数学竞赛辅导资料（4）
数的整除性
定义 设a，b是整数，b≠0。如果有整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作ba。
1、 关于整除的若干性质
性质1：如果ab，bc，那么ac。如28，824，224。
性质2：k是任意整数，若ba，则bka。如26，5是整数且5×6=30，则230。
性质3：如果ab，ac，那么a(b±c)。如26，28，必有2（6±8）。
性质4：如果mab，（m，a）=1，那么mb。如39×7，（3，7）=1，必有39。
注：我们用符号（m，a）表示m，a两数的最大公约数。如果（m，a）=1，那么称m，a两数互质。[a，b]表示a，b两数的最小公倍数。
性质5：如果ac，bc，且（a，b）=1，那么abc。如321，721，且（3，7）=1。必有3×7=2121
性质6：如果am，bm，那么[a，b]m。
例1 如果n是自然数，n3＋11n必能被6整除。
【分析】n3＋11n是关于n的多项式，可通过多项式的变形，达到其被6整除的目的。
【解】n3＋11n= n3－n＋12n = n(n2－1)＋12n = (n－1)n(n＋1)＋12n
因为(n－1)，n，(n＋1)是三个连续的自然数，所以必有一个是偶数，且必有一个是3的倍数，(n－1)n(n＋1)可被2与3的乘积6整除，而12n显然可被6整除。所以n3＋11n必能被6整除。
【评注】此题中，我们同时证明了三个连续自然数的乘积必能被6整除。
2、整数的整除的常用判别方法
①被4整除的数的判别：一个数的末两位数字组成的数能被4整除，则该数必能被4整除。
②被8整除的数的判别：一个数的末三位数字组成的数能被8整除，则该数必能被8整除。
③被9整除的数的判别：一个数的各位数字之和能被3整除，则该数必能被9整除。
④被11整除的数的判别：一个数自右至左所有偶数位上的数的和与奇数位上的数的和的差能被11整除，则该数必能被11整除。
例2 判定能否被11整除。
【分析】这是一个七位数，可考虑先求出其奇数位上4个数的和与其偶数位上3个数的和，利用④解之。
【解】∵4＋3＋8＋2=17，0＋9＋8=17，
∴17－17=0，0能被11整除。
∴该数能被11整除，即11
练习1
1．下列各数中能被3整除的数是（ ）
A、54327 B、64531 C、527 D、7321
2．下列各数中能被4整除的数是（ ）
A、534 B、724 C、962 D、3350
3．下列各数中能被8整除的数是（ ）
A、3462 B、7432 C、5948 D、9754
4．下列各数中能被9整除的数是（ ）
A、60847 B、3514 C、31196 D、71235
5．下列各数中能被11整除的数是（ ）
A、 B、632473 C、 D、300121
6．试证：
能被11整除。
7．当n为整数时，求证：n(n＋1)(2n＋1)为6的倍数。
8．已知782＋8161能被57整除，求证：783＋8163也能被57整除。