第三章：分式
一、中考要求：
1．经历用字母表示现实情境中数量关系(分式、分式方程）的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感．
2．经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．
3．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）会检验分式方程的根．
4．能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．
5．通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值．
二、中考卷研究
(一)中考对知识点的考查：
2部分省市课标中考涉及的知识点如下表:
| 序号 | 所考知识点 | 比率 |
| 1 | 分式的运算 | 2~7% |
| 2 | 分式方程及其应用 | 1.5~9% |
| 3 | 分式有意义时字母取值范围 | 1.7~2.5% |
| 4 | 分式值为零时求字母的值 | 2.5~3.3% |
| 5 | 化简求值题 | 2.5~9% |
(二)中考热点：
本章多考查分式的意义、性质，运算也是中考热点之一，另外分式方程及其应用也是热点考题．本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力．
三、中考命题趋势及复习对策
本章内容是中考命题的重要内容之一，在中考中占有一定的比例，命题的形式有填空、选择、计算、解答题，占4～12分，主要考查学生对概念的理解和运用基础知识、计算、分析判断的能力．
针对中考命题趋势，在复习时应夯实基础知识，锻炼计算能力，还应在方程的应用上多下功夫、加大力度，多观察日常生活中的实际问题．
★★★(I)考点突破★★★
考点1：分式的运算
一、考点讲解：
1．分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
注：（1）若B≠0，则有意义；（2）若B=0，则无意义；（2）若A=0且B≠0，则=0
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分
式的加减法则进行计算．
6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后
再与被除式相乘．
7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分
母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
二、经典考题剖析：
【考题1－1】（2004、南宁，2分）当x____时，分式有意义．
解：≠1
点拨：考查分式有意义的条件1－x≠0，即x≠1．
【考题1－2】（2004、青岛）化简：
解：－1
【考题1－3】（2004、贵阳，8分）先化简，再求值：
，其中
.
解：原式=
=
当
原式=
【考题1－4】（2004、宁安）先将
化简，然后请你自选一个合理的
值，求原式的值。
解：=
点拨：中要x不取0或－1，取其他值计算均可，取值保证分式有意义.
三、针对性训练：
1．已知分式
当x≠______时，分式有意
义；当当x=______时，分式的值为0．
2．在
中，
整式和分式的个数分别为（ ）
A．5，3 B．7，1 C．6，2 D．5，2
3．若分式
的值为0，则x的值为（）
A．x=－1或x=2 B、x=0 C．x=2 D．x=－1
4．计算
所得正确结果为（
）
5．若将分式(a、b均为正数）中的字母a、b的值
分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
6．化简
的结果是（
）
A．
7．先化简后求值：
其中x=－4．
8．求值：
9．先化简代数式
然后请你自取一组a、b的值代入求值．
10 已知△ABC的三边为a，b，c，
=
，试判定三角形的形状．（N）
11 已知：
．
12 已知
的值．
13 已知
的值．
14 计算：
考点2：分式方程及其应用
一、考点讲解：
1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题：
⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；
⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．
4．分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题．
二、经典考题剖析：
【考题2－1】（2004、海口）把分式方程
的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ）
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
解：D．点拨：分式方程在去分母时，方程右边的常数 1也要乘以（x—2）．
【考题2－2】（2004、湟中，3分）正在修建的西塔（西宁～塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、乙两队合作，12天可以完成．若没甲单独完成这项工程需要x天．则根据题意，可列方程为_______________-
解：
点拨：此题考查方程的应用，找到数量之间的相等关系是解题关键．
【考题2－3】（2004、潍坊，3分）
解：x=± 点拨：去分母时应注意方程右边的常数1也要乘以（x+1） （x－1）
【考题2－4】（2004、北碚）方程
的解是________
解：x= 点拨：考查分式方程的解法，注意验根，
，所以x=
经检验，x= 是原方程的根。
【考题2－5】（2004、青岛，6分）某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的
水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格．
解：设市去年居民用水的价格为x元／m3，则今年用水价格为(1+25％) x元／m3．根据题意，得
经检验，x=1．8是原方程的解．所以(1+25％）x
=2．25．
答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m3．
点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的
用量=6m3.
三、针对性训练：
1．把分式方程 化为整式方程正确的是
A．2（x+ 1）－ l＝－x2
B．2（x+ 1）－x（x+ 1）=－x
C．2（x+ 1）－x（x+ 1）=－x2
D．2x－x（x+ 1）=－x2
2．满足分式方程
的x值是（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．0
3．当=_____时，方程
的根为
4．如果
，则 A=____
B＝________.
5．分式方程
有增根x=1，则
k的值为________
6．若方程
有增根，则增根为_____，
a=________.
7．解方程：
8．甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？
9．小朋家准备装修一套新住房．若甲、乙两个装饰公
司合作，则需6周完成，需工钱5．2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周才能完成，需工钱4．8万元．若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司，还是选乙公司？请你说明理由．
10 华联超市用50000元从外地采购一批“T恤衫”，由于销路好，商场又紧急调拨18．6万元采购比上次多2倍的“ T恤衫”，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6．5折处理并很快售完，求商场在这笔生意上盈利多少元？
11 已知方程
的解
相同，则a等于（ ）
A．3 B．－3 C、2 D．－2
12 当 k等于（
）时，
是互为相反
A． B. C. D.
★★★(II)2005年新课标中考题一网打尽★★★
【回顾1】（2005、 临沂）化简：
的结果是( )
A．－4a B． a C． 2a D． 2a+4
【回顾2】（2005、内江）在一个越陷越深仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则。与n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m<n C．m=n D．不能确定
【回顾3】（2005、江西，3分）某商店销售一批服装每件售价150元，可获利25％，求这种服装的成本价，设这种服装的成本价为x元，则得到方程（ ）
A、
B、
C、
D、
【回顾4】（2005、杭州，4分）当m=______ 时，分式 
的值为0.
【回顾5】（2005、江西）化简：
【回顾6】（2005、内江）解方程：
【回顾7】（2005、南充）化简：
【回顾8】（2005、重庆，10分）先化简，再求值：
，
【回顾9】（2005、海淀，5分）先化简，再求值：
，m=－2
【回顾10】（2005、安徽，8分）请将下面的代数式尽可能化简，要选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：2a－（a－1）+
【回顾11】（2005、武汉，5分）先化简，再求值:
【回顾12】（2005、河北，7分）已知x=，求 ·(1－)
【回顾13】（2005、河南，8分）有一道题“先化简，再求值：
，其中
。”小玲做题时把“
”错抄成了“
”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
【回顾14】（2005、绍兴，8分）已知：P=
， Q=(x+y)2 －2y(x-y)，小敏、小聪每人在x－2，y—2的条件下分别计算了P和Q的值，小敏说P的值比Q大，小聪说C的值比P大．请你判断谁的结论正确，并说明理由．
【回顾15】（2005、南充，8分）列方程，解应用题：
某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天多加工10个，一共用 5天完成了任务．求改进操作方法后每天加工的零件个数．
【回顾16】（2005、安徽，10分）2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km缩短至154 km，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．
【回顾17】（2005、嘉峪关，8分）就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．
【回顾18】（2005、山东，6分）已知x=+1，求
的值。
【回顾19】（2005、桂林，6分）化简求值：
【回顾20】（2005、江苏）计算：
【回顾21】（2005、陕西）化简：
(
.
★★★(III)2006年中考题预测★★★
(5100分 45分钟) 答案(250 )
一、基础经典题(52 分)
(一)选择题(每题4分，共20分)
【备考1】如果把中的x、y都扩大5倍，那么
分式的值（ ）
A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍
【备考2】化简
的结果是（
）
【备考3】下列各式从左到右的变形不一定正确是（ ）
【备考4】若关于x的方程
有增根，则m的值等于（ ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．3
【备考5】新兴化肥厂原计划每天生产化肥x吨，由
于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨所用的时间相等，那么适合x的方程是（ ）
（二）填空题（每题 4分，共 20分）
【备考6】分式
【备考7】若
【备考8】解分式方程
得x=1，
则x=1是原方程的___________.
【备考9】若
=___
【备考10】若关于x的方程
无解，则m的值为________.
（三）计算题（每题6分，共12分）
【备考11】化简：
【备考12】解方程：
.
二、学科内综合题(8分)
【备考13】当m为何值时，关于x的方程
的解是正值？
三、实际应用题（每题 8分，共 16分）
【备考14】甲、乙两地相距200千米，一艘轮船从甲
地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水流的速度为4千米／时，回来时所用的时间是去时的
，求轮船在静水中的速度．
【备考15】有一桶纯酒精，倒出8升后用水补满，然
后再倒出4升后，又用水补满，这时酒精溶液中有水10升，求这个桶的容积．
四、渗透新课标理念题（每题12分，共24分）
【备考16】阅读理解题）先阅读下列一段文字，然后
解答问题：
已知：方程
方程
方程
方程
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10 =10的解，并写出检验．
【备考17】(阅读理解题）阅读下面的解题过程，然后
解题：
题目：已知
求x+y+z+的值
解：设=k, 
，
，
仿照上述方法解答下列问题：
已知：
