08年北京市中考模拟分类汇编⑽
几何综合
1.
（大兴一模）矩形ABCD中，AD=2，
，现将一个直径MN为2的量角器如图25-1摆放，使其
线的端点N与C重合，M与B重合，O为MN的中点，量角器的半圆弧与矩形ABCD的对角线AC、BD分别交于P、Q，设P、Q在量角器上的读数分别是
、
.
⑴ 求与之间的函数关系式.（不必写出自变量的取值范围）.
⑵ 将量角器绕C点逆时针旋转，使它的直径落在AC上，如图25-2所示，
为
的中点，此时量角器的半圆弧交DC于K，若K点的读数为
，那么与的数量关系是什么，请说明理由.
⑶ 如图25-2所示，若
‖
，求出此时AB的长.
图25-1 图25-2 图25-3
【答案】⑴ 连结OQ、OP
∵ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∴BE=CE.
∴∠EBO=∠OCE
∵OQ=OB， 图25-1
∴∠EBO=∠OQB.
∴∠BOQ=180°－2∠EBO.
同理可证
∠COP=180°－2∠OCE.
∴∠BOQ=∠COP= x°. ……………………2分
∴y°=∠COQ=180°－∠BOQ=180°－x°
∴y =180－x. ………………………3分
⑵ z与y的数量关系是：z=y ……………………4分
如图25-2，连结O′K、OP、OQ.
∵∠ACD＋∠BCA=90°，
∴∠ACD=90°－∠BCA.
∴z°=180°－2∠ACD
=180°－2（90°－∠BCA ）
=2∠BCA
=180°－∠COP. 图25-2
∴z =180－x.
∵y=180－x,
∴z=y. ……………………………5分
⑶ 如图25-3，连结B M′、M′K、KO
∵M′C是量角器的直径，
∴∠M′KC=90°.
∵∠BCD=90°，
∴∠M′KC＋∠BCD=180°. 图25-3
∴BO∥M′K.
∵M′B∥KO，
∴M′KOB是平行四边形，………………………………6分
∴M′K=BO=
BC=1.
∵M′C=MN=2，
∴M′K=M′C.
∴∠ACD=30°. ……………………………………7分
∴AC=4
∴
∴M′与对角线的交点重合如图25-3-3，
在Rt△ADC中，
∵AD=2，
∴DC=2
.
∵ABCD是矩形，
∴DC=AB=2. ……………………………8分
2.
(丰台一模)如图，
为直角三角形，
，
，
；四边形
为矩形，
，
，且点
、
、
、
在同一条直线上，点与点重合．
⑴ 求边
的长；
⑵ 将
以每秒
的速度沿矩形的边
向右平移，当点与点重合时停止移动，设与矩形重叠部分的面积为，请求出重叠部分的面积(
)与移动时间
的函数关系式(时间不包含起始与终止时刻)；
⑶ 在⑵的基础上，当移动至重叠部分的面积为
时，将沿边
向上翻折，得到
，请求出与矩形重叠部分的周长（可利用备用图）．
【答案】⑴ ∵，，
∴
,
．………
分
⑵ ①当
时，
∴
,
∴
． ……………………………
分
② 当
时，
．……………………………
分
③ 当
时，
，∴
,
在
中，
,
∴
,∴
．…………………………
分
⑶ ①当
,且时，
即
，解得
（不合题意，舍去）．
∴
．
由翻折的性质，得
,
,
．
∵
∥,∴
∵
,
∴
∴重叠部分的周长＝
……
分
②解法与①类似，当,且时，
即
，解得
（不合题意，舍去）．
重叠部分的周长＝
．
∴当
时，重叠部分的周长为
．……
分
3. 
（宣武一模）如图，正方形
边长为6，菱形
的三个顶点
、
、
分别在正方形的边、
、
上，且
，联结
。
⑴ 当
时，试求菱形的边长与
的面积；
⑵ 设
，试用含的代数式表示的面积；
⑶ 请判断的面积能否等于1，并说明理由.
【答案】⑴ 如图1，菱形边长为
，可证菱形是
正方形，进一步可得出
≌
.
因此
，
即点在
边上，同样可得
.
因此
.………………………………… 3分 （第23题图1）
⑵ 如图2，过点作
,交
延长线于点
，
联结
.可证
≌
，
所以
,
即无论菱形如何变化，
点到直线的距离始终为定值2，
因此
. ……………………… 6分 （第23题图2）
⑶ 若
，由⑵可知
，得
.此时，
在中，
.相反地，在中，
>,与题意不合.故不可能.…………………………… 7分
4.
（宣武一模）在坐标平面上，点
从点
出发，沿射线
方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以
为对角线的矩形
的边长
；过点
且垂直于射线的直线
与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速度运动．
⑴ 在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由；
⑵
设点与直线都运动了
秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫过区域的重叠部分的面积
（用含的代数式表示）．
【答案】⑴ 
轴．……………… 1分
理由：如图1
中，
，
．
设交于点
，交轴于点.
矩形的对角线互相平分且相等，则
，
，过点作
轴于
，则
，
，
，
，
轴．……………… 3分
⑵ 设在运动过程中与射线交于点
，过点
且垂直于射线的直线交于点
，过点
且垂直于射线的直线交于点，则
．
，
，
，
，
．………… 4分
①当
，即
时，（如图2）
． …………………5分
②当
，即
时，（如图3）设直线交
于，交
于，
则
，
，
，
．…………………………6分
③当
，即
时，（如图4）
，
. ………………………………………………7分
5.
（昌平二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=
，在线段BC上取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E.
⑴ 试确定CP=3时，点E的位置；
⑵ 若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式；
⑶ 若在线段BC上找到一点P，使上述作法得到的点E与点A重合，试求出此时的值.
【答案】⑴ 当CP=3时
∵BC=12，AD=9
∴BP=9
∴AD=BP
∵AD∥BC，∠ABC=90°
∴四边形ABPD是矩形
∴∠DPB=90°
又 ∵PE⊥DP
∴∠DPE=∠DPB =90°且点E在AB上
∴点E与点B重合……………………2分
⑵ 作DM⊥BC于M
当点P在BM上时
∴∠DMB=∠DMC=∠ABC =90°
∴∠1+∠3=90°
∵PE⊥DP
∴∠DPE=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠3=∠2
又∵∠ABC =∠DMB
∴
∽
∴
同（1）可证四边形ABDM是矩形
∴AB=DM=
∵设CP=x，BE=y
∴MP=-3，BP=12-
∴
∴
……………………5分
当点P在MC上时，如图，同理可得
……………………6分
⑶ 若在线段BC上找到一点P，使上述作法得到的点E与点A重合，则BE=AB=，且点P在BM上
∴
∴
……………………7分
由题意：
即
……………………8分
6. （昌平二模）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .
⑴ 如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系；
⑵ 如图2，若连接EF，请探索线段BE、EF、FC之间的联系；
⑶ 如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：∠B=30°，AD⊥BC于点D，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.
【答案】⑴ 连接AD
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点
∴AD=BD=DC=
BC ， ∠ADB=∠ADC=90°
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°
∴∠3+∠5==90°
∵∠3+∠4==90°
∴∠5=∠4
∵ BD=AD
∴∠B=∠2
∴
∴BE=AF……………………3分
⑵ 由（1）BE=AF
又∵AB=AC
∴AE=CF
在
中，
∴
……………………6分
⑶ ⑴中的结论BE=AF不成立
∵∠B=30°，AD⊥BC于点D
∴∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90°
∵∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°
∴∠B=∠2 ， ∠5=∠4
∴
∽
∴
……………………9分