与圆有关的规律探究
1、如图12①,直线AM⊥AN, ⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点,连结OC、BC,则有∠ACB=∠OCB;(请思考:为什么?)若将图12①中直线AN向右平移,与⊙O相交于C1、C2两 点,⊙O与AM的切点仍记为B,如图12②.
(1)请你写出与平移前相应的结论,并将图12②补充完整;
(2)判断此结论是否成立,并说明理由.
（(1)图②中相应结论为∠AC1B=∠OC1B和∠AC2B=∠OC2B.(2)以前者为例进行证明:连接OB、OC1,∵AM与⊙O相切于B,∴OB⊥AM.∵AN⊥AM,∴OB∥AN.∴∠AC1B=∠OBC1. ∵OB=OC1,∴∠OBC1=∠OC1B.故∠AC1B=∠OC1B.同理可证∠AC2B=∠OC2B.）
2、有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.说明：RP＝RQ.
请探究下列变化：
变化一：交换题设与结论.
已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP＝RQ. ．
说明：RQ为⊙O的切线. ．
变化二：运动探求.
1．如图2，若OA向上平移，变化一中的结论还成立吗？(只需交待判断) 答： ．
2．如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，
过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论
还成立吗？为什么？
3．若OA所在的直线向上平移且与⊙O无公共点，请你根
据原题中的条件完成图4，并判断结论是否还成立？
(只需交待判断)
（变化一、连接OQ，证明OQ⊥QR；
变化二 （1）、结论成立 （2）结论成立，连接OQ，证明∠B=∠OQB，则∠P=∠PQR，所以RQ=PR （3）结论仍然成立）
3、如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）。点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝OP，过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C。
⑴∠QPA＝60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并证明你的结论；
⑵当QP⊥AB时，△QCP是 三角形；
⑶由⑴、⑵得出结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是 三角形。
4、如图1所示，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交OC于点E，求证：CD=CE；
（2）若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于点F，交⊙O于点B′。其它条件不变（如图2所示），那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
（3）若将图1中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其它条件不变（如图3所示），那么上述结论CD=CE还成立吗？(只写结论，不要证明)
（图1）
（图2）
（图3）
（①证明：连接OD
∵CD是⊙O的切线， ∴∠CDO=90°
∵OA⊥OB ∴∠AOE=90°
∴∠AEO+∠A=90°
又∵OA=OD∴∠A=∠ODA
∴∠CDE=∠AEO 又∠AEO=∠CED ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE
②CE=CD仍然成立。
连接OD
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动。∴CF⊥AO于F。
∴∠AFE=90°∴∠A+∠AEF=90°
∵CD是⊙O的切线∴∠ODC=90°∴∠ODE+∠CDE=90°
∵OA=OD∴∠A=∠ODE∴∠AEF=∠CDE
又∵∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE ∴CD=CE
③CE=CD仍然成立。）
5、AB为⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段．
以每条线段为直径画小圆，设AB=a，那么⊙O的周长为L=
a，计算：
（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2=
a=L．
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=________．
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4=________．
……
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln=_______．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的_______．
6、已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，只需保证∠CAE=∠_____，并证明之;
(2)如图2，AB为⊙O非直径的弦，(1)中你所添出的条件仍成立的话，EF还是⊙O的切线吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流.
