初中数学夏令营赛前专题训练（三）
组合（A）
1、圆周上有12个点，其中有一个点涂了红色，还有一个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称双色多边形，只包含红点（蓝点）的称红色（蓝色）多边形，不包含红点及蓝点的称无色多边形。
试问：以这12个点为顶的所有凸多边形（边数可以从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪种多？多多少个？
2、如图所示，有一个正方体形的铁丝架，把它的侧棱
中点I、J、K、L也用铁丝连上。
（1）现在一个蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，问最
近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来（用所
经过的连结点字母表示，譬如蚂蚁从A点出发，经过I点、
L点，最后到达H点，这样的路线用AILH表示）。
（2）蚂蚁是否可能从A点出发，沿着铁丝经过每一个连结点恰好一次，最后到达G点？如果可能，请找出一条这样的路线；如果不可能，说明为什么？
3、在平面内有n条两两不平行的直线，并过其中任意两条直线的交点还有一条已知直线。求证：这n条直线都通过同一个点。
4、平面上给定了2n个点，其中任意三点不共线，并且n个点染成了红色，n个点染成了蓝色，证明：总可以找到两两没有公共点的n条直线段，使得其中每条线段的两个端点具有不同的颜色。
5、在一次有n个足球队参加的循环赛中（即每一队必须同其余各个队进行一场比赛），每场比赛胜队积2分，平局各积1分，败队积0分，结果有一队积分比其他各队都多，而胜的场次比其他任何一队都少，求n最小的可能值。
6、从数1，2，3，……，1995中任意取出n个不同的数（1≤n≤1995）形成一组叫做一个n元数组，如（1，2，3，4）就是一个四元数组，（4，8，12，20，32）就是一个五元数组。现要给出一个自然数k，使得每一个k元数组中总能找到三个不同的数，此三数能构成一个三角形的三边长，则给出的k至少是多少时才能满足要求？证明你的结论。