圆全章标准检测卷

第23章 圆全章标准检测卷

一、选择题:(每小题3分,共30分)

1.下列说法正确的是(　 )

A.垂直于半径的直线是圆的切线　　　　　  B.经过三点一定可以作圆

C.圆的切线垂直于圆的半径　　　　　　　  D.每个三角形都有一个内切圆

2.三角形的外心是(　 )

A.三条中线的交点　　　　　　　  B.三条边的垂直平分线的交点

C.三个内角平分线的交点　　　　  D.三条高的交点

3.如图(1),已知PA切⊙O于B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有(　 ) 个

A.3　　B.4　　C.5　　D.6

4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为(　 )

A.2cm　　　　　  B.14cm　　  C.2cm或14cm　　　D.10cm或20cm

5.在半径为6cm的圆中,长为2 cm的弧所对的圆周角的度数为(　 )

A.30°　　　　  B.100　　　　 C.120°　　　　 D.130°

6.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是(　 )

A.80°　　　B.100°　　C.120°　　 D.130°

7.AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,则tan∠BPD等于(　　)

A. 　　　 B.　　　　C.　　　　　  D.

8.如图(3),半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC 交⊙O于点D,则和的度数分别为(　 )

A.15°,15°　　　B.30°,15°　　　　  C.15°,30°　　  D.30°,30°

9.若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R²+d²=r²+2Rd, 则两圆的位置关系为(  )

A.内切　　　 B.内切或外切　　　 C.外切　　　 D.相交

10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是(　)

A.180°　　B.200°　　C.225°　　D.216°

二、填空题:(每小题3分,共30分)

11.点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________.

12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm.

13.过圆上一点引两条互相垂直的弦,如果圆心到两条弦的距离分别是2和3, 那么这两条弦长分别是_______.

14.如图(4),⊙O是△ABC的外接圆,AD是BC边上的高,已知BD=8,CD=3,AD=6, 则直径AM的长为________.

15.PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,若∠AOB=136°,则∠P=______.

16.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长6,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是__________.

17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____

18.两圆半径长分别为R和r(R>r),圆心距为d,若关于x的方程x²-2rx+(R-d)²=0有相等的实数根,则两圆的位置关系是_________.

19.如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC ∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.

20.如图(6),已知扇形AOB的圆心角为60°,半径为6,C、D分别是的三等分点, 则阴影部分的面积等于_______.

三、解答题(21～25题每题8分,26题10分,共50分)

21.如图所示,已知两同心圆中,大圆的弦AB、AC切小圆于D、E,△ABC 的周长为12cm,求△ADE的周长.

22.如图所示,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.

23.如图所示,AB是⊙O的直径.

 (1)操作:在⊙O上任取一点C(不与A、B重合),过点C作⊙O的切线;过点A 作过点C的切线的垂线AD,垂足为D,交BC的延长线于点E.

(2)根据上述操作及已知条件,在图中找出一些相等的线段, 并说明你所得到的结论.

24.如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时是否要采取紧急措施?

25.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AC=2,以AB为直径的圆交BC于D, 求图形阴影部分的面积.

26.如图所示,花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD,量得门框对角线AC 的长为2m.现准备打掉部分墙体,使其变为以AC为直径的圆弧形门, 问要打掉墙体的面积是多少?

(精确到0.1m²,)

四、学科间综合题(10分)

27.如图所示,在一个半径为R的均匀圆形薄金属片上挖去一个半径为的小圆孔,且圆孔跟圆板的边缘相切,求剩余部分的重心位置.

全章标准检测卷答案

一、

1.D　

解:任意一个三角形都有三个内角,其中任意两个内角的平分线必交于一点,该点到三角形三边的距离都相等,这点叫三角形的内心, 因此每一个三角形都有一个内切圆.这点叫三角形的内心,因此每一个三角形都有一个内切圆.

　　 点拨:正确理解圆的有关概念的意义是学好“圆”这一章的基础,学习易将三角形的内心与外心发生混淆.

2.B　

解:∵三角形的外心是该三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶点的距离都相等,线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等,∴三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点.

　　 点拨:正确理解三角形外心与内心的区别和联系,避免出现混淆.

3.D　

解:如答图所示,∵PA、PB切⊙O于A、B,

∴∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠OPA=∠OPB,

∴OP⊥AB,垂足为C,

∴∠OCA=∠OCB=∠PCA=∠PCB=90°,

∴图中能用字母表示的直角共有6个.

　　　点拨:本题是切线长定理的应用,读者易将△ABP误认为是等边三角形,易漏落∠OCA、∠OCB、∠PCA、∠PCB中的某几个角.

4.C

解:过O作直线EF⊥AB,垂足为E,交CD于F,连结OA、OC.

∵AB∥CD,∴EF⊥CD,∴AE= AB,CF= CD.

∵AB=12,CD=16,∴AE=6,CF=8.

∵在Rt△OAE中,OA=10,AE=6,

∴OE==8cm ,

∵在Rt△OCF中,OC=10,CF=8,

∴OF=

　　 当弦AB、CD位于圆心O的两侧时,EF=OE+OF=8+6=14(cm);

当弦AB、CD位于圆心O的同侧时,EF=OE-OF=8-6=2(cm),

故应选C.

　 　点拨:本题应用垂径定理及勾股定理使问题易得到解决,读者易将解答中的两种情况误认为只有一种情况解答.

5.A

解:如答图所示,设⊙O的半径R=6cm,

　∵,∴,

　∴n=60(度),即∠AOB=60°, ∴∠APB=30°.

　　　点拨:本题是弧长公式与圆周角定理的综合应用,

学生易将圆周角性质与圆心角性质、弧所对的圆周角与弧所含的圆周角发生混淆.

6.D

解:如答图所示,∵∠AOB=100°,

∴的度数=100°,

∴的度数=260°

∴∠ACB=130°.

　　　点拨:可见运用圆心角和圆周角的性质易得到解决,学生在书写时,误写成“=100°”写法,应写成“的度数=100°”.

7.A

解:如答图所示,连结BD,∵∠C=∠A,∠CPD=∠APB,

∴△CPD∽△APB,∴,

∵CD=3,AB=4,∴,∴PD=3k,AB=4k,

∵AB是⊙O的直径,∴∠BDP=90°,

∴BD=,

∴　.

点拨:该题是三角形相似、直径的性质以及解直角三角形的综合应用.在解直角三角形时,读者易由,误认为PD=3、PB=4.

8.B

解:如答图所示,∵OA=AB,OA=OB,∴OA=OB=AB,

∴∠OBA=60°.∵BC 是⊙O的切线,

∴∠OBC=90°,∴∠ABC=∠OBA+OBC=60°+90°=150°.

∵BC=AB, ∴∠BAD=∠BCA==15°,

∴的度数=30°.

∵∠OBC=90°,BC=OA=OB,∴△OBC 为等腰直角三角形,

∴∠BOE=45°,∴的度数=45°,

∴的度数=()的度数=45°-30°=15°.

 　　 点拨:本题应用等边三角形、等腰三角形的知识解决了圆中弧的度数问题,解答量易将圆周角性质与圆心角性质混淆,应特别注意.

9.B

解:∵R²+d²=r²+3Rd,∴(R²-2Rd+d²)-r²=0,∴(R-d)²-r²=0,∴(R-d+r)( R-d-r)=0,

∴R-d+r=0或R-d-r=0,∴d=R+r或d=R-r,∴两圆相外切或内切.

　　　点拨:该题通过整理、分解因式得到d与R、r的关系, 即可判定两圆的位置关系,解答时易误得到一种情况,忽视另一种情况.

10.D

解:∵圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,圆锥的侧面展开图是扇形,

∴扇形的半径R=5cm,扇形的弧长L=(cm),

∵,∴, ∴n=216°.

　　　点拨:应正确区别圆柱与圆锥的侧面展开图,读者易将这两种立体图形的侧面积混淆.

二、

11. 　

解:如答图所示,设AP切⊙O于P,连结OP,则OP⊥PA.在Rt△OPA中, OP=3,OA=OB+AB=3+5=8,∴PA=.

　　　点拨:遇切线就连结切点和圆心得过切点的半径,这是一条常见的辅助线.

12.4

解:如答图所示,连结OA,过O作OM⊥AB,垂足为M,则AM=AB,

∵AB=6cm,∴AM=3cm.∵⊙O直径为10cm,

∴OA=×10=5(cm),

在Rt△OAM中,OM=(cm).

　　　点拨:在解决与弦有关的问题时,常过圆心作弦的垂线段, 再利用垂径定理和勾股定理来解决.

13.6和4

解:如答图所示,∵AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,

四边形OMAN是距形, 且AM=AB,AN=AC,

∴OM=AN=2,ON=AM=3, 即AB=3, AC=2,

∴AB=6,AC=4.

　　　点拨:运用垂径定理和矩形的有关性质来解决该题,从而避免读者构造直角三角形来解决的思路,读者难以依据题意正确地画图.

14.

解:连结BM, ∵AM是直径,∴∠MBA=90°,∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°,

∴∠MBA=∠ADC=90°,又∵∠C=∠M,∴Rt△AMB∽Rt△ACD, ∴

 ∵AD=6,CD= 3,BD=8,

∴AB=,AC=

 ∴,∴AM=

　　　点拨:运用勾股定理及三角形相似解决该题,从而加强各知识点的沟通与综合运用.

15.44°

解:如答图所示,∵PA、PB切⊙O于A、B,

∴∠OAP=∠OBP=90°,

∵∠AOB=136°四边形OAPB内角和为360°,

∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB

=360°- 90°-90°-136°=44°.

　　　点拨:见到圆的切线即得到该切线和过切点的半径垂直,这是一条很重要的结论.此题还应联想到使用四边形的有关知识.

16.相切

解:如答图所示,连结OA,作OM⊥AB,垂足为M,则AM=AB,

∵AB= , ∴AM=3 ,∵OA=6,

∴d=OM=　,

即d=OM=r=3,故以3为半径的同心圆与直径AB相切.

　　　点拨: 在运用圆心到直线的距离与圆的半径大小来判断直线与圆的位置关系时,应避免认为“d”是圆心到直线上任一点的长.

17.4cm或16cm

解:设另一圆的半径为R₂cm,∵d=10cm,R₁=6cm.

①当两圆相内切时,得=d,∴=10,R_­2=16(cm);　

②当两圆相外切时,R₁+R₂=d, ∴6+R₂=10,R₂=4(cm) .

综上所述另一圆的半径为4cm或16cm.

18.外切或内切

解:∵x²-2rx+(R-d)²=0有相等的实数根,

∴△=0,即(-2r) ²-4×1×(R-d)²=0,4r²-4(R-d)²=0,

∴r²-(R-d)²=0(r+R-d)(r-R+d)=0,∴r+R-d= 0或r-R+d=0,

∴d=R+r或d=R-r,∴两圆相外切或相内切.

　　　点拨:这是“圆”与“一元二次方程”相关联的一道综合题， 解题时应由判别式等于零，得到圆心距d与两半径R、r之间的两种关系式.从而得到两圆的两种位置关系,易漏掉其中的一种情况.

19.

 解:连结OB、OC. ∵AB切⊙O于B,∴∠OBA=90°.在Rt △OAB中,OA=4,OB=2,

∴OB=OA,∴∠OAB=30°,∵OA∥BC,∴∠OAB+∠ABC=180°, ∴∠ABC=150°,

又∠OBA=90°,∴∠OBC=60°.∵OB=OC,∴△OBC为等边三角形,

又∵OA∥BC,∴△BCO与△BCA面积相等,

即,∴

　　　点拨:解此题时运用同底等高的三角形面积相等,将所求阴影部分面积转化为求扇形面积即可.

20.

 解:∵∠AOB=60°,∴的度数=60°,

∵C、D分别是的三等分点,∴,

∵n=∠AOB=60°,R=OA=6,

∴

　　　 点拨:从整体上把握图形间的联系,以及图形间的组合, 避免分别求阴影部分面积再相加,通过等积图形的替换转化为一个扇形为解决.

三、

21.6cm

解:连结OD、OE.∵AB、AC切小圆于D、E,

∴OD ⊥AB,OE⊥AC,∴AD=AB,AE=AC,

∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC.

∵△ABC的周长= AB+AC+BC=12cm,

∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AB+AC+BC=(AB+AC+BC)=×12=6(cm),

故△ADE的周长为6cm.

　　　 点拨:遇到切线就连结切点和圆心得过切点的半径与该切线垂直,再运用垂径定理、三角形中位线定理,将所求的三角形的周长看作一个整体来解决,从而避免盲目地分别求解.

22.解:连结OE,∵ED切⊙O于E,∴∠OED=90°,

∴∠OEA+∠AED= 90°.∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAE.

∵AE平分∠BAC,∴∠OAE=∠EAD,∴∠OEA=∠EAD,

∴∠EAD+∠AED=90°,即∠ADE=90°.故△ADE是直角三角形.

　　 点拨:应用切线性质及等腰三角形、角平分线的性质可解决.

23.(1)设C是⊙O上任一点(不与A、B重合),连结OC,过C点作直线CF⊥OC垂足为C,则直线CF即为过C点的圆的切线.

　　(2)圆中相等的线段有OA=OB,BC=CE,AE=AB.理由:∵同圆的半径相等,∴OA= OB,∵CF是⊙O的切线,∴OC⊥CE,∵AE⊥CD,∴OC∥AE,∵OA=OB,∴CB=CE,∴OC 是△ABC的中位线,∴OC=AE.∵OA=OB=OC,∴OC=AB,∴ AE=AB,∴AE=AB.

点拨:该题从总体上来看是一道开放型题目,应全面考虑,避免出现将作出的辅助线当作已知线段的失误.

24.解:设O为所在圆的圆心,其半径为x米作半径OP⊥AB,垂足为M, 交A′B′于N,∵AB==60米,MP=18米,OP⊥AB,

∴AM=AB= 30(米),OM=OP-MP=(x-18)米,

在Rt△OAM中,由勾股定理得OA²=AM²+OM²,

∴x²=30²+(x-18)²,∴x=34(米).

连结OA′,当PN=4时,∵PN=4,OP=x,∴ON=34-4=30(米).

设A′N=y米,在Rt△OA′N中,∵OA′=34,A′N=y,ON=30,

∴34²=y²+30²,∴y=16或y=-16(舍去),

∴A′N=16,∴A′B ′= 16×2=32(米)>30米,

∴不需要采取紧急措施.

　　 点拨:这是一道垂径定理、勾股定理在实践中的综合应用题,做题时, 应认真审题、正确构造出直角三角形,恰当选用题中的数据进行分析.

25.解:连结OD、AD.∵∠BAC=90°,AB=AC=2,∴∠B=∠C=45°,∵∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=90°-45°=45°,∴DB=DA.∵OA=OD=OB, ∴∠ODB=∠B=45°,∴∠BOD=90°,∴∠AOD=90°,∴OD⊥AB,∴,

∵ , ∴

　　 点拨:本题应用整体上把握阴影部分与图形间的等量组合,通过证得弓形  和弓形 面积相等,将所求阴影面积转化为求△ACD的面积来解决,避免分别求阴影面积再相加.

26.1.3m²

解:作OE⊥BC,垂足为E,设矩形外接圆的圆心为O,连结AC、BD.∵矩形ABCD的AC=2m,BC=1m,∴∠BAD=∠BCD=90°,AB=, ∴AC、BD均为⊙O的直径,∴⊙O的半径R==1(m),∵BO=CO=BC=1,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC= 60°.在Rt△OEB中,OB=1,∠OBE=60°, ,　∴OE=OB·sin∠OBE=(m),应打掉的墙体面积为S=

　　　　 =(m)

　　 点拨:本题实质上是求以AB、AD、DC为弦的三块弓形墙面的面积之和,通过本题的练习进一步培养读者应用数学的意识.

四、

27 解:(采用挖填转换法)

①假设剩余部分的重心还在O点不变,则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来等大的小圆孔,则剩下部分的重力为

.

如答图甲(设金属片厚为h,密度为p).

②由于左边挖去了一个半径为的小圆孔,必须在它的对应位置(左边)填上一个半径为的小圆孔,则它的重力为,重心在O₂ 上, 且,如图乙,设挖孔后的圆片的重心在O′点,经过上面的这一“挖”一“填”,再将①和②综合在一起,就等效于以O′为支点的杠杆,如图丙,由杠杆的平衡条件得,即,解得.

　　 点拨:可以肯定地说,同学们都知道应用杠杆的知识来解此题, 但由于该圆与标准的杠杆差别较大,如果不进行等效转换,很难求解, 故采用“挖填转换法”巧解此题.