中考数学真题演练7

中考数学真题演练7

　　一、选择题

　　1．（山西省）如图，BC是⊙A的内接正十边形的一边，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论不成立的是 （  ）

　　（A）BC＝BD＝AD

　　（B）BC²＝DC·AC

　　（C）△ABC三边之比为1∶1∶

　　（D）BC＝AC

　　2．（哈尔滨市）下列命题中，错误的是 （  ）

　　（A）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形

　　（B）直角梯形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

　　（C）对角线互相平分且相等的四边形是矩形

　　（D）平分弦的直径必垂直于弦

　　3．（长沙市）下列命题正确的是 （  ）

　　（A）对角线相等的四边形是矩形

　　（B）相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形

　　（C）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　（D）三点确定一个圆

　　4．（四川省）下列命题中，真命题是 （  ）

　　（A）等腰梯形是中心对称图形

　　（B）对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

　　（C）相等的圆心角所对的弦相等

　　（D）相似三角形周长的比等于对应中线的比

　　5．（天津市）有如下四个结论：

　　①有两边及一角对应相等的两个三角形全等：

　　②菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；

　　③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

　　④两圆的公切线最多有4条．

　　其中正确结论的个数为 （  ）

　　（A）1个　　　　　　 （B）2个　　　　　　 （C）3个　　　 　　 （D）4个

　　6．（武汉市）已知：以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON＝NP；③DP·PC为定值；④PA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是 （  ）

　　（A）①②③　　　　（B）②③④　（C）①③④　　　　（D）①④

　　二、填空题

　　1．（武汉市）已知：如图□ABCD中，AC⊥CD，以C为圆心，CA为半径作圆弧交BC于E，交CD的延长线于点F，以AC上一点O为圆心OA为半径的圆与BC相切于点M，交AD于点N．若AC＝6厘米，OA＝2厘米，则图中阴影部分的面积为________平方厘米．

　　三、解答题：

　　1．（北京市东城区）已知，如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．

　　（1）求证：PA·PB＝PO·PE；

　　（2）若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的直径为2，求弦CF的长．

　　2．（北京市海淀区）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点．

　　（1）求证：CD与⊙O相切于点E；

　　（2）若CE·DE＝．AD＝3，求⊙O的直径及∠AED的正切值．

　　3．（山西省）已知：如图，A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA．分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．

　　（1）求证：AB＝AC；

　　（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d₁、d₂，求证：d₁＋d₂＝O₁O₂；

　　（3）在（2）的条件下，若d₁d₂＝1，设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为R、r，求证：R²＋r²＝R²r²．

　　4．（哈尔滨市）如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切线，B、C为切点．AT为内公切线，AT与BC相交于点T．延长BA、CA，分别与两圆交于点E、F．

　　（1）求证：AB·AC＝AE·AF；

　　（2）若AT＝2，⊙O₁与⊙O₂的半径之比是1∶3，求AE的长．

　　5．（宁夏回族自治区）用两种方法解答

　　如图，矩形ABCD外切于半圆，AD与半圆相切于F，BC是半圆的直径，O为圆心，且BC＝10厘米，对角线AC交半圆于P，PE⊥BC于E．求P到BC的距离．

　　6．（南京市）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于B，延长BO₁、CA交于点P，PB与⊙O₁交于点D．

　　（1）求证：AC是⊙O₁的切线；

　　（2）连结AD、O₁C．求证：AD∥O₁C；

　　（3）如果PD＝1，⊙O₁的半径为2，求BC的长．

　　7．（长沙市）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足E，且PC²＝PE·PO．

　　（1）求证：PC是⊙O的切线．

　　（2）若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．

　　（3）求sin∠PCA的值．

　　8．（贵阳市）已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠A＝60°，∠APB的平分线PF分别交BC、AB于点D、E，交⊙O于点F、G，且BD·AE＝2．

　　（1）求证：△BPD∽△APE；

　　（2）求FE·EG的值；

　　（3）求tan∠BDE的值．

　　9．（扬州市）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24厘米，CD＝8厘米．

　　（1）求作此残片所在圆（不写作法，保留作图痕迹）；

　　（2）求（1）中所作圆的半径．

　　10．（绍兴市）如图，⊙O的直径AB＝6，弦CD⊥AB于H（AH＜HB），分别切⊙O、AB、CD于点E、F、G．

　　（1）已知CH＝2，求cosA的值．

　　（2）当AF·FB＝AF＋FB时，求EF的长；

　　（3）设BC＝M，的半径为n，用含m的代数式表示n．

　　11．（温州市）如图，△ACF内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．

　　（1）求证：∠ACE＝∠AFC；

　　（2）若CD＝BE＝8，求sin∠AFC的值．

　　12．（广东省）已知，如图，A是直线l外的一点，

　　求作：（1）一个⊙A，使得它与l有两个不同的交点B、C；

　　（2）一个等腰△BCD，使得它内接于⊙A（说明：要求写出作法．）

　　13．（镇江市）如图，已知△ABC，其中AB＝AC．

　　（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点D，AC于点E；连结BE．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）

　　（2）在“（1）”的基础上，若AB＝8，△BCE的周长为14，求BC的长．

参考答案

一、选择题

1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．C

二、填空题

1．

三、解答题：

　　1．（1）连结OD ∵ AB是⊙O的直径，弦DF⊥AB于点H，∴ ＝＝

　　∴ ∠1＝∠2 ∴ ∠POD＝∠PCE ∵ ∠DPO＝∠EPC ∴ △PDO∽△PCE 

　　即PD·PC＝PO·PE由切割定理的推论，得PA·PB＝PD·PC

　　（2）由（1）知，AB是弦DF的垂直平分线，∴ ED＝EF，∠3＝∠4 ∵，

　　∴∠3＝∠4＝由 ∠5＝∠4＝，∠P＝，得∠2＝ ∴∠1＝在Rt△DHO中，由∠1＝，OD＝2，可求得OH＝1，DH＝ ∵△DHO∽△DEC  ∴

　　∴解得EC＝ ∴ CF＝CE+EF＝CE+DE＝

　　2．（1）证法一：连结OE

　　∵ AE平分∠BAF，∴∠1＝∠2

　　∵ OE＝OA，∴ ∠1＝∠3

　　∴ ∠3＝∠2 ∴ OE∥AD

　　∵ AD⊥CD，可证∠OED＝90

　　∵ E为⊙O上的点，∴　CD与⊙O相切于点E

　　证法二：连结BF、OE交于点G

　　∵ AE平分∠BAF，∴ ∠1＝∠2

　　∴　　∴　OE⊥BF

　　∵　AB是直径，∴　∠AFB＝90

　　∴　OE∥AD

　　以下同证法一

　　证法三：连结BE、OE

　　∵ AE平分∠BAF，∠1＝∠2

　　∵ AB是直径，∴　∠AEB＝90

　　∴ ∠1+∠5＝90

　　∴ CD⊥AD，∴　∠2＋∠4＝90

　　∴　∠5＝∠4

　　∵　OA＝PE，∴　∠1＝∠3

　　∴　∠4＋∠3＝90∴　OE⊥CD

　　∵　E为⊙O上的点，∴　CD与⊙O相切于点E．

　　（2）解法一：过点D作DG∥AC交AE延长线于G点，连结BE、OE

　　∴ ∠1＝∠G，∠G＝∠BEC

　　∵ CD与⊙O相切于点E，∴ ∠BEC＝∠1

　　∴ ∠BEC＝∠G ∴ △BEC∽△EGD

　　∴  ∴ CB·DG＝DE·CE

　　∵ ∠1＝∠2＝∠G ∴ AD＝DG＝3

　　∵ CE·DE＝，∴BC＝

　　由（1）证得OE∥AD ∴  设OE＝x（x＞0），则CO＝+x＝，CA＝＋2x＝ ∴ 整理，得8－7x－15＝0 解得＝－1（舍负），∴⊙O的直径为 ∴ CA＝CB＋BA＝5 由切割线定理，得＝CB·CA＝ ∴DE＝·，

　　在Rt△ADE中，tan∠AED＝

　　解法二：连结BE、OE、DF可证Rt△BAE∽△EAD

　　∴　即  ①

　　∵　CD与⊙O相于点E，∴　∠CEB＝∠1

　　又∠C是公共角，  △CBE∽△CEA

　　∴　  ②

　　由①、②，得＝1 ∴　DE∠CE＝AD·CB

　　∵　CE·DE＝，AD＝3，∴　CB＝以下同解法一．

　　3．（1）分别作于点D，于点E，则AB＝2AD，AC＝2AE，

　　∵　AM⊥BC， ∴　∥AM∥，∵M为的中点，

　　∴ AD＝AE ∴ AB＝AC

　　（2）∵ 切⊙于点A， ∴　⊥，又M为的中点，

　　∴ ＝2AM．在梯形ED中，，∴，

　　即d₁＋d₂＝

　　（3）证法一：∵ ， ∴ ∠AOD＝∠，∴ Rt△∽Rt△

　　∴即，∴AD·AE＝，

　　由（1）、（2）知AD＝AE＝1，，∴ ，

　　∴ 

　　证法二：

　　由证法一知AD＝AE＝1，∴ DE＝2延长OA交的延长线于点F，则＝

　　∴＝ ∴ ，∴ Rr＝在Rt△中R∴ R．

　　4．（1）连结BF、CE． ∵ TA、TB是⊙O的切线，∴ TA＝TB 同理TA＝TC．

　　∵TA＝TB＝TC．∴ △ABC是直角三角形．

　　∴ AC⊥AB ∴∠BAF＝∠CAE＝Rt∠ ∴ BF、CE分别是⊙O、⊙O、的直径．

　　∴ BF⊥BC，CE⊥BC ∴ BF∥CE

　　AB·AC＝AE·AF

　　∴ Rt△ABF∽△AEC ∴  ∴ AB·AC＝AE·AF

　　（2）∵ △ABF∽△AEC ∴ ＝ 设AB＝k，则AE＝3k

　　∴ BE＝4k，∵ TA＝TB＝TC, ∴ BC＝2TA＝4 ∵ BC＝BA·BE,即时6＝±k（k＝－2舍去） ∴AE＝3k＝6

　　5．解法一：如图，连结OF、BP ∵ AD与半圆相切于F，∴ OF⊥AD, ∵ 四边形ABCD是矩形，四边形ABOF的矩形，∴ AB＝OF＝BC＝5厘米， ∴ BC是半圆的直径，∴  设PE＝x厘米,EC＝y厘米 则，

∴　 ①

　　∵ ∠PCE＝∠ACB，∠ABC＝∠PEC＝ ∴△ABC∽△PEC ∴则，y＝2x ② 由①、②解得：（舍去），，∴ PE＝4厘米 ∴ 点P到BC距离为4厘米．

　　解法二：连结OF ∵ AD切半圆O于F，∴OF⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABOF是矩形，∴ AB＝OF＝BC＝5厘米．在Rt△ABC中，AC＝厘米 ∵ BC是半圆的直径，AB⊥BC，AB的半圆O的切线，由切割线定理得AB，∵ ∵ PC＝AC－AP＝4厘米，∵ AB⊥BC，PE⊥BC，∴ PE∥AB，∴，∵ EC＝2P在Rt△PEC中，PE∴ PE＝4厘米∴　点P到BC距离为4厘米．

　　6．（1）证法一：连结．∵BC是⊙的切线，∴　∠BC＝∵　四边形ABC是⊙的内接四边形，∴∠BC＋∠AC＝∴　∠AC＝∴　AC是⊙的切线．

　　证法二：连结A、C　∵　BC是⊙的切线，∴∠BC＝∴　⊙是⊙的直径∴∠AC＝∴　AC是⊙的切线．

　　（2）证明：连结AB　∵　PC切⊙于点A，∴　∠PAD＝∠ABD又∵　∠AC＝∠AB，

　　∴∠PAD＝∠A C，∴　AD∥．

　　（3）解法一：∵　PC是⊙的切线，PB是⊙的割线，∴　PA＝PD·PB，∵PD＝1，PB＝5，∴　PC是⊙的切线，∴AD∥C．∴　∴　∴　AC＝2

　　解法二：同解法一，得PA=，∵AC、BC分别切⊙于点A、B，∴　AC、BC分别切⊙于点A、B，∴　B⊥BC，A⊥PC∴∠PBC＝∠PA＝又∴　∠P＝∠P，∴　Rt△PBC∽Rt△PA　∴∴∴　BC＝2

　　7．证法一（1）证明：连结OC，∵　PC²＝PE·PO，∵　，∠P＝∠P，∴　△PCE∽△POC，∴　∠PEC＝∠PCO又∵ CD⊥AB，∴　∠PEC＝，∴　∠PCO＝，∴　PC是⊙O的切线．

　　（2）解：设OE＝x，∵　OE∶EA＝1∶2，EA＝2x，OA＝OC＝3x，∴　OP＝3 x＋6．又∵ CE是高，∴　Rt△OCE∽Rt△OPC，，

　　∴ OC（或由射影定理得）即 

　　∴ ．

　　（3）连结AD，∵　AB⊥CD，∴＝，∠PCA＝∠ADC＝∠ACE，

　　∴ sin∠PCA＝sin∠ADC＝,而AE＝2，OE＝1，OC＝3，

　　∴ AC＝

　　∴ sin∠PCA＝

　　证法二（1）同上

　　（2）过点A作AF⊥PC于F，连结AD，∴ ∠ACP＝∠CDA，又∵ CD⊥AB，∴ ∠CDA＝∠DCA，∴  ∠DCA＝∠ACP，∴ 点A为∠DCA＝∠ACP，∴ 点A为∠DCP平分线上的点，∴  AE＝AF，又∵ OE∶EA＝1∶2，AP＝6,设OE＝x，∴ EA＝2 x，AF＝2 x，即OA＝3 x，又∵ Rt△PCO∽Rt△PFA，∴ ，∴ ，解得（舍去），∴ OA＝3 x＝3．

　　（3）∵ AE＝2 x＝2，CE²＝x（2 x＋6）＝8，∴ CE＝2，AE＝2，

　　　　　 ∵ PE＝8，∴ AC＝2，∴ sin∠PCA＝＝．

　　证法三：（1）同上

　　（2）连结BC，∵ OE∶EA＝1∶2，设OE＝x，EA＝2 x，在Rt△OCP中，

　　　　　 ∵ CE⊥AB于E，∴ CE²＝OE·EP＝x（6＋2x），在Rt△BCA中，

　　　　　 CE²＝BE·EA＝4 x·2 x．∴  x（6＋2 x）＝4 x·2 x．解得x ₁＝1，x ₂＝0（舍去）∴ OA＝3 x＝3．

　　（3）在Rt△BCE中，易证：CE＝2，．又

　　　　　 ∵ ∠PCA＝∠CBA，∴ sin∠PCA＝sin∠CBA＝．

　　证法四：（1）同上

　　（2）∵　OE∶EA＝1∶2，设OE＝x，∴ EA＝2x，∵　Rt△POC中，CD⊥PB，∴ CE，又∵ 由（1）得证PC是⊙O的切线，∴　PC＝PA·PB＝6（6+x），解得（舍去）， OA＝3x＝3．

　　（3）易证：∠PCA＝∠DCA，∵　CE＝8，CE＝2，EA＝2，AC＝2

　　∴ sin∠DCA＝sin∠PCA＝

　　8．（1）∵　PB切⊙O于点B，∠PBC＝∠A，∵　PF为∠APB的角平分线，∴　∠APE＝∠BPD，

　　∴　△BPD∽△APE

　　（2）∵　△BPD∽△APE，∴ ∠BDP＝∠AEP，∴　∠BED＝∠BDE，∴　BE＝BD．又∵　BD·AE＝2，∴　BE·AE＝2，∴　FE·AE＝2．

　　（3）∵　△BPD∽△APE，∴　，又∵ AB是⊙O的直径，PB⊙O于点B，∴　∠ABP＝．而∠A＝∴　sin∠A＝sin＝,∴　又BD＝BE，∴　又BE·AE，∴　AE＝2，BE＝，∴　AB＝2＋，tan，∴　PB＋3，∴　tan∠BDE＝tan∠BED＝

9．（1）如图

　　（2）设所作圆的圆心为O，连结OB，设⊙O的半径为r

　　则OB＝r，OD＝r－CD＝r－8

　　∵ CD⊥AB，AB＝24，∴ BD＝AB＝12在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD²＋BD²＝OB²即（r－8）²+12²＝r²，解之得r＝13，∴　所作圆的半径为13厘米．

　　10．解：（1）∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°．又∵ CD⊥AB，∴　CH²＝AH·HB＝AH（AB－AH），∴ ＝AH（6－AH），AH²－6AH＋8＝0，∴ AH＝2或AH＝4（不合，舍去）．

　　∴ CA²＝AH·AB＝2×6＝12，∴ CA＝．∴ cosA＝＝．

　　（2）∵ AF·BF＝AF＋FB，又AF＋FB＝AB＝6，则AF＜FB，∴ AF＝3－，FB＝3＋．连结O′F，O′G，OE，∵ ⊙O′分别切AB、CD于F，G切⊙O于E，∴ O，O′，E三点共线．∴ ∠O′FH＝∠O′GH＝90°．又CD⊥AB，O′F＝O′G，∴ 四边形FHGO′是正方形．

　　设⊙O′的半径为r，在Rt△OO′F中，OO′－O′F²＝FO²＝（BF－OB）2，（3－r）²－r²＝（3＋－3）²，∴ r＝1．从而OO′＝2，∴ ∠FOO′＝30°，∠FO′O＝60°，∵ O′E＝O′F．∴ ∠E＝∠FO′O＝30°．∴ ∠E＝∠FOO′．∴ EF＝FO－．

　　（3）由射影定理得BC²＝AH·AB＝6（BF－FH）＝6（BF－n）．  ①

　　∵ O′O2－O′F²＝OF²，∴ （3－n ）²－n²＝（BF－3）²，9－6n＝BF²－6BF＋9，BF²＝6（BF－n）  ②

　　由①②得BF²＝BC²，∴ BF＝BC，∴ BC²＝6（BC－n），∴ m²＝6（m－n），即n＝－m²＋m．

　　11．（1）证法一：∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴ ＝，∴ 又∵ CD⊥AB，∵∠ACE＝∠B，∵ ∠B＝∠AFC，∴∠ACB＝∠AFC．

　　（2）解：∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴ CE＝DE，∵CD＝BE＝8，∴ CE＝DE＝4，由相交弦定理，得AE·BE＝CE·DE，∴ 8AE＝16，∴　AE＝2．在Rt△ACE中，AC＝＝＝（也可用AC²＝AB·AE来求）

　　∴ sin∠ACE＝．

　　又∵∠AFC＝∠ACE，sin∠AFC＝．

　　12．（1）作法：①在l外取一点E，使点E、A在l的两侧，②以点A为圆心，AE长为半径，作圆交l于B、C两点．则⊙A即为所求．

　　（2）①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点D，②连结BD和CD．则△BCD即为所求．

　　13．（1）作出AB的垂直平分线，标出点D，E，连结BE．

　　　（2）由（1），得BE＝AE，∵ AB＝AC，∴ BC＋BE＋EC＝BC＋AE＋EC＝BC＋AC＝BC＋AB＝BC＋18＝14．∴　BC＝6