高中阶段学校招生考试数学试题（课改区）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—10页，共120分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
注意事项：
1．数学考试允许使用科学计算器（凡符合大纲或课程标准要求的计算器都可带入考场）．
2．数学考试允许考生进行剪、拼、折叠实验．
3．答第Ⅰ卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡上．
4．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在试卷上无效．
5．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
如图，数轴上
两点所表示的两数的（ ）
Ａ．和为正数 Ｂ．和为负数
Ｃ．积为正数 Ｄ．积为负数
2．下列计算错误的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3．如图，是一个正在绘制的扇形统计图，整个圆表示某班参加
体育活动的总人数，那么表示参加立定跳远训练的人数占总人数
的35%的扇形是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4．如图，直线
与直线
互相平行，则
的值是（ ）
Ａ．20 Ｂ．80
Ｃ．120 Ｄ．180
5．亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设
个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数的不等式是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6．如图，雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞
机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电
磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个
过程共用了
秒．已知电磁波的传播速度为
米／秒，则该时刻飞机与雷达站的距离是（ ）
Ａ．
米 Ｂ．
米 Ｃ．
米 Ｄ．
米
|
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8．如图，用8个积木搭成了
的立方休，其中
的长方体有3个，
的长方体有2个，
的长方
体有1个，
的立方体有2个．某人站在该立方体的左侧
观察，请你判断他看到的图形是（ ）
9．如图，直线
是函数
的图象．若点
满足
，且
，则点的坐标可能是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
 |
10．如图，
是半径为6的
的
圆周，
点是上
的任意一点，
是等边三角形，则四边形
的周
长的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ． 
Ｃ．
Ｄ．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填写在题中的横线上．
11．若分式
的值为零，则的值为
．
12．根据如图的程序，计算当输入
时，输出的结果
．
13．如图，一根电线杆的接线柱部分
在阳光下的投影
的长为1.2m，太阳光线与地面的夹角
，则的
长为 m．
14．如图，
是反比例函数
在第一象限内的图象，且过点
与关于轴对称，那么图象
的函数解析式为
（
）．
15．如图，矩形中，
，将矩形在直线上按顺时针方向不滑动的每秒转动
，转动3秒后停止，则顶点
经过的路线长为
．
16．现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿
角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是
cm
；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？
．
 |
三、解答题：本大题共11小题，共72分，解答应写出文字说明或演算步骤．
17．（本题5分）请你从下列各式，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．
．
18．（本题5分）解方程
．
19．（本题6分）小明和小丽用形状大小相同、面值不同的5张邮票设计了一个游戏，将面值1元、2元、3元的邮票各一张装入一个信封，面值4元、5元的邮票各一张装入另一个信封．游戏规定：分别从两个信封中各抽取1张邮票，若它们的面值和是偶数，则小明赢；若它们的面值和是奇数，则小丽赢，请你判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由．
20．（本题7分）某高校共有5个餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个大餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
21．（本题6分）元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：
| 纸环数 | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
| 彩纸链长度 | 19 | 36 | 53 | 70 | …… |
（1）把上表中
的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想
与的函数关系，并求出函数关系式；
（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少用多少个纸环？
22．（本题6分）如图1，
分别表示边长为的等边三角形和正方形，表示直径为的圆．图2是选择基本图形
用尺规画出的图案，
．
（1）请你从图1中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板）
（2）请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话．
23．（本题6分）某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对她所任教的初三（1）班和（2）班进行了检测．如图表示从两班各椭机抽取的10名学生的得分情况：
（1）利用图中提供的信息，补全下表：
| 班级 | 平均数（分） | 中位数（分） | 众数（分） |
| （1）班 | 24 | 24 | |
| （2）班 | 24 |
（2）若把24分以上（含24分）记为“优秀”，两班各有60名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀；
（3）观察图中的数据分布情况，你认为哪个班的学生纠错的整体情况更好一些？
 |
24．（本题7分）如图，在
与
中，
，
相交于点
，过点作
交
的延长线于点
，过点
作
交
的延长线于点
相交于点
．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明四边形
是菱形；
（3）若使四边形是正方形，还需在的边长之间添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
25．（本题7分）某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图1，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．
（1）该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形，如图2，是根据这三种横截面图形的面积
与
（见表中横面图形所示）的函数关系式而绘制出的图象．请你根据有关信息在表中空白处填上适当的数、式，并完成取最大值时的设计示意图；
| 横截面图形 |
|
| |
|
|
|
| |
|
| 30 | 20 | |
|
|
|
| |
|
|
|
|
450
（2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图2中“底角为
的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画．你认为他的说法确吗？请简要说明理由．
26．（本题8分）如图1，以矩形
的两边
和
所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为
点的坐标为
．将矩形绕
点逆时针旋转，使点落在轴的正半轴上，旋转后的矩形为
相交于点．
（1）求点
的坐标与线段
的长；
（2）将图1中的矩形
沿轴向上平移，如图2，矩形
是平移过程中的某一位置，
相交于点
，点运动到点停止．设点运动的距离为，矩形与原矩形重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如图3，当点运动到点时，平移后的矩形为
．请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形重合，请简述你的做法．
27．如图1，已知中，
，
，过点作
，且
，连接
交
于点．
（1）求
的长；
（２）以点为圆心，
为半径作
，试判断与是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点作
，垂足为
．以点为圆心，
为半径作；以点为圆心，
为半径作
．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持和相切，且使点在的内部，点在的外部，求和的变化范围．
 |
高中阶段学校招生考试
数学试题参考答案及评分标准（课改区）
一、 选择题
1．Ｄ 2．Ｃ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｂ 6．Ａ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｃ
二、填空题
11．1 12．2 13．2.1 14．
15．
16．8；························································································································· 2分
得到的阴影部分的面积是
，即阴影部分的面积不变．···································· 3分
三、解答题
17．本题存在12种不同的作差结果，不同选择的评分标准分述如下：
；
；
；
；
；
这6种选择的评分范例如下：
例1：············································································································ 2分
．······················································································ 5分
；
；
；
；
；
这6种选择的评分范例如下：
例2：·········································································································· 2分
·················································································· 4分
．···················································································· 5分
提示：因式分解结果正确但没有中间步骤的不扣分．
18．方程两边同乘以
，得
．························································· 2分
解这个方程，得
．································································································ 4分
检验：将代入原方程，得左边
右边．
所以，是原方程的根．························································································· 5分
19．游戏对双方是公平的．··························································································· 1分
通过列表或树状图等方法，求得
．································································ 3分
．································································ 5分
因为
，所以游戏对双方是公平的．························································· 6分
20．（1）设1个大餐厅可供名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐，根据题意，得
································································································································· 得1分
··········································································································· 3分
解这个方程组，得
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．························ 5分
（2）因为
，
所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．····································· 7分
21．（1）在所给的坐标系中准确描点．·········································································· 1分
由图象猜想到与之间满足一次函数关系．······························································· 2分
设经过
，
两点的直线为
，则可得
解得
，
．即
．
当时，
；当
时，
．
即点
都在一次函数的图象上．
所以彩纸链的长度（cm）与纸环数（个）之间满足一次函数关系
····································································································································· 4分
（2）
，根据题意，得
．·············································· 5分
解得
．
答：每根彩纸链至少要用59个纸环．············································································ 6分
22．（1）正确运用两种基本图形进行组合设计．···························································· 3分
尺规作图运用恰当．························································································ 4分
阴影面积计算正确．························································································ 5分
参考举例：
（2）写出在解题过程中感受较深且与数学有关的一句话．······································· 6分
参考举例：
① 运用圆的半径，可以作正方形的边上的中点，这对于作图很有利．
② 这三个图形关系很密切，能组合设计许多美丽的图案，来装饰我们的生活．
③ 数学作图中要一丝不苟，否则产生的作图误差会影响图形的美观．
提示：本问题应积极评价学生富有个性和创造性的解答，只要回答合理，即可得分．
23．（1）
| 班级 | 平均数（分） | 中位数（分） | 众数（分） |
| （1）班 | 24 | ||
| （2）班 | 24 | 21 |
····································································································································· 3分
（2）
（名），
（名）．
答：（1）班有42名学生成绩优秀，（2）班有36名学生成绩优秀．·················· 5分
（3）（1）班的学生纠错的整体情况更好一些．······················································ 6分
24．（1）
．······················································································ 1分
，
．········································································· 3分
（2）
，四边形是平行四边形．······················· 4分
，
．··························· 5分
平行四边形是菱形．···································································· 6分
（3）需要添加的条件是
．······································································ 7分
25．（1）表中空白处填写项目依次为
；15；450．································· 3分
表中取最大值时的设计示意图分别为
 |
····································································································································· 5分
（2）小华的说法不正确．······················································································ 6分
因为腰长大于30cm时，符合题意的等腰梯形不存在，所以的取值范围不能超过30cm，因此研究性学习小组画出的图象是正确的．·································································································· 7分
26．（1）如图1，因为
，所以点的坐标为
．·············· 2分
．······················································································ 3分
（2）在矩形沿轴向上平移到点与点重合的过程中，点
运动到矩形的边
上时，求得点移动的距离
．
当自变量的取值范围为
时，如图2，由
，
得
，此时，
．
即
（或
）．······················································ 5分
当自变量的取值范围为
时，
求得
（或
）．··········································· 7分
（3）部分参考答案：···································································································· 8分
①把矩形沿
的角平分线所在直线对折．
②把矩形绕点顺时针旋转，使点
与点重合，再沿轴向下平移4个单位长度．
③把矩形绕点顺时针旋转，使点与点重合，再沿所在的直线对折．
④把矩形沿轴向下平移4个单位长度，再绕点顺时针旋转，使点与点重合．
提示：本问只要求整体图形的重合，不必要求图形原对应点的重合．
27．（1）
在中，
，
．······················································································ 1分
，
．
．
，
．·························································· 3分
（2）与相切．·························································································· 4分
在
中，
，，
，
．····································· 5分
又
，
，
与相切．························································································ 6分
（3）因为
，所以的变化范围为
．····················· 7分
当与外切时，
，所以的变化范围为
；
······················································································································· 8分
当与内切时，
，所以的变化范围为
．
······················································································································· 9分