中等学校招生统一考试数学试题
一、选择题（下列各题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分）
1.
的倒数为
（A）2 （B）
（C）
（D）
2．计算
的结果是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．近年来，我市旅游产业迅速发展．据统计，2003年全市实现旅游收入41亿元，则此收入值（单位：元）用科学记数法可表示为
(A) 
(B) 
（C）
(D) 
4．关于函数
，下列结论正确的是
（A）函数图象必经过点（1，2） （B）函数图象经过第二、四象限
（C）y随x 的增大而增大
（D）不论x 取何值，总有
5．下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是
（A） （B） （C） （D）
6．某种商品进价为a元/件，在销售旺季，商品售价较进价高30%；销售旺季过后，商品又以7折（即原售价的70%）的价格开展促销活动，这时一件该商品的售价为
（A） a元 （B）0.7 a元 （C）1.03 a元 （D）0.91a元
7．关于x的一元二次方程
有实数根，则k的取值范围是
（A）
（B）
≤
（C）
（D）≥
8．若⊙
的圆心坐标为
，半径为1；⊙
的圆心坐标为
，半径为3，则这两圆的位置关系是
（A） 相交 （B） 相切 （C） 相离 （D） 内含
10．在
中, 
,
,
,则
的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
11．如图，已知⊙
的半径为5，点A到圆心O的距离
为3，则过点A的所有弦中，最短弦的长为
（A）4 （B）6
（C）8 （D）10
12．甲、乙两辆摩托车分别从
、
两地出发相向而
行，图中
、
分别表示两辆摩托车与地的距
离
(千米)与行驶时间
（小时）之间的函数关
系，则下列说法:①、两地相距24千米；
②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时；③甲车
的速度比乙车慢8千米／小时；④两车出发后，
经过
小时，两车相遇．其中正确的有
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）4个
二、填空题(每小题3分,共18分．请将答案直接填在题中横线上)
13．将
因式分解，其结果是
．
14．函数
中自变量
的取值范围是
．
15．如果四边形
满足条件：
，那么这个四边形的对角线
和
相等．（只需填写一个你认为适当的条件即可）
16．如图，平面镜A与B之间夹角为110°，光
线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出
去，若
，则
的度数为 ．
17．如果圆锥的底面半径是４，母线的长是16，
那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的
度数是 ．
18．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向正前方行走１米，然后左转
.若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了 米．
三、解答题 (共76分)
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
19．（每小题满分6分，共12分）
（1）计算
·
；
（2）解方程
．
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
20.（本小题满分6分）
已知:如图,、
、
、
四点在一直线上，
，
∥
，且
．
求证：（1）≌
；
（2）
.
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
21．(本小题满分6分)
下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为
，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：
≈1.414，
≈1.732 )
 |
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
22．(本小题满分6分)
某小区响应市政府号召，开展节约用水活动，效果显著.为了解某居民小区节约用水情况,随机对该小区居民户家庭用水情况作抽样调查,3月份较2月份的节水情况如表所示(在每组的取值范围中，含最低值，不含最高值):
| 节水量（吨） | 0.2~0.6 | 0.6~1.0 | 1.0~1.4 | 1.4~1.8 | 1.8~2.2 |
| 户数 | 5 | 20 | 35 | 30 | 10 |
（1）试估计该小区3月份较2月份节水量不低于１吨的户数占小区总户数的百分比；
（2）已知该小区共有居民5000户，若把每组中各个节水量值用该组的中间值（如0.2~0.6的中间值为0.4）来代替,请你估计该小区3月份较2月份共节水多少吨？
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
23． (本小题满分8分)
有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为
，且是x的二次函数，已知输入值为,0,
时, 相应的输出值分别为5,
,
．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围.
 |
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
24．(本小题满分8分)
据统计，连云港港口2002年、2003年的内外贸吞吐总量分别为3300万吨和3760万吨，其中2003年外贸和内贸吞吐量分别较2002年增长10%和20%．
（1）试确定2002年的外贸和内贸吞吐量；
（2）2004年港口内外贸吞吐量的目标是：总量不低于4200万吨，其中外贸吞吐量所占比重不低于60%．预计2004年的内贸吞吐量较2003年增长10%，则为完成上述目标，2004年的外贸吞吐量较2003年至少应增加多少万吨？
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
25．(本小题满分10分)
已知：如图，Rt中，
，点在上，以为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点，交AC于点E．
（1）求证：DE∥OB；
（2）若⊙O的半径为2，
，求AD的长．
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
26、(本小题满分10分)
（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，
，
，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当
时，有
；
②当
时，有
；
③当
时，有
．
当
时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地（如图所示），其中AB∥CD，
，
310米，
170米，
70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．
| 得分 | 评卷人 | 复评人 |
27．(本小题满分10分)
对于函数
，解答下述问题：
（1）若函数在
内有意义，求实数a的取值范围；
（2）若函数的定义域为
，求实数a的值；
（3）若函数的值域为
，求实数a的值；
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：BAACBD BADBCD
二、填空题：13．
； 14．
； 15．四边形为矩形（本题答案不唯一，其它答案如四边形为正方形（或等腰梯形）≌
等）； 16．
； 17．90； 18． 8．
三、解答题：
19．（1）解：原式= (
)
+（2 +） …………………………（5分）
= 1． …………………………（6分）
（2）解：方程两边同乘以
，得
， …………………………（2分）
即
， …………………………（3分）
解之得
，
， …………………………（4分）
经检验
是原方程的增根，
所以原方程的根为
． …………………………（6分）
20．证：（1）
A、F、C、D四点共线且AF =
CD，
∴
，即AC = DF． …………………………（1分）
AB∥DE， ∴
，
…………………………（2分）
又AB=DE，∴≌．
…………………………（3分）
（2）由≌得
，EF=BC，
又CF为公共边，∴
≌
． …………………………（5分）
∴． …………………………（6分）
21．解：在Rt中，∵
，
，∴ AB=
=10（米）
在Rt
中，∵
∴
=
米 …………（4分）
则DA =
= 
≈10×1.732
= 7.32米． …………（5分）
∵3 + DA
，所以离原坡角10米的建筑物应拆除.
答：离原坡角10米的建筑物应拆除． …………………………（6分）
22.解:（1）3月份较2月份节水量不低于1吨的用户数为35 + 30 + 10 = 75，
又样本总量为5 + 20 + 75 = 100(户),故所求的百分比为
= 75%．
答：3月份较2月份节水量不低于１吨的户数占小区总户数的百分比为75%．（3分）
（2）节水量各组的中间值依次为0.4,0.8,1.2,1.6,2.0．故抽样的100户总节水量约为0.4×5 + 0.8×20 +1.2×35 +1.6×30 +2.0×10 =128(吨)． …………（5分）
所以全小区居民户的总节水量约为
= 6400(吨).
答: 该小区居民户3月份较2月份共节水约6400吨. ………………………（6分）
23.解：（1）设所求二次函数的解析式为
,
则
,即
,解得
故所求的解析式为:
. ……………（4分）
2)函数图象如图所示． …………………………（7分）
由图象可得，当输出值为正数时，
输入值的取值范围是
或
． ………（8分）
24．解：（1）设2002年内贸、外贸吞吐量分别为x和y万吨，
则
……………………（2分）
解得
，
答：2002年内贸、外贸吞吐量分别为1300万吨和2000万吨．……………………（4分）
（2）设2004年较2003年外贸吞吐量增加ｚ万吨．
又2003年内贸吞吐量为1300×(1+20%) =1560(万吨),
2003年外贸吞吐量为3760
(万吨).
则
……………………（6分）
解得
．
答：2004外贸吞吐量较2003年至少应增加374万吨． ……………………（8分）
25．证：（1）∵
，
是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线，又∵AB与⊙O相切，
∴OC = OD，且BO为
的角平分线，∴BO
CD， ……………………（3分）
又∵
是⊙O 的直径，且是⊙O 上一点，
∴DECD，∴∥OB．
……………………（5分）
（2） ∵∥OB ，∴
，
又
，
，∴
，即
． ………………（7分）
又
、分别是⊙O的切线和割线，
∴
·，即·
，
……………………（9分）
∴
·
，可得
． ……………………（10分）
26．（1）解：猜想得：EF =
．
……………………………（2分）
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．
∵AB∥CD，∴
∽
，∴
，
又
∥∥
，∴
，
∴
，
，
∴
，可得
．…………………（5分）
（2）在上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，设，
则EF=
，
，
…………（7分）
若
，则
，
∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形，
∴
，
化简得
解得：
，
（舍去），
…………（9分）
∴
，
所以只需在AD上取点E，使
米，作EF∥AB（或
），
即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等． …………（10分）
27．解：设
，
(其中
)，
由
，得
∴·
·
(·
·
·
·
)，
，…………（2分）
又
，∴
，即
，……………………（3分）
由
可得
，代入
可得
①
∴
，
，
∴
，即
．
又方程①的判别式
，
∴所求的函数关系式为
．………………（5分）
（2）假设存在,
，使得以为直径的圆经过点
．
则
，过、分别作轴的垂线，垂足分别为
、
．
∵
与
都与
互余，∴ 
．……………………（6分）
∴Rt
∽Rt
，∴
．
∴
，∴
， ∴
，
即
② …………………………（8分）
由（1）知，
，代入②得
，
∴
或
，又，∴
或
，
∴存在,，使得以为直径的圆经过点，且或．…（10分）