2008年函数总复习题
海淀区教师进修学校 方 菁 2008.3.25
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例40 （1）（哈尔滨2007年）已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论中：① abc > 0； ② b = 2a； ③ a + b + c； ④a – b + c ， 正确的个数是（ ）.
(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
（2）（陕西省2007）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关
于a、b、c间的关系判断正确的是（ ）
(A) ab < 0 (B) bc < 0
(C) a+b+c > 0 (D) a-b+c < 0
例41 （南京市2007年）已知二次函数 y = ax2 – 2 的图象经过点（1，- 1）. 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点个数.
略解：依题意，得 a = 1, y = x2 – 2.
法1：开口向上，与 y 轴交点在 x 轴的下方，所以该函数图象与 x 轴有两个交点. （由数思形，依形判数）
法2： … 由Δ = 0 – 4×（-2）= 8 > 0，所以该函数图象与 x 轴有两个交点.
（令y = 0，转化为一元二次方程的判别式解决）
3．图形的移动（翻转，平移，旋转）
例42（1）（山东省潍坊课改实验区2007）抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则它关
于y轴对称的抛物线的解析式为 。
（2）（山东省2007年）已知抛物线C1 的解析式 y = 2x2 - 4x + 5，
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抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，求抛物线C2 的解析式.
略解：依题意，开口反向，a2 = - a1 = - 2;
与 y 轴交点关于 x 轴对称 c2 = - c1 = - 5;
对称轴不变，a2 = - a1 ， 则 b2 = - b1 = 4.
所以抛物线 C2 ： y = - 2x2 + 4x – 5.
（用概念定系数）
例43 ★★（甘肃省2007）阅读以下材料并完成后面的问题. 将直线 y = 2x – 3 向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式.
解：在直线y = 2x – 3上任取两点A( 1, -1 )、B( 0, -3 ).
由题意知：
点 A 向右平移3个单位的 A’ ( 4, -1 )；再向上平移1个单位得 A”（4，0）.
点 B 向右平移3个单位的 B’ ( 3, -3 )；再向上平移1个单位得 B”（3，-2）.
设平移后的直线的解析式为y = kx + b.
则点A”（4，0）, B”（3，-2）在该直线上，可解得 k = 2，b = -8.
所以平移后的直线的解析式为 y = 2x – 8.
根据以上信息解答下面问题：
将二次函数 y = - x2 + 2x + 3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式. （平移后抛物线形状不变）
例44 ★★（四川郫县课改实验区2007） 如图，△OAB是边长为2+
的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A’ 折痕为EF
（1）当 A’E // x轴时，求点A’ 和E的坐标；
（2）当 A’E // x轴时，且抛物线y= –
x2 + bx + c
经过点A’ 和E时，求该抛物线与x轴的交点的坐标；
（3）当点A’ 在OB上运动但不与O、B 重合时，
能否使△A’ EF成为直角三角形？若能，请求出
此时点A’ 的坐标；若不能，请你说明理由。
4. 二次函数的应用
例45 （吉林省2007）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距. 某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数. 下表是测得的指距与身高的一组数据：
| 指距d（cm） | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 身高h（cm） | 160 | 169 | 178 | 187 |
（1） 求出h与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）：
（2） 某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？
例46★★（山西省2007）若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图像分别表示量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的a、b、c、d对应排序
(a) 小车从光滑的斜面上滑下（小车速度与时间的关系）
(b) 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物重量的关系）
(c) 运动员推出去的铅球（铅球高度与时间的关系）
(d) 小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）
正确的顺序是：（ ）
(A)（c）（d）（b）（a） (B)（a）（b）（c）（d）
(C)（b）（c）（a）（d） (D)（d）（a）（c）（b）
5. 相关综合题
例47（天津市2007）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）.
（I）求b、c的值；
（II）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长（答案可带根号）
例48（重庆市2007年）已知一次函数 y = ax + c 与二次函数 y = ax2 + bx + c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）.
 |  |  | |||
(A) (B) (C) (D)
例49 抛物线 y = x2 - 2x + c 与 x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，且OC =OB，求此抛物线的函数解析式及三角形ABC的面积.
例50 ★★（吉林省2007）如图、已知抛物线y=x2
–ax+a+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C。动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿A→B运动。连结PQ、CB.设点P的运动时间为t秒 .
（1）求a的值；
（2）当t为何值时，PQ平行于y轴？
（3）当四边形PQBC的面积等于14时，
求t的值
例51 (吉林省2007) 下列图中阴影部分的面积与算式
+（
）2
+ 2-1的结果相同的是 （ ）
例52 ★★（海口市课改实验区2007）已知抛物线y = x2 + (2n–1)x + n2–1（n为常数）
（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
（2）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴的下方，且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线与另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由。