高级中等学校招生统一考试数学试卷6
第I卷 （机读卷 共56分）
一、选择题:（共14个小题，每小题4分，共56分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—14题的相应位置上。
1. -5的绝对值是（ ）
A. 5 B.
C.
D.
-5
2. 计算
的结果是（ ）
A. -9 B. -6 C.
D.
3. 计算
的结果是（ ）
A. a12 B. a C. a7 D. 2a3
4. 2002年我国发现首个世界级大气田，储量达6000亿立方米，6000亿立方米用科学记数法表示为（ ）
A. 6×102亿立方米 B. 6×103亿立方米
C. 6×104亿立方米 D. 0.6×104 亿立方米
5. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等边三角形
6. 如果两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为10cm，那么这两个圆的公切线共有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
7. 如果反比例函数
的图象经过点P（-2,3），那么
的值是
A. -6 B. 
C.
D.
6
8. 在ΔABC中，∠C=900，如果sinA=
，那么sinB的值等于（ ）
A. 
B. 
C.
D.
9. 如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，
如果∠CAB=550，那么∠AOB 等于（ ）
A. 550 B. 900 C. 1100 D. 1200
10. 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积等于（ ）
A. 
B.
C.
20cm2 D. 40cm2
11. 如果关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取 值范围是
A. k<1 B. k≠0 C.
D.k>1
12. 在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，李老师从5月8日至5月14日在网上答题个数的记录如下表：
| 日期 | 5月8日 | 5月9日 | 5月10日 | 5月11日 | 5月12日 | 5月13日 | 5月14日 |
| 答题个数 | 68 | 55 | 50 | 56 | 54 | 48 | 68 |
在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中，众数和中位数依次是（ ）
A. 68，55 B. 55，68 C.
68，57 D.
55，57
13. 如图，AB是⊙O的直径，弦
，垂足为E，
如果AB=10，CD=8，那么AE的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. 三峡工程在6月1日于6月10日下闸蓄水期间，水库水位
由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速
上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h（米）随时间t（天）变化的是（ ）
第II卷 （非机读卷 共64分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
15. 在函数
中，自变量x的取值范围是_______。
16. 如果，在等边三角形ABC中，点D、E分别
在AB、AC边上，且DE//BC，如果BC=8cm，
AD：AB=1：4，那么
的周长等于________cm。
17. 如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得
，
，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是________米。
18. 观察下列顺序排列的等式：
猜想：第n个等式（n为正整数）应为___________________。
三、（共3个小题，共14分）
19. （4分）分解因式：x2-2xy+y2-9。
解：
20. （4分）计算：
。
解：
21. （6分）用换元法解方程x2-3x+5+
.
解：
四、（5分）
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连结___________
（2）猜想：__________=__________。
（3）证明：
五、（6分）
23. 列方程或方程组解应用题：
在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数） ，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”。
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少。
解：
六. （本题满分7分）
24. 已知：关于x的方程x2-2mx+3m=的两个实数根是x1,x2，且(x1-x2)2=16。如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
解：
七. （本题满分8分）
25. 已知：在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且
∠B=∠CAE,FE∶FD=4∶3。
（1）求证：AF=DF.
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求ΔABC的面积。
八. （本题满分8分）
26. 已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴，y轴的距离 的比为5：2的 点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问 ：在抛物线的对称轴上是否存在点P， 使
的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解：
试题答案
第I卷 （机读卷 共56分）
一. 选择题（共14个小题，每小题4分，共56分）
1. A 2. D 3. C 4. B 5. D 6. D 7. A 8. B 9. C
10. B 11. C 12. A 13. A 14. B
第II卷（非机读卷 共64分）
二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
15. x≥-3 16. 6 17. 30
18. 9(n-1)+n=10n-9（或9(n-1)+n=10(n-1)+1）
三. （共3个小题，共14分）
19. （本小题满分4分）
分解因式： x2-2xy+y2-9
解：x2-2xy+y2-9
(x-y)2-9 2分
(x-y+3)(x-y-3) 4分
20. （本小题满分4分）
计算：
解：
3分
4分
21. （本小题满分6分）
用换元法解方程
解：设x2-3x=y， 1分
则原方程化为
2分
∴y2+5y+6=0
解得y1=-2,y2=-3 3分
当y=-2时，x2-3x=-2
∴x2-3x+2=0
解得x1=1,x2=2 4分
当y=-3时，x2-3x=-3
∴x2-3x+3=0
∵Δ=9-12<0
∴此方程无实数根。 5分
经检验，x1=1,x2=2都是原方程的根 6分
∴原方程的根为x1=1,x2=2.
四. （本题满分5分）
22. 如图，在平行四边形ABCD中， 点E、F 在对角线AC上，且AE=CF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连结____________。
（2）猜想___________=___________。
（3）证明：
答案一：
（1）连结 BF 1分
（2）猜想： BF = DE 2分
（3）
证法一：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC,AD∥BC
∴∠DAE=∠BCF 3分
在
和
中，
4分
∴BF=DE 5分
证法二：连结DB、DF，设DB、AC交于点O
四边形ABCD为平行四边形
∴AO=OC,DO=OB
∵AE=FC
∴AO-AE=OC-FC
∴EO=OF 3分
∴四边形EBFD为平行四边形 4分
∴BF=DE 5分
答案二：
（1）连结 DF 1分
（2）猜想： DF = BE 2分
（3）证明：略（参照答案一给分）
五. （本题满分6分）
23. 列方程或方程组解应用题：
在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”。
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少。
解法一：设高峰时段三环路的车流量每小时x辆， 1分
则高峰时段四环路的车流量为每小时(x+2000)辆。 2分
根据题意，得
3x-(x+2000)=2×10000 4分
解这个方程，得x=11000 5分
x+2000=13000
答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆。
6分
解法二： 设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，四环路的车流量为每小时y辆。 1分
根据题意，得
4分
解这个方程组，得
5分
答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆。 6分
六. （本题满分7分）
24. 已知：关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2，且(x1-x2)2=16。如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
解：∵x1,x2是方程x2-2mx+3m=0（1）的两个实数根
解得m1=-1,m2=4 3分
（i）当m=-1时，
方程（1）为x2+2x-3=0
方程x2-2mx+6m-9=0（2）为x2+2x-15=0
不在
和1之间
不合题意，舍去。 5分
（ii） 当m=4时，
方程（1）为
，即
方程（2）的两根都在方程（1）的两根之间。
7分
综合（i）（ii），m=4
注：利用数形结合解此题正确的，参照上述评分标准给分。
七. （本题满分8分）
25. 已知：在ΔABC中，AD为
的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且
。
（1）求证：AF=DF
（2）求
的余弦值；
（3）如果BD=10，求ΔABC的面积。
解法一：
（1）证明：
平分
DE是半圆C的直径
2分
（2）解：连结DM
是半圆C的直径
可设
，由勾股定理，得DE=5x
由切割线定理的推论，得
4分
在
中
5分
（3）解：过A点作
于N
由
得
在
中
解得
7分
8分
解法二：
（1）证明：同解法一（1）
（2）解：过A点作于N
在
中，
可设FE=4x，则FD=3x
由勾股定理，得
由勾股定理，得
5分
（3）解：在
中
解得
8分
八. （本题满分8分）
26. 已知：抛物线
与x轴的一个交点为A（-1，0）
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴，y轴的距离 的比为5：2的 点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问 ：在抛物线的对称轴上是否存在点P， 使的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
解法一：
（1）依题意， 抛物线的对称轴为
抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）
由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（-3，0）
2分
（2）抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）
梯形ABCD中，AB//CD
且点C在抛物线
上，
梯形ABCD的面积为9，
所求抛物线的解析式为
或
5分
（3）设点E坐标为（
），
依题意，
，且
（1）设点E在抛物线上，
解方程组
得
点E与点A在对称轴的同侧
点E坐标为（
）
设在抛物线的对称轴上存在一点P，使的周长最小。
AE长为定值
要使的周长最小，只须
最小。
点A关于对称轴的对称点是B（
）
由几何知识可知，P是直线BE与对称轴的交点。
设过点E、B的直线的解析式为
，
解得：
直线BE的解析式为
把代入上式，得
点P坐标为（
）
（2）设点E在抛物线上，
解方程组
消去
，得
此方程无实数根
综上，在抛物线的对称轴上存在点P（），使的周长最小。 8分
解法二：
（1）抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）
令
，即
，
解得：
抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（-3，0） 2分
（2）由，得
梯形ABCD中，AB//CD
且点C在抛物线上
梯形ABCD的面积为9
解得
所求抛物线的解析式为或 5分
（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴的交点。
如图，过点E作
轴于点Q
设对称轴与x轴的交点为F
由PF//EQ，
可得
点P坐标为（）
以下同解法一。