初中数学夏令营赛前专题训练（四）
组合（B）
1、从1，2，……，16中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质。
2、（1）用1×1，2×2，3×3三种型号的正方形地板砖铺设23×23的正方形地面，请你设计一种铺设方案，使得1×1的地板砖只用一块。
（2）请你证明：只用2×2，3×3两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺满23×23的正方形地面而不留空隙。
3、平面上给定四个点，两两连结这四点的诸直线不平行，不垂直，也不重合。过每一点作其余三点两两连结的直线的垂线，若不算已知的四点，这些垂线间有多少个不同交点？证明你的结论。
4、（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法。
（b）能否在平面上画出7条直线（任意三条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交？如果能请画出一例，如果不能请简述理由。
5、用24个面积为1的单位正三角表拼成如图所示的正六
边形，我们把面积为4的正三角形称为“希望形”。
（1）请你回答，图中共可数出多少个不同的“希望形”？
（2）将1～24这二十四个自然数填入二十四个单位正三角
形中（每个里只填一个数）。我们依次对所有“希望形”中的四
个单位正三角形中填的数同时加上一个相同的自然数称为一次操作，问能否经过有限次操作后，使图中二十四个单位正三角形中都变为相同的自然数？如果能，请给出一种填法，如果不能，请简述理由。
6、（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏的地分割成8个正方形（分得的正方形大小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形。
（2）试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体（分得的立方体大小可以不相同）。