高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标B卷）
| 考生须知 | 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷密封线内认真填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号． 3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． |
第Ⅰ卷（机读卷 共32分）
| 考生 须知 | 1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题． 2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效． |
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．
1．
的相反数是（ ）
Ａ．
Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
2．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为
平方千米．将用科学记数法表示应为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3．在函数
中，自变量
的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4．如图，
，点
在
的延长线上，
若
，则
的度数为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到附近的7个社区帮助爷爷，奶奶们学习英语日常用语．他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是（ ）
Ａ．32，31 Ｂ．32，32 Ｃ．3，31 Ｄ．3，32
6．把代数式
分解因式，结果正确的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
7．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8．将如右图所示的圆心角为
的扇形纸片
围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径
与
重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（ ）
高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标B卷）
第II卷（非机读卷 共88分）
| 考生 须知 | 1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题． 2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔． |
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）
9．若关于的一元二次方程
有实数根，则
的取值范围是 ．
10．若
，则
的值为 ．
11．用“
”定义新运算：对于任意实数
，
，都有
．例如，
，那么
；
当为实数时，
．
12．如图，在
中，
，
，
分别是
，
的中点，
，为
上的点，连结
，
．若
，
，
，则图中阴影部分的面积为 
．
三、解答题（共5个小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
计算：
．
解：
14．（本小题满分5分）
解不等式组
解：
15．（本小题满分5分）
解分式方程
．
解：
16．（本小题满分5分）
已知：如图，
，点
，点
在
上，
，
．
求证：
．
证明：
17．（本小题满分5分）
已知
，求代数式
的值．
解：
四、解答题（共2个小题，共11分．）
18．（本小题满分5分）
已知：如图，在梯形
中，，
，
，
于点，
，
．
求：
的长．
解：
19．（本小题满分6分）
已知：如图，内接于
，点在
的延长线上，
，
．
（1）求证：是的切线；
（2）若
，
，求的长．
（1）证明：
（2）解：
五、解答题（本题满分5分）
20．根据北京市统计局公布的2000年，2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下：
| 年份 | 大学程度人数（指大专及以上） | 高中程度人数（含中专） | 初中程度人数 | 小学程度人数 | 其他人数 |
| 2000年 | 233 | 320 | 475 | 234 | 120 |
| 2005年 | 362 | 372 | 476 | 212 | 114 |
请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题：
（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？
（2）2005年北京市常住人口中，少儿（
岁）人口约为多少万人？
（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法．
解：（1）
（2）
（3）
六、解答题（共2个小题，共9分．）
21．（本小题满分5分）
在平面直角坐标系
中，直线
绕点
顺时针旋转得到直线
．直线与反比例函数
的图象的一个交点为
，试确定反比例函数的解析式．
解：
22．（本小题满分4分）
请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为
．依题意，割补前后图形的面积相等，有
，解得
．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组
成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
 |
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
解：
七、解答题（本题满分6分）
23．如图1，
是
的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，
是直角，
，，
分别是
，
的平分线，，相交于点．请你判断并写出
与
之间的数量关系；
（2）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，
请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：画图：
 |
（1）
与
之间的数量关系为 ．
（2）
八、解答题（本题满分8分）
24．已知抛物线
与
轴交于点
，与轴分别交于
，
两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点为线段的一个三等分点，求直线
的解析式；
（3）若一个动点
自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点
．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长．
解：（1）
（2）
（3）
九、解答题（本题满分8分）
25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为
时，这对角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）
（2）
高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ｂ卷）
答案及评分参考
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．
2．第I卷是选择题，机读阅卷．
3．第II卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
第I卷（机读卷 共32分）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | Ａ | Ｃ | Ａ | Ｄ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | Ｂ |
第II卷（非机读卷 共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）
| 题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| 答案 |
| 2 | 10 | 26 | 30 |
三、解答题（本题共30分，每小题5分．）
13．解：
························································································· 4分
．···································································································· 5分
14．解：由不等式
解得 
．························································ 2分
由不等式
解得 
．····················································· 4分
则不等式组的解集为 
．····················································· 5分
15．解：
．······················································· 2分
．···································································· 3分
．··········································································· 4分
经检验是原方程的解．
所以原方程的解是．········································································ 5分
16．证明：因为，
则
．····················································································· 1分
又，
则
．····················································································· 2分
在与
中，
·················································································· 3分
所以
．···································································· 4分
所以．·················································································· 5分
17．解：
··········································································· 2分
．····························································································· 3分
当时，原式
．························· 5分
四、解答题（共2个小题，共11分）
18．解：如图，过点作
交于点．············································· 1分
因为，
所以四边形
是平行四边形．································································· 2分
所以
．
由，
得
．
在
中，，，
由
，
求得
．································································································ 3分
所以
．·············································································· 4分
在
中，
，
．
求得
．·························································································· 5分
19．解：（1）证明：如图，连结．
因为，
所以
．
故
．································· 1分
又
，
所以
是等边三角形．
故
．··························································································· 2分
因为，
所以
．
所以是的切线．················································································ 3分
（2）解：因为，
所以垂直平分．
则
．·························································································· 4分
所以
．································································································ 5分
在
中，，
由正切定义，有
．
所以
．··························································································· 6分
五、解答题（本题满分5分）
20．解：（1）
（万人）．···························································· 1分
故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人．
（2）
（万人）．
故2005年北京市常住人口中，少儿（岁）人口约为157万人．············· 3分
（3）例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为
，2005年受大学教育的人口比例为
．可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高．·········································· 5分
六、解答题（共2个小题，共9分）
21．解：依题意得，直线的解析式为
．······················································· 2分
因为在直线上，
则
．································································································ 3分
即
．
又因为在的图象上，
可求得
．························································································· 4分
所以反比例函数的解析式为
．························································ 5分
22．解：所画图形如图所示．
说明：图4与图5中所画图形正确各得2分．分割方法不唯一，正确者相应给分．
七、解答题（本题满分6分．）
23．解：图略．画图正确得1分．
（1）与之间的数量关系为
．·············································· 2分
（2）答：（1）中的结论
仍然成立．
证法一：如图4，在上截取
，连结
．·································· 3分
因为
，
为公共边，
可证
．
所以
，
．···················· 4分
由，
分别是
的平分线，
可得
．
所以
．
所以
．······················································································· 5分
由
及
为公共边，可得
．
所以
．
所以．····························································································· 6分
证法二：如图5，
过点分别作
于点
，
于点
．································· 3分
因为，且，分别是，的平分线，
所以可得，是的内心．··············· 4分
所以
，
．
又因为
，
所以
．····················································· 5分
因此可证
．
所以．····························································································· 6分
八、解答题（本题满分8分）
24．解：（1）根据题意，
，
所以
解得
所以抛物线解析式为
．······················································ 2分
（2）依题意可得的三等分点分别为
，
．
设直线
的解析式为
．
当点的坐标为时，直线的解析式为
；························ 3分
当点的坐标为时，直线的解析式为
．······················ 4分
（3）如图，由题意，可得
．
点关于轴的对称点为
，
点关于抛物线对称轴的对称点为
．
连结
．
根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长． 5分
所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点．
可求得直线的解析式为
．
可得点坐标为
，点坐标为
．················································· 7分
由勾股定理可求出
．
所以点运动的最短总路径
的长为
．······························ 8分
九、解答题（本题满分8分）
25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．······················································································································· 3分
已知：四边形中，对角线，交于点，
，
且
．
求证：
．
证明：过点作
，在
上截取
，使
．
连结，．····························································································· 4分
故
，四边形
是平行四边形．
所以
是等边三角形，
．······················································· 6分
所以
．
①当与不在同一条直线上时（如图1），
在
中，有
．
所以
．······················································· 7分
②当与在同一条直线上时（如图2），
则
．
因此
．······················································· 8分
综合①、②，得．
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为时，这对角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．