勾股定理逆定理
【同步达纲练习】
一、判断(4分×6=24分)
( )1.三边长为m2+n2,mn,m2-n2(m＞n＞0)的三角形是直角三角形.
( )2.三边比为1∶1∶
的三角形，有一个内角是60°.
( )3.△ABC的三边为a,b,c若a2-b2=c2,则△ABC为直角三角形.
( )4.三边为a、b、c，且满足a3-a2b+ab2-ac2-b2+bc2=0的三角形一定是直角三角形.
( )5.两边比为2∶1且一个角为30°的三角形是直角三角形.
( )6.不等边三角形三边为整数，最长边为5，一边为3，则三角形必为直角三角形.
二、选择(6分×5=30分)
1.下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有( )
①5,12,13 ②7,24,25 ③8,15,16 ④32,42,52 ⑤+1,-1,
⑥
+1,-1,2.
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
2.△ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2，则( )
A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角
C.c边的对角是直角 D.是斜三角形
3.等腰三角形ABC底边上的高AD=
BC，AB=，则△ABC面积为( )
A.
B.1
C.2
D.4
4.CD为△ABC的高且∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,AB=m,则CD等于( )
A.
B.
m
C.
D.
m
5.若一个三角形三边长均为奇数，则此三角形( )
A.一定是直角三角形 B.一定是等腰三角形
C.一定不是直角三角形 C.一定不是等腰三角形
三、填空(5分×6=30分)
1.勾股定理逆定理可用来判定一个三角形是否 .
2.三角形三边比为1∶∶2,则三内角比为
.
3.等边△ABC内一点P与三顶点距离为PA=5，PB=3，PC=4，则∠BPC= .
4.D为△ABC边AB上一点，BC=AC=AD. ∠ACD=
∠ACB，则AB∶AC= .
5.D为△ABC边BC上一点，AB=20，AC=13，AD=12，DC=5，则S△ABC= .
6.边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为 .
四、解答题(8分×2=16分)
1.△ABC中，AC+BC=4，AC·BC=1，AB=
，CD⊥AB于D.AB中点为E，求DE.
2.CD为△ABC的边AB上的高，且CD2=AD·BD ∠A=60°(图3.17-5)，求证AD=AC=
AB.
图3.17-5
【素质优化训练】
1.四边形ABCD中，AB=7，BC=24，CD=20，对角线AC=25，E为AC的中点且EB=ED.求边AD及四边形ABCD面积.
2.△ABC中，AB∶AC∶BC=∶∶2,直线l过A且平行于BC，D为l上一点，且BD=BC，BD交AC于E，求证：CD=CE.
图3.17-6
【生活实际运用】
有一块四边形地ABCD(如图3.17-7)∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD的面积？
图3.17-7
【知识探究学习】
1.直角三角形边角关系定理为证明线段倍分关系、线段平方关系提供了理论依据；勾股定理及逆定理在几何证明与计算中应用非常广泛，熟悉常用的勾股数常能挖掘隐含条件.
2.一些复杂的几何问题常常要分解为下述的基本图形及其基本结论来解决.(如图3.17-8)
图3.17-8
参考答案
【同步达纲练习】
一、× × √ × × ×
二、B A B B C
三、1.为直角三角形 2.1∶2∶3 3.150° 4.∶1 5.120 6.3
四、1.AC2+BC2=(AC+BC)2-2AC·BC=16-2=14=AB2 ∴△ABC为Rt△
CD为斜边上的高，CE为中线 ∴CE=
，CD=
.
DE2=CE2-CD2=
∴DE=
.
2.AC2=CD2+AD2 BC2=CD2+BD2 ∴AC2+BC2=AD2+BD2+2CD2.2CD2=AD·BD
∴AC2+BC2=AD2+BD2+2AD·BD=AB2 ∴△ABC为Rt△.
∵∠A=60° ∴∠B=30° ∴AD=AC=AB.
【素质优化训练】
1.72+242=252 ∵AB=7,BC=24,AC=25 ∴AB2+BC2=AC2. ∠ABC=90° AE=EC
∴BE=AC=DE. ∴DE=EA=EC. ∴∠ADC=90° AD2=AC2-CD2=252-202=225
AD=15.SABCD=(7×24+20×15)=84+150=234.
2.易知△ABC中AB=AC，∠BAC=90°,作AM⊥BC于M，DF⊥BC于F.
∵l∥BC ∴AM=DF=BC=BD.(∵BD=BC) ∴∠DBC=30°
∴∠BDC=75°=∠BCD ∴∠ACB=45° ∴∠ECD=30°，∠EDC=75°
∴∠CED=75°=∠EDC ∴CD=CE.
【生活实际运用】
36平方米