08年北京市中考模拟分类汇编⑷
函数
一、函数基本知识
1.
（海淀一模）函数
中，自变量
的取值范围是 .
【答案】
2.
（朝阳一模）函数
中，自变量的取值范围是（ ）
且
且 
【答案】
3.
（朝阳一模）如图，抛物线
，
，下列关系中正确的是（ ）
【答案】 A
4.
（大兴一模）函数
自变量 的取值范围是（ ）
【答案】 B
5.
（大兴一模）若反比例函数
的图象上有两点
，
，则
_____
（填“
”或“
”或“
”）．
【答案】
.
6. (丰台一模)写出一个图像在第二、第四象限的反比例函数的解析式 ．
【答案】
(答案不惟一)
|
| -1 | 0 | 1 |
|
| 1 |
| -1 |
7.
（宣武一模）已知一次函数
（
，
是常数，且
），与
的部分对应值如表所示，那么
的值等于（ ）.
（A）
（B） 
（C）
（D）
【答案】
8.
（宣武一模）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点
和
，且与轴相交于负半轴，给出四个结论：①
；②
；③
；④
.其中正确的序号是 .
【答案】 ①④
9. （石景山二模）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形.设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图象应为 （ ）
【答案】 A.
10.
（昌平二模）如果反比例函数
的图象经过点
，那么的值是（ ）
Ａ．
Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
【答案】 A
二、函数综合
1.
（大兴一模）如图2，是一次函数与反比例函数
的图象，则关于的方程
的解为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】
2.
（海淀一模）已知一次函数
的图象与轴，轴分别交于
，直线经过
上的三分之一点
，且交轴的负半轴于点，如果
，求直线的解析式.
【答案】
∵直线与轴，轴交点为,
∴两点坐标分别为
,
∴
，
∴
∵为上的三分之一点，
∴点的坐标为
或
，
∵
∴当
是，
；当
时，
,
∵点在轴的负半轴上，
∴点的坐标为
或
∴直线
的解析式为
或
3.
（宣武一模）如图，反比例函数的图象与一次函数
的图象交于
(1，3)、（
，）两点.
⑴ 求反比例函数与一次函数的解析式；
⑵ 根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？
【答案】⑴ 
点(1，3)在反比例函数图象上，
，即
.
反比例函数解析式为
. …………………………………………………
1分
又点（，）在反比例函数图象上，
，即
.
（
，）. ………………………………………………………………………… 2分
又点(1，3)和（，）在一次函数图象上，
，解得
一次函数解析式为
.…………………………………………………… 3分
⑵ 由交点(1，3)和（，）可知：
当
或
时，反比例函数的值大于一次函数的值. ……………………… 5分
4.
（朝阳一模）已知
、是关于的一元二次方程
的两个实数根，其中为非负整数，点
，
是一次函数
与反比例函数
图象的交点，且、为常数．
⑴ 求的值；
⑵ 求一次函数与反比例函数的解析式．
【答案】
⑴ 依题意,得
……………………………………1分
解得 
且．
∵为非负整数，∴
. …………………………………………………2分
⑵ 当时，原方程化为
．
解得
．∴
，
．
……………………………………………3分
把，和代入，得
．
∴一次函数的解析式是
．…………………………………………4分
把，代入，得
．
∴反比例函数的解析式是
．………………………………………5分
5.
(丰台一模)一次函数
的图象经过点
，且分别与轴、轴交于点、．
点
在轴正半轴上运动，点
在轴正半轴上运动，且
．
⑴ 求的值，并在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；
⑵ 求与满足的等量关系式．
【答案】⑴ 一次函数的图象经过点 (1,4)，
则 
，
，…………………………………………
分
∴ 
．
该函数的图象见右图： …………………………………………分
⑵ 函数的图象与轴、轴的交点分别为
、
, ………………………
分
∵，设交点为
,
则 
,
∴△
△
,……………………
分
∴
,即 
∴
． ………………………………
分
6.
（朝阳一模）如图，在矩形
中，
，
，点处有一动点
以
的速度由向运动，同时点处也有一动点
以
的速度由向运动，设运动的时间为
，四边形
的面积为
，求与的函数关系式及自变量的取值范围.
【答案】
依题意，得
，
．
…………1分
在矩形中，
，
，
，
∴
，
． …………………………………………………2分
∴四边形的面积=
即
．…………………………………………………………………4分
自变量的取值范围是
．
……………………………………………5分
7.
（朝阳一模）已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点
，
，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线
经过、两点.
⑴ 求此抛物线的解析式；
⑵ 连接
、
、
，试比较
和
的大小，并说明你的理由.
【答案】
⑴ ∵
轴且点，，
∴设点的坐标为
，．
∵直线经过点，
∴
．∴
．
即点
，．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为
，
，
又∵直线经过点，
∴
，
．即，
．
∴设抛物线的解析式为
．
∵点，在抛物线上，∴
．
即抛物线的解析式为
．……………………………………3分
⑵ 作
于点，
于点
．
由⑴中抛物线可得
点
，
，
，，
∴
，
，
．
∴
．
∵
，∴
．
∴
．
在
中，
．
在
中，∵，，∴
．∴
．
．
∴
．
即
．…………………………………………………………8分
8.
（昌平二模）抛物线
交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x = -1，B(1,0)，C(0,-3).
⑴ 求二次函数的解析式；
⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴ 二次函数的解析式是：
……2分
⑵ ∵ A、B两点关于对称轴
对称
∴ 点A（-3，0）
作直线AC交对称轴于点P ，点P即为所求
设直线AC的解析式是：
∴
∴ 
∴设直线AC的解析式是：
当时，
∴点P的坐标是（-1，-2）……………………6分
9.
（大兴一模）已知二次函数的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且
．
⑴ 求该二次函数的解析表达式；
⑵ 将一次函数y=x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物线的另一个交点为C，求△ABC的面积．
【答案】⑴ 由B（0，4）得，c=4．
抛物线
与x轴的交点A（
，0），
∵，
∴
，
∴=
，即A（－2，0）．……1分
∴
解得
所求二次函数的解析式为
．……………………………………………3分
⑵
设图象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点A（，0），
所以
，即平移后所得一次函数的解析式为
y=
．………………………………………4分
令=
，
解得
，
．
将它们分别代入y=，
得
，
．
所以图象L与抛物线
的
另一个交点为C（
，9）．…………………………………………6分
如图，过C作CD⊥x轴于D，则
S△ABC=S梯形BCDO-S△ACD -S△ABO
=
…………………………………………7分
10.
（宣武一模）已知：直线
交轴、轴于
两点，经过
两点的抛物线
的顶点在直线AC上．
⑴ 求
两点坐标；
⑵ 求出该抛物线的函数关系式；
⑶
以点为圆心，以
为半径作
，将沿轴翻折得到
，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
⑷
若为优弧
上一动点，联结
，问在抛物线上是否存在一点，使
，若存在，试求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】⑴ 当
时，
，
点坐标为
当
时，
，
, 
点坐标为
………………………… 1分
⑵ 抛物线经过
，
,
对称轴
， ∴
.①
当
时，代入得
，∴点坐标为
.
点在抛物线
上，
.②
联立①、②解得
.
该抛物线的函数关系式为
.……………………………………………3分
⑶ 与
相切，理由如下：
联结
， 
， 
.
.
.
又
与相切。 ……………………4分
⑷ 存在这样的点，使得
.
设点坐标为
.
,
而， 
…………………………………5分
当点在轴上方时，
， ∴
.
∵点在抛物线上，
∴
. 解得：
，
（不合题意，舍去）.
.………………………………………………………………6分
当点在轴下方时，
， ∴
.
∵点在抛物线上，
∴
. 解得：
，（不合题意，舍去）.
.
∴点坐标为
或
.…………………………7分
三、函数与应用
1. （大兴一模）某肉食加工厂在烤制风味肠时主要依据的是下面表格中的数据：
| 风味肠的质量/千克 | 0．5 | 1 | 1．5 | 2 | 2．5 | 3 | 3．5 | 4 |
| 烤制时间/分 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
根据以上表格所提供的信息回答：
⑴ 当烤制的风味肠的质量为2.5千克时，需要烤制时间是多少？
⑵ 当烤制的风味肠的质量为千克时，需要烤制时间是多少分钟？
【答案】
⑴ 由表中提供的数据可知，当烤制的风味肠的质量为2.5千克时，
需要烤制时间是24分钟. ………………………………………………1分
⑵ 从表中可以看出，风味肠的质量每增加0.5千克，烤制风味肠的时间增加4分钟，由此可知烤制时间是风味肠的质量的一次函数.
设烤制时间为分钟，风味肠的质量为千克，
与的一次函数关系式为：……………………………………2分
由题意可得：
，解得
……………………………………3分
所以
………………………………………………………………4分
当
千克时，
.
所以当烤制的风味肠的质量为a千克时，需要烤制风味肠的时间是
分钟……5分
2.
(丰台一模)某公司专销产品，第一批产品上市
天内全部售完．该公司对第一批产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图（1）和图（2）所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量(万件)与上市时间
(天)的关系，图（2）中的折线表示的是每件产品的日销售利润
(元)与上市时间(天)的关系．
⑴ 试写出第一批产品的市场日销售量(万件)与上市时间(天)的关系式；
⑵ 第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】⑴
①当
时，设
，
∵图象过点
，
∴
，解得，
,
∴
． ……………………………………………………………………分
② 当
时，设
，
∵图象过点
，
∴
解得，
∴
．………………………………………………………………分
综上所述，
…………………………………分
⑵ 解法一：
由图⑴知，当t＝30天时，日销售量最大为60万件； …………………分
由图⑵知，当t＝30天时，产品的日销售利润最大为60元/件；………分
故当t＝30天时，市场的日销售利润最大为
万元．…………
分
解法二：
由图⑵,得每件产品的日销售利润为
，
当
时，产品的日销售利润为
，此时利润最大为2400万元；
当
时，产品的日销售利润为
，此时利润最大为3600万元；
当
时，产品的日销售利润为
，此时利润最大为3600万元．
3.
(丰台一模)有一座抛物线型拱桥，其水面宽为18米，拱顶
离水面的距离
为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形
，如图建立平面直角坐标系．
⑴ 求此抛物线的解析式，并写出自变量的取值范围；
⑵ 如果限定的长为9米，
不能超过多少米，才能使船通过拱桥？
⑶ 若设
，请将矩形的面积
用含的代数式表示，并指出的取值范围．
【答案】⑴ 依题意可知，点
，………………………………………………分
设抛物线的解析式为
，∴
． ……………………………分
，
自变量x的取值范围是
． …………………………………………分
⑵ 
，
∴点
的横坐标为
，则点的纵坐标为
，
∴点的坐标为
，……………………………………………………分
因此要使货船能通过拱桥，则货船高度不能超过
（米）．…………分
⑶ 由
，则点坐标为
，…………………………分
此时 
， ………………………………………
分
∴
， 
． …………………
分
4. （昌平二模）在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）是这个人年龄n（岁）的一次函数. 已知在正常情况下，年龄15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和114次/分.
⑴ 根据以上信息，求在正常情况下，S关于n的函数关系式；
⑵ 若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？
【答案】⑴ 设
.
由题设得
所以，S关于n的函数关系式为
……………………3分
⑵ 当
时，
，
因为这位63岁的人10秒心跳为26次，所以，每分钟心跳为156次，
因此，他不适合从事如此剧烈的运动，他有危险. ……………………5分
5. （昌平二模）五一期间，某区一中、二中组织100名优秀教师去某景区旅游，（其中一中教师多于二中教师），景区门票价格规定如下表：
| 一次性够票人数 | 1~49人 | 50~99人 | 100人以上 |
| 每人门票价格 | 50元 | 45元 | 40元 |
若两校都以校为单位一次性够票，则两校一共需付4725元，求两校各有多少名优秀教师参加这次旅游？若两校联合起来，作为一个团体够票，能节约多少钱？
【答案】设一中优秀教师人，则二中优秀教师
人，……………………1分
由题意得：
……………………3分
解之，得
，
……………………4分
（元）……………………5分
∴一中、二中分别55名、45名优秀教师参加这次旅游，若两校联合起来够票，可节约725元.