线段各有5条，即共有30条，但在这30条线段中，图中的每一条线段都被重复计算了一次，如AB在以A为端点的线段时算了一次，在以B为端点的线段时又算了一次，故图中共有15条线段．
方法提炼：由本例解法二不难得出，当一条线段上有n个点（包括两端点）时，图形中共有线段1+2+3+…+（n-1）=
条．
2．在现实生活中的应用
例3（05年黄冈市中考·课改卷）阅读下列材料，解答问题．
饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节．东坡中学共有教学班24个，平均每班有学生50人．经估算，学生一年在校时间约为240天（除去各种节假日），春、夏、秋、冬季各为60天．原来，学生饮水一般都是购买纯净水（其他碳酸饮料或果汁价格更高），纯净水零售价为1.5元/瓶，每个学生春、秋、科季平均每天要买1瓶纯净水，夏季平均每天要买2瓶纯净水．学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买1台冷热饮水机，经调查，购买一台功率为500W的冷热饮水机约为150元，纯净水每桶6元．每班春、秋两季，平均每1.5天购买4桶，夏季平均每天购买5桶，冬季平均每天购买1桶，饮水机每天开10小时，当地民用电价为0.50元/度．
问题：（1）在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费________元．
（2）购买饮水机解决学生饮水问题后，请计算：每班当年共要花费多少元钱来购买纯净水饮用？
（3）这项便利学生的措施实施后，东坡中学一年要为全体学生共节省______元钱．
分析：（1）只需算出每个学生一年购买纯净水的瓶数乘以1．5元即可．（2）先算出购买纯净水的钱数．再加上电费及购买饮水机的钱数即可．
答案：（1）∵每个学生春、秋、冬季每天1瓶矿泉水，夏季每天2瓶．
∴一个学生在春、秋、冬季共要购买180瓶矿泉水；夏天要购买120瓶矿泉水．
∴一年中一个学生共要购买300瓶矿泉水．
即一个学生全年共花费1.5×300=450元钱．
（2）购买饮水机后，一年每个班所需纯净水的桶数为：春秋两季，每1.5天4桶，则120天共需
×4=320桶，夏季每天5桶，共要60×5=300桶．冬季每天1桶，共60桶．
∴全年共要纯净水（320+300+60）=680桶．
故购买矿泉水费用为：680×6=4080元．
使用电费为：240×10×
×0.5=600（元）．
故每班学生全年共花费：4080+600+150=4830（元）．
（3）∵一个学生节省的钱数为：450-
=353.4元．
∴全体学生共节省的钱数为：353.4×24×50=424080元．
评注：此题各种数据较多，解题时，我们可把数据进行归类．考查学生的理解能力和分析能力，解（2）时不要忘了加上购买饮水机的钱数．
3．逻辑推理
例4 他们是做什么（工作）的？
在一个小城镇里，居住着四个要好的朋友．他们分别是林涛、吉姆、李雷、汤姆．他们有着不同的工作，一个是农民，一个是医生，一个是木匠，一个是警察．一天，汤姆的儿子摔折了腿，于是汤姆就带着儿子去看医生，这个医生的姐姐是李雷的妻子．农民还没有结婚，他有许多良种母鸡，吉姆经常买这个农民的鸡蛋．警察每天都会看到李雷，因为他们是邻居．
分析：1．由农民还没有结婚可以推断出：
（1）汤姆不民农民（他有儿子）；（2）李雷不是农民（他有妻子）以及吉姆不是农民（他经常买农民的鸡蛋）．
由此，可以证明林涛是农民．
2．由汤姆带儿子看医生，可以推断出：
（1）汤姆不是医生；（2）李雷不是医生（李雷的妻子是医生的姐姐）以及林涛不是医生（上证为农民）．
由此，可以证明吉姆是医生．
3．由警察每天看到李雷，可以推断出：
（1）李雷不是警察以及李雷不是医生（上证）；（2）李雷不是农民（上证）．由此，可以证明李雷是木匠．
4．自然，汤姆是警察了．
答案：林涛（农民）；吉姆（医生）；李雷（木匠）；汤姆（警察）．
拓展延伸：推理能力是数学中的一种重要能力．
第一章走进数学世界全章测试
（时间：90分钟 满分：100分）
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．时钟3点整时，时针与分针的夹角为_____度，3点半时，时针与分针的夹角为_____度．
2．我们知道：
=1-
，
=-
，
=-
，…那么
=_________．
3．请找出6个不同的自然数，分别填入下面6个方框中，使等式成立．
4．如图1-3，在（1）中，互不重叠的三角形共有4个；在图（2）中，互不重叠的三角形共有7个；在图（3）中，互不重叠的三角形共有10个；则在第10个图形中，互不重叠的三角形共有______个．
5．按规律填数：
（1）9，18，15，30，27，54，□，□；
（2）1，3，11，43，□；
（3）4，11，32，95，□．
6．某学校的篮球场长A米，宽B米，它的长比宽多C米，周长为D米，面积为E平方米．现给出数字：86，13，420，15，28，若A，B，C，D，E分别代表所给数字中的某个数，则其中B=_______．
7．猜谜语：
（1）千人分在北上下（打一数学常用字）________；
（2）一人立在口上边（打一数学常用字）________．
8．“五一”节期间各大商场开始了打折促销活动，在同样一种服装，甲商场原标价为200元/件，现打8折出售；乙商场原标价为300元/件，现打6折出售，那么应到_______市场去买划算．
二、选择题（每小题3分，共24分）
9．一个数加上6，减去2，然后除以5得7，则这个数是（ ）
A．35 B．31 C．21 D．28
10．火车票上的车次号有两个意义，一个数字越小，表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198次为直快列车，301～398次为普快列车，401～598次为普客列车；二是单数与 双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京，根据以上规定，杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是（ ）．
A．20 B．119 C．120 D．319
11．请在下列数据中选择你的步长（ ）
A．50mm B．50cm C．50dm D．50m
12．一座楼房每上一层要走21级台阶，小娜家住在6楼，那么到小娜家共需走的台阶级数是（ ）
A．126 B．105 C．147 D．84
13．天安门广场的面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万分之一大约相当于（ ）
A．教室地面的面积 B．黑板面的面积
C．课桌面的面积 D．铅笔盒盒面的面积
14．一家三人（父亲、母亲、女儿）准备参加施行团外出旅游．甲旅行团说：“父母买全票，女儿按半价优惠”，乙旅行团说：“家庭旅游可按团体票计价，每人均按全价的
收费．”若这两家旅行社每人的原全票价都为100元，那优惠条件是（ ）
A．甲比乙优惠 B．乙比甲更优惠
C．甲与乙相同 D．与原票价有关
15．找出3，7，15，（ ），63的规律，在括号里应填上（ ）
A．46 B．27 C．30 D．31
16．（05年安徽省中考．课改卷）根据下图1-4所示，对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（ ）
A．a<c B．a<b C．a>c D．b<c
三、解答题（共52分）
17．（5分）计算202-201+200-199+…+4-3+2-1．
18．（9分）某商店出售一种商品，有如下几种方案：
（1）先提价10%，再降价10%；
（2）先降价10%，再提价10%；
（3）先提价20%，再降价20%．
问：这三种方案调价的结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？
19．（9分）如图1-5，盒子上挂着一串珠子，珠子有黑有白，其排列有一定规律．现在有一部分珠子放在盒内，请找出它们的排列规律，并回答下列问题：盒内有多少颗珠子？这一串珠子一共有多少颗？黑珠子有几颗？
20．（10分）清末大文豪俞樾先生，曾写过一首脍炙人口的五言诗，其中的一节是：
重重叠叠山，曲曲环环路；丁丁东东泉，高高下下树．
有趣的是，如果将它们改写成下面的竖式加法形式，它仍然是成立的．
以上4个加法等式，每个汉字都代表一个阿拉伯数字，要求在同一个式子中，凡相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，另外又必须遵守通常的书写习惯，例如两位数不能以0开头等等，请你想一想，能否通过简单的分析方法，求出这4个等式的答案？
21．（10分）小张、小李、小王出生在北京、上海、武汉，他们是歌唱、相声、舞蹈演员．已知：（1）小王不是歌唱演员；（2）小李不是相声演员；（3）歌唱演员不出生在上海；（4）相声演员出生在北京；（5）小李不出生在武汉．
根据以上信息，你能否分别确定他们的出生地和职业，请说明理由．
22．（9分）小明妈妈给客人烧水泡茶，洗水要用1分，烧开水要用15分，洗茶要用1分，洗茶杯要用1分，拿茶叶要用2分，小明估算一下，完成这些工作要花20分，为了让客人早点喝上茶，你认为怎样安排最合理，多少分钟能泡好茶？
数学与生活----ISBN国际标准书号
你一定有购买书籍的经验吧!不管是数学类、计算机类、游戏类、文学类……书籍，看看书本的封面或封底你一定可以发现一些相类似的条形码，例如：ISBN7-5617-2712-1，它的名字就叫做ISBN国际标准书写（International Standard BookNumber）简称为ISBN．这些阿拉伯数字有什么含义呢？ISBN国际标准书号一共分为四组10个号码：
第一组号码是国别语种识别代号：用以识别出版社所属的国家、语言、地域等．其中7代表中华人民共和国出版的中文书籍；
第二组号码是出版社识别代号：用以识别出版社．北京大家出版社的代号就是301；
第三组号码是书名版别代号：由出版社自行为新出版的书种或版本编配．
第四组号码是校验码：用以核对书号是否正确．
ISBN中的校验码是如何得到的呢？它是用10至2这9个数分别去乘标准书号的前9位数，其乘积之和加上校验码再除以常数11，如能整除，说明书号正确，如不能整除，说明书号错误．
答案:
1．90 75
2．
3．2 4 8 16 24 48
4．31 点拨：各个图形互不重叠的三角形依次为3+1，3×2+1，3×3+1，…，则第10个图形共有（3×10+1）个．
5．（1）51 102 （2）171 （3）284
6．15 点拨：A=28，B=15，C=13，D=86，E=420．
7．（1）乘 （2）倍
8．甲 点拨：甲商场售价：200×0.8=160（元），乙商场售价300×0.6=180（元）．
9．B 点拨：设这个数为x，有（x+6-2）÷5=7．
10．C 11．B
12．B 点拨：6楼需上5层台阶，需走21×（6-1）=105．
13．C 点拨：天安门广场的百万分之一的面积约为0.44平方米，约为课桌面的面积．
14．B 点拨：甲：2×100+100×=250（元），乙：100××3=240（元）．
15．D．点拨：后一个数是前一个数的2倍加1．
16．C 点拨：2个a=3个b，所以a>b；2个b=3个c，所以b>c，进而a>c．
17．解：原式=（202-201）+（200-199）+…+（4-3）+（2-1）=101．
18．解：设原价为a元，则（1）、（2）的结果是
a元；（3）的结果是
a元，三种方案都没有使出售价格恢复．
19．解：由排列找规律：一白一黑，一白二黑，一白三黑……盒内有[5+6+7+（8-2）]颗黑珠+3颗白球=27颗；共有1+2+3+…+10=55（颗）；黑珠子共有1+2+3+…+9=45（颗）．
20．解： 5 6 7 8
+56 +67 +78 +89
61 73 85 97
21．解：小张：出生在武汉，职业歌唱；小王：出生在北京，职业相声演员；小李：出生在上海，职业舞蹈．
理由：由条件（5）知，小李出生在北京或上海，如果小李出生在北京，由条件（4）知他是相声演员，与条件（2）矛盾，所以小李一定出生在上海；再由条件（2）、（3）知，小李一定是舞蹈演员，确定了小李的出生地和职业后，由条件（1）、（4）知，小王一定是相声演员，出生在北京．确定了小李、小王的出生地和职业后，小张一定出生在武汉，是歌唱演员．
22．16分最合理 点拨：应这样安排：先洗水壶，再烧开水，共计16分钟．在烧开水的过程中，可以顺便洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶．