高级中等学校招生统一考试数学试卷
一、选择题：（共14个小题，每小题4分，共56分）
1、－5的绝对值是（ ）
A、5
B、
C、－
D、－5
2、计算
的结果是（ ）
A、－9
B、－6
C、－
D、
3、计算
的结果是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、2002年我国发现首个世界级大气田，储量达6000亿立方米，6000亿立方米用科学记数法表示为（ ）
A、6×102 亿立方米 B、6×103亿立方米
C、6×104 亿立方米 D、0.6×104 亿立方米
5、下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A、菱形 B、矩形 C、正方形 D、等边三角形
6、如果两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为10cm，那么这两个圆的公切线共有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
7、如果反比例函数
的图像经过点P（－2，3），那么
的值是（ ）
A、－6
B、－
C、－
D、6
8、在△ABC中，∠C＝900，如果tanA＝
，那么sinB的值等于（ ）
A、
B、
C、
D、
9、如图（图在第2页）：CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝550，那么∠AOB＝（ ）
A、550 B、900 C、1100 D、1200
10、如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积等于（ ）
A、
cm2
B、
cm2 C、20cm2 D、40cm2
11、如果关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A、＜1 B、≠0
C、＜1且≠0
D、＞1
12、在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，李老师从5月8日至5月14日在网上答题个数的记录如下表：
| 日 期 | 5月8日 | 5月9日 | 5月10日 | 5月11日 | 5月12日 | 5月13日 | 5月14日 |
| 答题个数 | 68 | 55 | 50 | 56 | 54 | 48 | 68 |
在李老师每天的答题个数所组成的这组数据中，众数和中位数依次是（ ）
A、68，55 B、55，68 C、68，57 D、55，57
13、如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
14、三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，。假设水库水位匀速上升。那么下列图像中，能正确反映这10天水位
（米）随时间
（天）变化的是（ ）
二、填空题：（共4个小题，每小时4分，共16分）
15、在函数
中，自变量的取值范围是
。
16、如图：在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，如果BC＝8cm，AD∶AB＝1∶4，那么△ADE的周长等于 cm。
17、如图：B、C是河岸边两点，A是河对岸岸边一点，测得∠ABC＝450，∠ACB＝450，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是 米。
18、观察下列顺序排列的等式：
9×0＋1＝1；
9×1＋2＝11；
9×2＋3＝21；
9×3＋4＝31；
9×4＋5＝41；
……
猜测第
个等式（为正整数）应为
。
三、（共3个小题，14分）
19、（4分）分解因式：
20、（4分）计算：
21、（6分）用换元法解方程：
四、（本大题5分）
22、如图：在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段。猜测并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连结 ；
（2）猜测 ＝ ；
（3）证明：
五、（6分）列方程或方程组解应用题：
23、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
六、（7分）
24、已知关于的方程
的两个实数根为
、
，且
如果关于的另一方程
的两个实数根都在和之间，求
的值。
七、（8分）
25、已知，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE∶FD＝4∶3。
（1）求证：AF＝DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD＝10，求△ABC的面积。
八、（8分）
26、已知：抛物线
与轴的一个交点为A（－1，0）。
（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与
轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到轴、轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、ADCBD，DABCB，CAAB
二、15、≥－3；16、6；17、30；18、
＝
或＝
三、19、
；20、
；
21、解：设
＝，则原方程化为
，解得
＝－2，
＝－3
当＝－2时，＝－2，解得＝1，＝2；
当＝－3时，＝－3，∵△＜0，∴此方程无实数根；
经检验：＝1，＝2都是原方程的根。
∴原方程的根是：＝1，＝2
22、答案一：连结BF，猜测BF＝DE
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAE＝∠BCF
在△BCF和△DAE中，
∵
∴△BCF≌△DAE
∴BF＝DE
答案二：连结DF，猜测DF＝BE，证明略。
23、
解法一：设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时
辆，根据题意得：
解这个方程得＝11000
∴
＝13000
答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆。
解法二：设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：
解得
答：略。
24、解：∵、是方程①的两个实数根
∴＋＝
，
＝
又∵
＝16
∴
＝16
∴
解得
＝－1，
＝4
（1）当＝－1时，方程①为
，解得＝－3，＝1
方程②为
，解得
＝－5，
＝3
∵－5、3不在－3和1之间
∴＝－1不符题意，舍去。
（2）当＝4时，方程①为
，解得＝2，＝6
方程②为
，解得＝3，＝5
∵2＜3＜5＜6，即＜＜＜
∴方程②的两根都在方程①的两根之间。
∴＝4
综合①②可得＝4
25、解法一：（1）
证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC
∵∠B＝∠CAE
∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE
∵∠ADE＝∠BAD＋∠B
∴∠ADE＝∠DAE
∴EA＝ED
∵DE是半圆C的直径
∴∠DFE＝900
∴AF＝DF
（2）解；连结DM
∵DE是半圆C的直径
∴∠DME＝900
∵FE∶FD＝4∶3
可设FE＝
，则FD＝
，由勾股定理得DE＝
∴AE＝DE＝，AF＝FD＝
由切割线定理的推论得
∴
，解得AM＝
∴ME＝AE－AM＝－＝
在Rt△DME中，
＝
＝
＝
（3）过A点作AN⊥BE于点E，由＝得
＝
∵AN＝AE＝
在△CAE和△ABE中，∵∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA
∴△CAE∽△ABE
∴
∴
∴
解得＝2
AN＝＝
BC＝BD＋DC＝10＋
＝15
∴
＝
＝
＝
解法二：（1）同解法一
（2）解：过A点作AN⊥BE于N
在Rt△DFE中，
∵FE∶FD＝4∶3
∴可设FE＝，则FD＝，由勾股定理得DE＝
∴AE＝DE＝，AF＝FD＝
∵
＝
＝
∴
＝
∴
∴AN＝
由勾股定理得EN＝
∴＝
＝＝
（3）解：在△CAE和△ABE中
∵∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA
∴△CAE∽△ABE
∴
∴
∴
解得＝2
∴AN＝＝
BC＝BD＋DC＝10＋＝15
∴＝＝＝
26、解法一：
（1）依题意抛物线的对称轴为＝－2
∵抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）
∴由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）
（2）∵抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）
∴
∴
∴
∴D（0，
）
在梯形ABCD中，∵AB∥CD，且点C在抛物线上
∴C（－4，）
∴AB＝2，CD＝4
∵梯形ABCD的面积为9
∴
∴
∴＝±1
∴所求抛物线的解析式为
或
（3）设点E的坐标为（
，
），依题意得＜0，＞0，且
∴＝
①设点E在抛物线上
∴
解方程组
得
，
∵点E与点A在对称轴＝－2的同侧
∴点E的坐标为（
，
）
设在抛物线的对称轴＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小
∵AE长为定值
∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小
∵点A关于对称轴＝－2的对称点是B（－3，0）
∴由几何知识可知P是直线BE与对称轴＝－2的交点
设过点E、B的直线解析式为
∴
解得
∴直线BE的解析式为
把＝－2代入上式得
∴点P的坐标为（－2，
）
②设点E在抛物线上
∴
解方程组
消去得
∵△＜0
∴此方程无实数根
综上所述：在抛物线的对称轴上存在点P（－2，），使△APE的周长最小。
解法二：
（1）∵抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）
∴
∴
∴
令＝0，即
解得＝－1，＝－3
∴抛物线与轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）
（2）由得D（0，）
∵梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线上
∴C（－4，）
∴AB＝2，CD＝4
∵梯形ABCD的面积为9
∴，解得OD＝3
∴
∴＝±1
∴所求抛物线的解析式为或
（3）由解法（1）得：P是直线BE与对称轴＝－2的交点
如图：过点E作EQ⊥轴于点Q
设对称轴与轴的交点为F
由PF∥EQ可得
∴
∴PF＝
∴点P的坐标为（－2，）
以下同解法一。