中考数学冲刺二

中考数学冲刺二

　　一. 考点：

　　1.掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集。

　　2.会解整式方程（或方程组）、不等式（或不等式组）；能灵活应用方程、不等式思想解决实际问题。

　　3.理解与记忆一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数关系的应用。

　　4.熟练掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式。

　　5.会用根与系数的关系或者根的判别式求方程中字母系数的值或范围。

　　6.会解分式方程。

　　二. 难点提示:

　　1.一元二次方程的根的判别式：△=b²-4ac，当△>0方程有两个不相等的实数根；当△=0时方程有两个相等的实数根；当△<0方程没有实数根。

　　2.根与系数的关系：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-，x₁·x₂=。

　　反过来，以x₁，x₂为根的一元二次方程是(x-x₁)(x-x₂)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程
ax²+bx+c=0（a≠0）。

　　特殊的：对二次项系数为1的方程x²+px+q=0的两根为x₁，x₂时，那么x₁+x₂=-p，x₁· x₂=q。反之，以x₁，x₂为根的一元二次方程是：(x-x₁)(x-x₂)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x²+px+q=0。

　　3.解分式方程的数学思想是转化为整式方程，方法为去分母法和换元法。

　　三. 注意事项：

　　1.不等式的基本性质中

　　不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b，且c<0，那么ac<bc(或<),所以在解不等式时,注意”系数化为1”这一步。

　　2.不等式解集的表示方法。

　　用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象，尤其是在解较复杂的不等式或解不等式组时，易于找到正确的答案。在数轴上表示不等式的解集时，要注意：当解集包括端点时，在端点处画实心圆圈，否则，画空心圆圈。

　　3.根的判别式应用极为广泛，主要有以下几方面：

　　（1）不解方程，判断根的情况，步骤是：①化方程为一般形式，确定a,b,c的值；②计算b²-4ac，并确定它的符号；③用定理判断根的情况。

　　（2）给出根的情况，求方程中字母系数的取值范围。解题步骤是：①化方程为一般形式，确定a,b,c的值；②求判别式，它是含有字母系数的代数式；③根据题目所要满足的条件列出方程或不等式；④解方程或不等式，确定字母取值范围。

　　注意：当二次项系数也含有字母时，要根据题设条件判断二次项系数是否可以等于0，这一点往往容易忽视，造成错误，应特别小心。

　　4.把二次三项式ax²+bx+c分解因式时，先求出方程ax²+bx+c=0的两个根x₁，x₂，再将二次三项式改写成ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)；注意不要丢掉系数a；用求根公式法分解ax²+bxy+cy²时，应将题中两个字母中的一个看作是另一个字母的系数。

　　5.△=b²-4ac也可用来判定二次三项式ax²+bx+c（a≠0）是否可在实数范围内分解因式：①当△＞0时，ax²+bx+c在实数范围内可分解固式。②当△=0时，ax²+bx+c=a(x–x₁)²。③当△＜0时，ax²+bx+c（a≠0）在实数范围内不可分解因式。

　　四. 中考真题解析：
　　1.（2002　 北京东城区）不等式组的最小整数解为（ ）
　　A、–1　　B、0　　C、1　　D、4

　　考点：不等式组的整数解

　　评析：解不等式(2)得x≤4，所以不等式组的解集为＜x≤4，在此不等式中最小整数为0，所以选B。

　　2.（2002　 北京西城区）关于x的方程x²–kx+k–2=0的根的情况是（ ）
　　A、有两个不相等的实数根　　B、有两个相等的实数根
　　C、无实数根　　　　　　　　D、不能确定

　　考点：根的判别

　　评析：对于一元二次方程而言，当判别式△＞0时有二不等实根，当△＜0时无实数根，当△=0时有二等实根，所以判定根的情况关键是求△。该题中
　　△=k²–4(k–2)=k²–4k+8=(k–2)²+4，无论k取任何数，△总是大于0的。所以该方程有两个不等实根。应选A。

　　3.（北京东城区）若2x²-5x+-5=0，则2x²-5x-1的值为_______；

　　考点：换元法解分式方程
　　评析：换元法是一种解分式方程的重要方法。根据该题的特征，可设2x²-5x-1=y ，方程变为y+-4=0。去分母化成整数方程为：y²-2y=0，解之得y=0或y=2，经检验，y=0或y=2都符合题意。因此2x²-5x-1的值为0或2。

　　4. (北京海淀区)用配方法将二次三项式a²–4a+5变形，结果是（ ）
　　A、(a–2)²+1　　B、(a+2)²+1　　C、(a+2)²-1　　D、(a–2)²-1

　　考点：配方法的运用

　　评析：配方法一般用于解一元二次方程。但有时也可以运用它将二次三项式变形，该题就是此种问题。具体过程为a²–4a+5=a²–4a+4+1=(a–2)²+1所以正确选项为A。

　　说明：①该题也可以将各选项展开合并，然后与a²-4a+5比较。从而确定出正确选项。

　　②注意：当二次项系数不是1时，在配方的第一步：把二项式系数化1时，不要与方程的二项式系数化1相混淆。在方程变形中，是两边除以二项式系数，在二次三项式变形中，是提取二次项系数。

　　5.（河北省）在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题共有25道题,每道题都给出4个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或选错倒扣2分。如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了________________道题。

　　考点：一元一次不等式的应用

　　评析：可设选对了x道，那么选错或不选的共有（25–x）道题。根据题意，可以列不等式为4x–2(25–x)≥60，解不等式得ｘ≥18，取解集中的最小整数为19。

　　说明：列不等式解的应用题：一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求，要正确理解这几个词的含义。

　　6.（河南省）已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a(x²-1)-2cx+b(x²+1)=0的根的情况为（　 ）
　　A、有两个相等的实数根　　B、有两个不相等的实数根　　C、没有实数根　　D、无法确定

　　考点：勾股定理、根的判别式

　　评析：该题是一道几何代数综合型试题，因为三角形是直角三角形，∠B＝90°，根据勾股定理则有b²=a²+c²，将方程a（x²-1）-2cx+b(x²+1)=0化为一般形式为
　　(a+b)x²-2cx+(b-a)=0。那么△=(-2c)²-4(a+b)·(b-a)=4c²-4b²+4a²=4[(a²+c²)-b²]，又b²=a²+c²，所以△=0，原方程有两个相等实数根，故选A。

　　7.（北京东城区）商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？

　　考点：一元一次不等式的应用

　　评析：列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意设出适当的未知数。消费者要买A型冰箱，10年的花费用比B型少才行，设打x折，那么A型10年的费用为2190×+365×10×1×0.40，B型10年的费用为2190×（1+10%）+365×10×0.55×0.40，根据题意得不等式2190×+365×10×1×0.40≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.40，解得x8，所以至少打八折，解题过程如下：

　　解：设商场将A型冰箱打x折出售，消费者购买才合算

　　依题意，有
　　2190×+365×10×1×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4

　　即 219ｘ＋1460≤2409＋803

　　解这个不等式，得 x≤8

　　答：商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。

　　五. 实战练习:

　　1．（2002　 北京海淀区）若a–b＜0，则下列各式中一定正确的是（　 ）
　　A、a＞b　　B、ab＞0　　C、　　D、–a＞–b

　　2．（2002　 北京东城区）关于x的一元二次方程(a–1)x²+x+a²–1=0的一个根是0，则a的值为（　 ）
　　A、1　　B、-1　　C、1或-1　　D、

　　3.（2002　 北京西城区）如果关于x的方程2x²–7x+m=0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（　 ）
　　A、　　B、-　　C、2　　D、-2

　　二、解答题：
　　1．（2002　 北京西城区）解不等式组

　　2．（2002　 北京崇文区）求不等式组的整数解。

　　3．（ 荆门市）已知关于x的方程x²–（k＋2）x+2k=0
　　（1）求证无论K取任何实数值，方程总有实数根。
　　（2）若等腰三角形的一边长为ａ=1，另两边恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长。

　　4．（北京西城区）解方程：-2=

　　5.（北京东城区）已知关于x的方程x²-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值。

　　6．（2002　 北京海淀区）已知：关于x的方程(n–1)x²+mx+1=0　 ①　　　 有两个相等的实数根。
　　⑴求证：关于y的方程m²y²–2my–m²–2n²+3=0　 ②　　　 必有两个不相等的实数根；
　　⑵若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m²n+12n的值。

　　答案：

　　一、1.D　　　2.B　　　3.C

　　二、解答题

　　1、解：解不等式(1)，得x<3

　　解不等式(2)，得x+8＞–3x,　x＞–2。

　　在数轴上表示不等式(1)，(2)的解集。

　　

　　∴不等式组的解集为-2＜ｘ＜3

　　2、解：解3x+7<5(x+2)，得x＞
　　解，得x＜2。
　　∴不等式组的解集为＜x＜2
　　在＜x＜2中的整数有–1、0、1

　　∴不等式组的整数解是：–1、0、1。

　　3、解：①△=[-（k＋2）]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0

　　∴无论k为为任何实数值，所给方程总有实数根。

　　②设等腰三角形另两边为b、c。

　　如果ａ=1是底边，则ｂ=ｃ，即所给方程有两个相等实根。

　　∴△=(k—2)²=0，即k=2。

　　∴b+c=k+2=4。∴b=c=2。

　　又∵ａ=1，a、b、c可组成等腰三角形，其周长为5，如果ａ=1是等腰三角形的腰，则不妨设b=a=1，将b=1代入原方程，可求得k=1。

　　于是b·c=c=2k=2。但ａ=1，b=1，c=2，三线段不能组成三角形。因此，这种情况不存在。

　　4. 解分式方程，出现在中考中几率很高，有时是单独求解分式方程，有时放在应用题目中，所以，应注意计算的方法以及准确率，并注意一定要检验。

　　解：原方程就是-2=

　　去分母，得1+x-2(1-x²)=3x-x², 3x²-2x-1=0

　　解这个方程，得x₁=-, x₂=1。
　　经检验 x=1是增根，x=-是原方程的解，∴ 原方程的解为x=-。

　　5、准确掌握一元二次方程的根与系数的关系是解决问题的基础，能将代数式进行变形。

　　解：设方程x²-(k-1)x+k+1=0的两个实数根是x₁,x₂，那么x₁+x₂=k-1, x₁·x₂=k+1。

　　由x₁²+x₂²=4, 得(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4。即(k-1)²-2(k+1)=4，k²-4k-5=0。

　　解这个方程，得k=5或k=-1。当k=5时，Δ=(5-1)²-４(5+1)<0，原方程无实数根，故x=5舍去，

　　当k=-1时，Δ=(-1-1)²-4(-1+1)>0,因此，k=-1为所求。

　　6、⑴证明：∵方程①有两个相等的实数根，

　　∴

　　∴m²=4(n–1)，且m≠0，则n–1＞0。

　　由方程②，有
　　△₂=4m²–4m²(–m²–2n²+3)
　　　 =4m²(1+m²+2n²–3)
　　　 =4m²(1+4n–4+2n²–3)
　　　 =4m²(2n² +4n–6)
　　　 =8m²(n+3)(n–1)。

　　∵n–1＞0且m≠0，

　　∴8m²＞0，n+3＞0。

　　∴8m²(n +3)(n–1)＞0。

　　∴△₂＞0。

　　∴方程②必有两个不相等的实数根。

　　⑵解：由m²⁼4(n–1)可得n–1=。

　　将n–1=代入方程①得x²+mx+1=0。

　　解得x₁=x₂=。

　　∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，

　　由根的定义，得m²·()²–2m·–m²–2n²+3=0。

　　整理，得–m²–2n²+3=0。

　　即–2n²–4(n–1)+3=0。

　　∴2n²+4n=7。

　　∴m²n+12n=n(m²+12)=n(4n–4+12)=4n²+8n=2(2n²+4n)=14。