第三讲 实数的若干性质和应用
实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．
用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．
性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．
例1
分析 要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．
证 设
两边同乘以100得
②-①得
99x=261.54-2.61=258.93，
无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理
是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．
性质2 设a为有理数，b为无理数，则
(1)a+b，a-b是无理数；
有理数和无理数统称为实数，即
在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．
例2
分析
证
所以
分析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．
证 用反证法．
所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得
4m2＝2q2，q2＝2m2，
例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．
分析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．
证 将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则
反之，显然成立．
说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质．
是无理数，并说明理由．
整理得
由例4知
a＝Ab，1=A，
说明 本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结
有理数作为立足点，以其作为推理的基础．
例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．
分析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．
证 因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以
说明 构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．
例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？
即
由①，②有
存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
b4+12b3+37b2+6b-20
的值．
分析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．
14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．
b4+12b3+37b2+6b-20
=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20
=(b2+6b)2+(b2+6b)-20
=52+5-20=10．
例9 求满足条件
的自然数a，x，y．
解 将原式两边平方得
由①式变形为
两边平方得
例10 设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…an…是有理数．
分析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…an…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．
证 计算an的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，说明0.a1a2…an…是由20个数字组成循环节的循环小数，即
下面证明ak+20=ak．
令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而
f(n+20)-f(n)
=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2
=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．
由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2…an…是一个有理数．
练习三
1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？
5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：
α=β=0．
