初中数学夏令营赛前模拟试题（六）
第一试
1、命题（*）：设a，b，c是非负实数，如果a4+b4+c4≤2（a2b2+b2c2+c2a2），
则a2+b2+c2≤2（ab+bc+ca）
（1）证明命题（*）是正确的；
（2）试写出命题（*）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由。
2、如图, 在锐角△ABC的BC边上有两点E、F，
满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是
垂足），延长AE交△ABC的外接圆于点D。证明：四边
形AMDN与△ABC的面积相等。
3、将平面上每个点都以红、蓝两色之一着色，证明：存在有两个内角分别为
、
，且它们的夹边长为2001的三角形，三个顶点同色。
第二试
1、已知
=2，那么（sinθ+3）（cosθ+2）=
。
2、半径为1，2，3的三个圆两两外切，并且这三个圆都内切于⊙O，则⊙O的半径等于 。
3、设x、y∈R+，且
=1，则x+y的最小值是
。
4、某工厂产值连续三个持续增长，年平均增长率为p，假设这三年的增长率分别为x1、x2、x3，则x1+x2+x3的最小值是 。
5、函数y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5在[－3，3]上的最小值是 。
6、凸四边形ABCD中，∠ABC=60°,∠BAD=∠BCD=90°，
AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，如图，则sin∠AOB
= 。
7、函数y=ax2+bx+c的图象是开口向下的抛物线，a、b、c各不相等，且都在集合A={
n ≤5，n∈Z}中取值，则这些抛物线中通过点（0，－1）的有 条。
8、已知tgα=
,其中a、b为常数，且a2+b2≠0，则（a2+b2）sinαcosα－abcos2α的值为
。
9、设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一，若在5次之内跳到D点，则停止跳动，若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共
种。
10、数100！的各位数字从右面向左看时（即从个位数、十位数、……看过去），第一个不是0的数字是 。
初中数学夏令营赛前专题训练（一）
数论（A）
1、某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券，证明：这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
2、在黑板上写出下面的数2，3，4……，2001。甲先去擦其中的一个数，然后乙再擦去一个数和，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由（注：两数互质是两个数无1以外的公约数，如2与5互质，3与15不互质）。
3、设a,b,c,d是四个整数, 且使得m = (ab +cd)2－
(a2+b2－c2－d2)是个非零整数, 求证: m 一定是个合数.
4、试找出由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的七位数中，能被165整除的最大数和最小数（要求写出推理过程）。
5、已知n为正整数, 且 n2－71能被7n+55整除, 试求n 的值.
6、41名运动员所穿的运动衣号码是1，2，3，……，40，41这41个自然数。问（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码数之和都是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意邻两个运动员的号码数之和都是质数？
若能办到，请举一例，若不能办到，请说明理由。
初中数学夏令营赛前专题训练（二）
数论（B）
1、求自数n，使Sn=9+17+25+……+（8n+1）=4n2+5n为完全平方数。
2、（1）计算凸九边形所有对角线条数以及以凸九边形的顶点为顶点的所有三角形个数；（2）在凸九边形每个顶点处任意写一个自然数，以这九边形的顶点为顶点的三角形中，若三个顶点所标三数之和为奇数，则称该三角形为奇三角形；三数之和为偶数，则称为偶三角形。试证明：奇三角形个数必为偶数。
3、（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和。
（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？
（3）一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？
4、已知1996个自然数a1，a2，……a1996两数的和能被它们的差整除，现设n=a1·a2·a3·……·a1996
求证：n，n+a1，n+a2，……，n+a1996这1997个数仍满足上述条件。
5、将自然数1，2，3，……，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33。
6、用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x厘米规格的地砖，恰需n块；若选用边长为y厘米规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，y，n都是整数，且x，y互质，试问这块地有多少平方米？