第5课 因式分解
目的：了解因式分解的意义，区别因式分解与整式乘法，掌握因式分解的方法，能选择适当方法进行因式分解．毛
中考基础知识
1．因式分解定义：把一个多项式化成几个_______式乘积的形式．因式分解与整式的乘法是互为________．
2．因式分解的方法
（1）提取公因式法（首先考虑的方法）、应用公式法、分组分解法、十字相乘法．
（2）公式：a2-b2=_______，a2±2ab+b2=_______，a3+b3=________，a3-b3=________．
（3）二次三项式ax2+bx+c在实数范围分解为：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的二根．
3．因式分解的一般步骤
先看有没有公因式，若有立即提出；然后看看是几项式，若是二项式则用平方差、立方或立方差公式；若是三项式用完全平方公式或十字相乘法；若是四项及以上的式子用分组分解法，要注意分解到不能再分解为止，还要注意题目要求什么范围内分解．
如x4-4=（x2+2）（x2-2）（在有理数范围内分解）
=（x2+2）（x+
）（x-）（在实数范围内分解）
一般没有作说明，都只分解到有理数范围内．
4．因式分解是式的变形的基本功，用处很大，必须熟练掌握，分解时要快而准．
备考例题指导
例1．分解因式
（1）m2（m-n）2-4（n-m）2．
解：原式=m2（m-n）2-4（m-n）2
=（m-n）2（m2-4）
=（m-n）2（m+2）（m-2）
（2）2a（x-y）3+2a3（y-x）．
解：原式=2a（x-y）[（x-y）2-a2]
=2a（x-y）（x-y+a）（x-y-a）
例2．分解因式
（1）-2x3+3x2-x．
解：原式=-x（2x2-3x+1）
=-x（2x-1）（x-1）
（2）-xn+4+xn+1．
解：原式=-xn+1（x3-1）
=-xn+1（x-1）（x2+x+1）
说明：首项为负要提出负号，提取公因式时，另一个因式中不要漏掉1．
例3．在实数范围内分解因式
（1）2x4-19x2+9．
解：2x2 -1
x2 -9
原式=（2x2-1）（x2-9）
=（x+1）（x-1）（x+3）（x-3），
（2）2x2-8x+5．
解：原式=2（x-x1）（x-x2）
=2（x-
）（x-
）．
例4．若3x2-4x+2m在实数范围内可分解因式，求m的取值范围．
解：△=（-4）2-4×3×2m≥0，
即m≤
．
备考巩固练习
1．选择题
（1）（2005，绵阳）对x2-3x+2分解因式，结果为（ ）
（A）x（x-3）+2 （B）（x-1）（x-2）
（C）（x-1）（x+2） （D）（x+1）（x-2）
（2）（2005，盐城）下列因式分解中，结果正确的是（ ）
（A）x2-4=（x+2）（x-2） （B）1-（x+2）2=（x+1）（x+3）
（C）2m2n-8n3=2n（m2-4n2） （D）x2-x+
=x2（1-
+
）
（3）（2005，四川）把多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（ ）
（A）（a-b）（a+b+c） （B）（a-b）（a+b+c）
（C）（a+b）（a-b-c） （D）（a+b）（a-b+c）
（4）下列因式分解中，错误的是（ ）
（A）2a3-8a2+12a=2a（a2-4a+6） （B）x3-5x-6=（x-2）（x-3）
（C）-x3+3x2-x=x（2x-1）（x-1） （D）x2+xy+xz+yz=（x+y）（x+z）
2．在实数范围内分解
（1）x4-11x2+18
（2）2x2+7xy-y2
3．若（x-3）是kx4+10x-192的一个因式，求k的值．
4．若3，-2是一元二次方程4x2+bx+c=0的二根，则二次三项式4x2+bx+c可分解成什么．
5．计算：（1）（a-b）÷（
+
）；（2）（a-2
+b）÷（-）．
6．（1）解一元二次方程x2-5x+6=0． （2）分解因式kx2-（k+m）x+m．
7．要使二次三项式x2+mx-6能在整数范围内分解因式，求整数m的值．
答案:
1．（1）B （2）A （3）A （4）B
2．（1）原式=（x2-2）（x2-9）=（x+）（x-）（x+3）（x-3）
（2）原式=2（x-
y）（x-
y）（不要忘了带上y）
3．令kx4+10x-192=0，则x=3是这个方程的一个根．把x=3代入得k=2
4．4x2+6x+c=4（x-3）（x+2）
5．（1）原式=（+）（-）÷（+）=-
（2）原式=（-）2÷（-）=-
6．（1）（x-2）（x-3）=0，x1=2，x2=3
（2）∴原式=（kx-m）（x-1）（用十字相乘法）
7．∵-6可分解为：-6×1，-1×6，-2×3，-3×2
∴m=-6+1，-1+6，-2+3，-3+2
m=-5，5，1，-1.毛