第七章一元一次不等式精讲精练(2)
一、重点难点提示
重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。
难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。
二、学习指导：
1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。
2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（我们主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。
3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。（注意借助于数轴找公共解）
4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）
| 类型（设a>b）不等式组的解集 | 数轴表示 |
| 1. |
|
（同大型，同大取大）x>a
（同小型，同小取小） x<b
（一大一小型，小大之间） b<x<a
（比大的大，比小的小空集）无解 
三、一元一次不等式组的解法
例1.解不等式组
，并将解集标在数轴上
分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。
|
| 步骤： |
| 解：解不等式(1)得x> |
（借助数轴找公共部分） （3）写出不等式组解集 |
例2.解不等式组
解：解不等式(1)得x>-1,
解不等式(2)得x≤1, 
解不等式(3)得x<2,
∴ 
∵在数轴上表示出各个解为：
∴原不等式组解集为-1<x≤1
注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。
例3.解不等式组
解：解不等式(1)得x>-1,
解不等式(2), ∵x≤5, ∴-5≤x≤5,
∴
将(3)(4)解在数轴上表示出来如图，
∴ 原不等式组解集为-1<x≤5。
∴
四、一元一次不等式组的应用。
例4.求不等式组
的正整数解。
|
| 步骤： |
| 解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3， |
2、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整数解。 |
≤1得x≤2，
例5，m为何整数时，方程组
的解是非负数？
分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即
。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。
解：解方程组
得
∵方程组的解是非负数，∴
即 
解不等式组
∴此不等式组解集为
≤m≤
,
又∵m为整数，∴m=3或m=4。
例6，解不等式
<0。
分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1) 
或(2)
因此，本题可转化为解两个不等式组。
解：∵<0,
∴(1) 
或(2) 
由(1)
∴无解，
由(2)
∴-
<x<
, ∴原不等式的解为-<x<。
例7.解不等式-3≤3x-1<5。
解法（1）:原不等式相当于不等式组
解不等式组得-
≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。
解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6,
将这个不等式的两边和中间都除以3得，
-≤x<2,
∴原不等式解集为-≤x<2。
例8.x取哪些整数时，代数式
与代数式
的差不小于6而小于8。
分析：(1)“不小于6”即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决，
解：由题意可得，6≤-<8,
将不等式转化为不等式组，
∴
∴解不等式(1)得x≤6, 解不等式(2)得x>-
,
∴ 
∴原不等式组解集为-<x≤6,
∴-<x≤6的整数解为x=±3, ±2, ±1, 0, 4, 5, 6。
∴当x取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。
例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。
分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。
解法（1）:设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),
由题意可得：20<10x+(x+2)<40,
解这个不等式得，1
<x<3
,
∵x为正整数，∴1<x<3的整数为x=2或x=3，
∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24,
当x=3时，∴10x+(x+2)=35,
答：这个两位数为24或35。
解法（2）:设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y,
由题意可得
（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。
将(1)代入(2)得，20<11x+2<40,
解不等式得：1<x<3,
∵x为正整数，1<x<3的整数为x=2或x=3,
∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24,
当x=3时，y=5, ∴10x+y=35。
答：这个两位数为24或35。
解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。
例10.解下列不等式：
(1)
≤4； (2)
<0；
(3)(3x-6)(2x-1)>0。
（1）分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识x<a, (a>0)可知-a<x<a, 将其转化为
；若x>a, (a>0)则x>a或x<-a。
解：≤4,
-4≤≤4,
∴由绝对值的定义可转化为：
即 
解不等式(1)，去分母：3x-1≥-8, 解不等式(2)去分母：3x-1≤8,
移项：3x≥-8+1, 移项：3x≤8+1,
合并同类项：3x≥-7 合并同类项：3x≤9,
系数化为1，∴x≥-
, 系数化为1：∴x≤3,
∴
， ∴原不等式的解集为-≤x≤3。
（2）分析：不等式的左边为是两个一次式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零。它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题。
解：∵ <0， ∴3x-6与2x+1异号，
即：I 
或II 
解I的不等式组得
, ∴不等式组无解，
解II的不等式组得
, ∴不等式组的解集为-<x<2,
∴原不等式的解集为-<x<2。
（3）分析：不等式的左边是(3x-6)(2x+1)为两个一次式的积的形式，右边是零。它可以理解为“当x取何值时，两个一次式的积是正数？”由乘法的符号法则可知只要两个因式同号，积就为正值。因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。
解：∵ (3x-6)(2x+1)>0, ∴(3x-6)与(2x+1)同号，
即I
或II 
解I的不等式组得
, ∴不等式组的解集为x>2,
解II的不等式组得
, ∴不等式组的解集为x<-,
∴原不等式的解集为x>2或x<-。
说明：ab>0(或
>0)与ab<0（或<0）这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。这类问题一般转化如下：
（1）ab>0(或>0),
∴a、b同号，
即I
或II 
, 再分别解不等式组I和II，
如例10的（3）题。
（2）ab<0（或<0）,
∵ab<0(或<0),
∴a、b异号，
即I
或II
,
再分别解不等式组I和不等式组II。
例11.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式
-1<
, 并且满足方程3(x+a)=5a-2试求代数式5a3-
的值。
分析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为x值。再将x值代入方程3(x+a)=5a-2，转化成a的方程求出a值，再将a代入代数式5a3-即可。
解：∵整数x满足3x-4≤6x-2和-1<,
∴x为
，解集的整数值，
解不等式(1)，得x≥-, 解不等式(2)得，x<1,
∴
的解集为-≤x<1。
∴-≤x<1的整数x为x=0,
又∵x=0满足方程3(x+a)=5a-2,
∴将x=0代入3(x+a)=5a-2中, ∴3(0+a)=5a-2, ∴a=1,
当a=1时，5a3-=5×13-
=4,
答：代数式5a3-的值为4。
一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧
(提高部分)
已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。
一、化简不等式（组），比较列式求解
例1．若不等式
的解集为
，求k值。
解：化简不等式，得x≤5k，比较已知解集，得
，∴
。
例2．（2001年山东威海市中考题）若不等式组
的解集是x>3，则m的取值范围是（ ）。
A、m≥3 B、m=3 C、m<3 D、m≤3
解：化简不等式组，得
，比较已知解集x>3，得3≥m, ∴选D。
例3．（2001年重庆市中考题）若不等式组
的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_____。
解：化简不等式组，得
∵ 它的解集是-1<x<1，
∴ 
也为其解集，比较得
∴(a+1)(b-1)=-6.
评述：当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。
二、结合性质、对照求解
例4．（2000年江苏盐城市中考题）已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为
，则a的取值范围是（ ）。
A、a>0 B、a>1 C、a<0 D、a<1
解：对照已知解集，结合不等式性质3得：1-a<0, 即a>1，选B。
例5．（2001年湖北荆州市中考题）若不等式组
的解集是x>a，则a的取值范围是（ ）。
A、a<3 B、a=3 C、a>3 D、a≥3
解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集x>a,得a≥3, ∴选D。
变式（2001年重庆市初数赛题）关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是
，则关于x的不等式ax+b<0的解集为______。
三、利用性质，分类求解
例6．已知不等式
的解集是
，求a的取值范围。
解：由解集得x-2<0,脱去绝对值号，得
。
当a-1>0时，得解集
与已知解集矛盾；
当a-1=0时，化为0·x>0无解；
当a-1<0时，得解集
与解集等价。
∴
例7．若不等式组
有解，且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内，求a的取值范围。
解：化简不等式组，得
∵它有解，∴ 5a-6<3a
a<3；利用解集性质，题意转化为：其每一解在x<-1或x>4内。
于是分类求解，当x<-1时，得
，
当x>4时，得4<5a-6a>2。故
或2<a<3为所求。
评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在a≤x<b 范围内的不等式(组)，也可分x<a或x ≥b 求解。(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。
四、借助数轴，分析求解
例8．（2000年山东聊城中考题）已知关于x的不等式组
的整数解共5个，则a的取值范围是________。
解：化简不等式组，得
有解，将其表在数轴上，
如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4<a≤-3。
变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求a的范围。
(2)若上不等式组无整数解，求a的范围。(答：(1)-1<a≤0；(2)a>1)
例9．关于y的不等式组
的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。
解：化简不等式组，得 
其解集为
借助数轴图2得
化简得 
,
∴ 
。
评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点4、B的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。
五、运用消元法，求混台组中参数范围
例10. 下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表。某食品公司准备将三种食品混合成100kg，混合后每kg含硒不低于5个单位含量，含锌不低于4.5个单位含量。要想成本最低，问三种食品各取多少kg?
|
| A | B | C |
| 硒（单位含量/kg） | 4 | 4 | 6 |
| 锌（单位含量/kg） | 6 | 2 | 4 |
| 单位（元/kg） | 9 | 5 | 10 |
解 设A、B、C三种食品各取x，y，z kg，总价S元。依题意列混合组
视S为参数，(1)代入(2)整体消去x+y得：4(100-z)+6z≥500z≥50,
(2)+(3)由不等式性质得：10(x+z)+6y≥950,
由(1)整体消去(x+z)得: 10(100-y)+6y≥950y≤12.5，
再把(1)与(4)联立消去x得：S=900-4y+z≥900+4×(-12.5)+50,即S≥900。
∴ 当x=37.5kg, y=12.9kg, z=50kg时，S取最小值900元。
评述：由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式：由几个方程联立消元，用一个(或多个)未知数表示其余未知数，将此式代入不等式中消元(或整体消元)，求出一个或几个未知数范围，再用它们的范围来放缩(求出)参数的范围。
涉及最佳决策型和方案型应用问题，往往需列混合组求解。作为变式练习，请同学们解混合组
其中a, n为正整数，x，y为正数。试确定参数n的取值。