数与式(2)整式的运算、生活中的数据

北师大版数学总复习第一部分 数与式(2)整式的运算、生活中的数据(七下)

　　复习目标

　　1.进一步理解字母表示数的意义，发展符号感．

　　2.理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、推理、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力．

　　3.理解整指数幂的意义及正整数指数幂的运算性质；会进行整式加、减、乘、除运算．

　　4.能形象地描述百万分之一等较小的数据，并用科学记数法表示它们，进一步发展数感；能借助科学计算器进行有关科学记数法的计算．

　　5.理解近似数与有效数字的概念，能按要求取近似数，体会近似数的意义及在生活中的作用．

　　6.在解决问题的过程中了解数学的应用价值，发展“用数学”的信心和能力．

　　知识要点

　　1.单项式：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

　　2.多项式：几个单项式的和叫做多项式．

　　3.整式：单项式和多项式统称整式．

　　4.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

　　5.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．

　　6.同底数幂的乘法法则：a^m·aⁿ=a^m+n(m,n都是正整数)．就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

　　7.幂的乘方法则：(a^m)ⁿ=a^mn(m,n都是正整数)．就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．

　　8.积的乘方法则：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(n是正整数)．就是说，积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

　　9.同底数幂的除法法则：a^m÷aⁿ=a^m-n(a≠0,m,n都是正整数,且m＞n)．就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．

　　10.零指数幂和负整数指数幂：， (a≠0,p是正整数)．

　　11.整式的乘法法则：

　　(1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；

　　(2)单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；

　　(3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

　　12.乘法公式：(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²；(2)完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²．

　　13.整式的除法法则：

　　(1)单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式；

　　(2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

　　14.近似数的精确度：利用四舍五入法取一个数的近似值时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．

　　15.近似数的有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．

　　典型例题

　　例1 已知x+y=7，xy=8，求x²+y²的值．

　　分析：我们可以根据已知条件，先求出x和y，然后再代入求值．但目前尚不掌握由已知条件求x，y的方法，即便将来学会了这种方法，用来解决这类问题，也不简便．于是我们可根据现有知识，设法将x²+y²变形为用x+y和xy来表示的代数式，再代入求值．

　　解：因为(x+y)²=x²+y²+2xy，所以x²+y²=(x+y)²-2xy．

　　　　又因为x+y=7，xy=8，所以x²+y²=(x+y)²-2xy=7²-2×8=49-16=33．

　　点评：x²+y²=(x+y)²-2xy这种变形很重要，应该掌握，类似地，(x-y)²=(x+y)²-4xy，(x+y)²=(x-y)²+4xy，等等，也都应该掌握．

　　例2 求证两个连续正偶数的平方差等于这两个数的和的2倍．

　　分析：两个连续偶数不能用具体数代替，而要用字母2n和(2n+2)表示.

　　解：设两个连续正偶数是2n和2n+2(n为正整数).

　　　　∵(2n+2)²-(2n)²

　　　　=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]

　　　　=(2n+2+2n)(2n+2-2n)

　　　　=2[(2n+2)+2n]，

　　　　∴两个正偶数的平方差等于这两个数和的2倍

　　例3 先化简，再求值：(2x+1)²-(2x+1)(2x-1)-(x-1)(x²+x+2)+x(x²+1)，其中x= -1．

　　分析：在化简多项式的过程中，能利用乘法公式的一定要利用乘法公式计算，这样可以使计算简便.

　　解：原式=4x²+4x+1-(4x²-1)-(x³+x²+2x-x²-x-2)+x³+x

　　　　　　=4x²+4x+1-4x²+1-(x³+x-2)+x³+x

　　　　　　=4x²+4x+1-4x²+1-x³-x+2+x³+x

　　　　　　=4x+4．

　　　　当x=-1时，

　　　　原式=4×(-1)+4=-4+4=0．

　　例4 当m为何值时，是四次多项式．

　　分析：对于多项式的次数，要充分把握住它是由组成多项式的各单项式中次数最高项的次数来表示的．因此，本例中此项应该是．

　　解：因为x²y和-3分别是三次项和常数项．因此，只有当是四次项时，原多项式才是四次多项式．

　　　　所以，m-6+2=4.

　　　　解得m=16．

　　　　即当m=16时，原多项式是四次多项式．

　　能力训练

　　一、填空题

　　1.若25x²+mxy+81y²是完全平方式，则m的值为____．

　　2.若3^x+1·2^x+1=6^2x-3，则x=____．

　　3.当3m+2n-3=0时，则8^m·4ⁿ=____．

　　4.若3<a<5，则5-a+3-a=____．

　　5.计算的结果为____．

　　6.若a+b=5，ab=4，则a²+ b²的值为____．

　　7.已知a^m=2,aⁿ=3，则a^3m-2n的结果为____．

　　8.若两个连续自然数的平方差是15，则这两个自然数的积为____．

　　9.若单项式7ab^mc²与单项式5xy⁶的次数相同，则m的值是____．

　　10.已知 (x-ay)(x+ay)=x²-16y², 那么a =____．

　　二、选择题

　　1.下列运算中正确的是( )

　　A. 　　　　　　　　B.

　　C.(a-2)²=a²-4 　　　　　　　　D.-0.005=5×10^-3

　　2.下列计算结果正确的是( )

　　A.(3x⁴)²=6x⁸ 　　　　　　　　 B.(-x⁴)³=-x¹²

　　C.(-4a³)²=4a⁶ 　　　　　　　　D.[(- a)⁴]⁵=-a²⁰

　　3.下列计算结果错误的是( )

　　A.(ab)⁷÷(ab)³=(ab)⁴ 　　　　 B.(x²)³÷(x³)²=x

　　C. 　　 D.

　　4.若3^x=a，3^y=b，则3^2x-y等于( )

　　A. 　　　 　B. 　　　 　C.2ab 　　　　 D.

　　5.列计算结果正确的是( )

　　A.a³·a³=a⁹ 　　　　　　　　　B.m²·n²=mn⁴

　　C.x^m·x³=x^3+m 　　　　　　　　D.y·yⁿ=yⁿ

　　6.下列语句中错误的是( )

　　A.数字0也是单项式 　　　　　　B.单项式-a的系数与次数都是 1

　　C.πxy是二次单项式 　　　　 D.的系数是

　　三、解答题

　　1.(-2t-1)².

　　2.(ab+1)²-(ab-1)^2.

　　3.(2a-2b+3c)(2a+2b-3c).

　　4.(a^m)ⁿ(-a^3m)²ⁿ÷(a^mn)⁵-2(-a^mn)².

　　参考答案

　　一、1.±90 2.4 3.8 4.2 5.-6 6.17 7. 8.56 9.4 10.±4．

　　二、1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.B

　　三、1.4t²+4t+1　2.4ab　3.4a²-4b²-9c²+12bc　4.-a^mn