第一届“南方杯”数学邀请赛试题
七年级（初一） 第2试
2006年4月23日 上午8：30至10：30
一、选择题（以下每题的四个选项中仅有一个是正确的，请将表示正确答案的选项的英文字母填写在答题卡中的表格内。每小题6分，共36分）
1、如图，A、B、C、D是数轴上的四个整数所对应的点，且B－A=C－B=D－C=1，而点a在A与B之间，点b在C与D之间，若 a ＋ b = 3，且A、B、C、D中有一个是原点，则此原点应是（ ）。
A、A或D B、B或D C、A D、D
2、若a、b、c三个数互不相等，则（a－b）（b－c）、（b－c）（c－a）、（c－a）（a－b） 中的正数个数一定是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3、在代数式
中，若x与y的值各减少25%，z的值增加25%，则代数式的值（ ）
A、减少
B、减少 
C、减少
D、减少
4、若有下列四个说法：
①若a、b是有理数，则a＋b＋1≥a－b－1。
②若a=b，则a－b=0或2a。
③－a一定是负数。
④若两个角不相等，则这两个角不是一组对顶角。
则正确的说法是：
A、①，②，③ B、②，④ C、④ D、①，④
5、使得
是一个整数的所有的正整数n的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
6、把4本两两不同的书全部分给甲、乙两个人，且每人至少分到一本书，则所有不同的的分配方法有（ ）
A、10 B、12 C、14 D、16
二、填空题：（请把你认为正确的答案填写在答题卡中的相应位置，每题9分，共54分）
7、若x、y都是有理数，且使得四个两两不相等的数x+4、2x、2y－3、y能分成两组，每组的两个数是互为相反数，则x＋y的值等于 。
8、如图，A、O、B三点在一条直线上，且O在A与B之间，另外四个点C、D、E、F在A、O、B上方依次分布，且∠BOD=∠COE=∠DOF=∠AOE。若∠BOC=26º，则∠COD的度数等于
。
9、有理数
的值等于
。
10、若只有一个正整数介于分数
与
之间，则所有这样的正整数n的和等于 。
11、若x≥0，y≥0，且3x＋y≤3，则x＋2y的最大值与最小值之和等于 。
12、设m、n是两个数，若关于a、b的两个式子
，
是两个同类项，则m＋n的值等于
三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。每题15分，共60分）
13、如图，在△ABC中，D是边AC的中点，点E在边AB上，且AE=2BE，BD与CE相交于点F，若△BEF的面积等于1，求△ABC和△ADE的面积。
14、已知x、y、z是三个非负数，并且满足3x＋2y＋z=5、2x＋y－3z=1，设k=3x＋y－7z，记a为k是最大值，b为k的最小值，试求ab的值。
15、一般地，对任意的实数x，可记x=[x]＋｛x｝。其中：
符号[x]叫做x的整数部分，表示不大于x的最大整数（例如[3]=3，[3.14]=3,[－3.14]=－4）；符号｛x｝叫做x的小数部分，即0≤x<1（例如{3.14}=0.14，{－3.14}=－0.86）。
试求出所有的x，使得13x＋5[x]=100.
16、求出所有有理数x、y、z，使得
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