第一讲 整数与整除的基本性质（一）
一、整数
基本知识：
关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。
十进制整数的表示方法
正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示
,四位数1254可以写成
,同样地用字母表示的两位数
,三位数
, n 位整数表示为
，（其中ai是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n –
1,…,2,1,其中an
）并且
经典例题：
例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）
1995 
1683
1579
1401
解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选
例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去
，仍得原数，这个两位数是（ ）
26
28
36
38
解：设这个两位数为，由题意，得
，
即 
由于
为偶数，
必须为偶数，排除
又由于
是7的倍数，故选
（此题也可以直接来解是7的倍数，故有
返回有
）
例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是
。（91年“缙云杯”初中数学邀请赛）
解：设这个两位数为，由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小，所以加上2后发生了进位，由题意，得
，
，又由于
后有进位，
同时对应的分别为6与5，这两个数为68或59。
例4、一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是。
（91年南昌市初中数学竞赛题）
解：
四个数位上的数字之和最多不会超过36，这个四位数的千位和百位数字分别是1和9，故设这个四位数为
，
，整理得
，又
且为整数，
这个四位数为1972。
例5、若三位数与组成该三位数的各位数字之和的比值为
（如三位数234，则
），求的最大值和最小值。
解：设这个三位数
，
，
显然
，当其值为0时，即
时，最大，其值为
，当
最大时，最小，即
时，最小为
二、能被一个数整除的数的特征
基础知识：1、能被2或5整除的数，它的末位数字能被2或5整除
2、能被4或25整除的数，它的最后两位数能被4或25整除。
3、能被8或125整除的数，它的最后三位数能被8或125整除。
4、能被3或9整除的数，它的各数位上的数字之和能被3或9整除。
5、能被11整除的数，它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。
6、0能被任何非零整数整数，
能整除任何整数。
要判断某数能否被一个合数整除，只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积，若这个整数能分别被这两个约数整除，则这个数能被这个合数整除。
经典例题：
例6、能被11整除的最小九位数是多少？
解：若某数可被11整除，则其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差位11的倍数，要这样的数最小，首先取1，十位取1，其余数位取0，即所求数为。
例7、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个。
解：要求这样的四位数中最大的一个，因而设这个四位数为
，要使
为4的倍数，且要最大，故
。 
要能被9整除，
能被9整除，故
例8、两个三位
的和
能被37整除，证明：六位数
也能被37整除。（第八届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）
证明：
，
又
而
，
例9、已知一个七位自然数
是99的倍数（其中
是0到9中的某个数字），试求
的值，简写出求解过程。（第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）
题难：分析是99的倍数，而99
，故分别是9和11的倍数
由被9，11数整除的数的特点而解此题。
解：
，
是9的倍数，
即
（
为自然数） 
，
。
，或
或
，
即 
故
是11的倍数
又
，即
同奇偶，
或 
（不合题意，舍去）
备选题：
类：
1、 设六位数
是4的倍数，且它被11除的余数是5，求a+b的值.
（六位数是4的倍数，有
，故
或6；又它被11除的余数是5
易得1）、当，
，
是11的倍数，故
2）、当，11
，
是11的倍数，无解。）
2、 如果个六位数
能被33整除，这样的六位数共有多少个？
（易得
，及
，及
易得解
或
或
故有3组，分别为192192、195195、198198。
3、 求一个四位数，它等于抹去它的首位数字后剩下的三位数的3倍减去42。
（
整理得
得
代入得
）
4、
是数0到9的数字，
，
（“缙云杯”初中数学邀请赛试题）
5、一个五位数
能被3整除，它的最末两位数字组成的数
能被6整除，求这个五位数。
类：
1、
如果十位数
能被99整除，其中
是未知数，则
。（第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题）