初中数学夏令营赛前专题训练（15）（综合训练）

初中数学夏令营赛前专题训练（十五）

综 合 训 练

1. 设a, b, c 正整数, 且满足, 试证: 当(a,b,c)=1时, a+b必为一完全平方数.

2. 如图, P是△ABC形内一点, 自P向三边BC, CA, AB作垂线段PL,PM,PN, 点L,M,N为垂足. 若PL, PM, PN这三边可以组成一个三角形, 求P点所在的区域.

3. 用四种不同的颜色去染平面上的点, 每点染后只染一色. 试证: 此平面上一定存在长为1或的线段, 其两个端点染色相同.

4. 试求出所有整数n, 使得代数式2n²+n－29的值是某两个连续自然数的平方和.

5. AD, BE, CF是正△ABC有三条高, 任取一点P, 试证: 在△PAD, △PBE, △PCF中, 最大一个的面积等于其余两个的面积之和.

6. 是否存在一个含1000个自然数的集合S, 满足条件:

　(1) S中的任两个数互质;

(2) 从S中任取k个元素 (2≤k≤1000)其和都是一个合数.