第二单元代数式
[知识点]
1．代数式
代数式：用加、减、乘、除、乘方、开方等六种运算符号
把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式
代数式按其所含运算符号的不同情况分类：
代数式的值：用数值代替代数式里的字母计算后所得的结果叫做代数式的值
2．整式 如果代数式中都是数与字母的积，这样的代数式叫做单项式．几个单项式的和叫做多项式，单项式和多项式统称整式．
3．多项式的排列 把一个多项式的各项按照某一字母的指数从大到小(或从小到大)的顺序进行排列，这样排列的多项式．叫做按这个字母的降幂排列(或升幂排列).
4．整式的运算
(1)运算法则
加减法：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，就根据去括号的法则，先去括号，再合并同类项
乘法：
单项式相乘，系数相乘，同底数幂的指数相加，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
多项式乘以单项式，是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
(a+b+c)·m=am+bm+cm
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，然后把所得的积相加，即(a+b)·(m+n)=am+an+bm+bn
除法：
单项式相除，系数相除，同底数幂的指数相减，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即
（a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m．
多项式除以多项式，先把两个多项式都按同一字母降幂排列，用竖式除法计算(一般不作要求)
在多项式的除法中，被除式、除式、商式及余式之间的关系：被除式=除式×商式+余式
(2)乘法公式 (a+b)(a+b)=a2－b2
(a±b)2=a2±2ab+b2 (a±b)(a2干ab+b2)=a3土b3
5．因式分解 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
因式分解与整式乘法是两个互为相反的变形过程，分解因式必须在规定的范围内分解到每一个因式都不能再分解为止
常用的因式分解方法有：
(1)提取公因式法：提取多项式各项的最高公因式．例如：am+an+ap=a(m+n+p)
(2)公式法
a2－b2=(a+b)(a－b)； a2±2ab+b2=(a±b)2；
a3±b3=(a±b)(a2干ab+b2) a3±
(3)分组分解法分组后各组有公因式可提出，或有公式可用．
①分组后提取公因式．例如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b)．
②分组后应用公式．例如：a2－b2－2bc－c2=a2－(b2+2bc+c2)=a2一(b+c)2
=(a+b+c)(a－b－c)．
(4)二次三项式“x2+bx+c的分解方法
①配方法．例如：x2+2x－5=x2+2x+l-6=(x+1)2-(
)2=(x+1+
)(x+1－
)．
②十字相乘法．例如：x2十3x－18=(x+6)(x－3)．
③求根公式法．
ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)，(b2一
，
6．分式的意义 两个整式A、B相除时，可以表示为
的形式，如果分母B中含有字母且B≠0，那么
叫做分式．
7．分式的运算
(1)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． 
，
(M≠0)．
分式的基本性质是分式的符号变化法则和分式的其他恒等变形(包括通分、约分)的基础，也是分式运算和繁分式化简的基础．
分式的分子、分母及分式本身的符号，三者改变其二，分式的值不变．
(2)约分：把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做分式的约分．
分子、分母没有公因式的分式，叫做最简分式．
(3)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式的值相等的同分母分式，叫做分式的通分．
(4)分式的运算：①加减法：
；
.
②乘除法：
；
. ③乘方：
（n为整数）．
(5)繁分式：如果分式的分子或分母中还含有分式，这样的分式叫做繁分式．
繁分式是分式除法的另一种写法，所以可以利用分子除以分母进行化简，也可以利用分式的基本性质进行化简．
8．二次根式 根式：式子
叫做根式．当n=2时，式子
叫做二次根式．在实数范围内，当a≥0时，才有意义；a<0时，没有意义．
二次根式的性质：
()2=a(a≥0)；
；
(a≥0，b≥O)； 
(a≥0，b>O)
最简二次根式：符合条件(1)被开方数的因数是整数因式或整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式．
同类二次根式：两个或两个以上的二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
9．二次根式的运算
加减法：二次根式相加减，只有同类二次根式才能合并．因此二次根式的加减，要先把各个根式化成最简根式，再合并同类根式．
乘除法：按法则
，
进行运算．
分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们就称这两个代数式互为有理化因式．例如最简二次根式的有理化因式是，a+
的有理化因式是 a－，+与－是互为有理化因式．
[测试题]
A卷
一、填空题
1．已知x=2+3y，则代数式7—7x一(3y—x)2+21y的值等于 ．
2．当x= 时，分式
的值为零．
3．计算：
．
4．某商场以商品进货价的40％作为销售利润确定商品的出售价格为m元／件，则该商品的进货价为 元／件．
5．分解因式：一2x2+
y2=
6．分解因式：m3+m2n－mn2一n3=
7．当x=
一2时，
的值为
．
8．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，则代数式
+x2一cd的值为
．
9．化简：
=
(0<a<b).
10．设a≠b，且
= .
二、选择题
1．如果把分式
中的x、y都扩大3倍，那么分式的值( ).
(A)不变 (B)扩大3倍
(C)缩小3倍 (D)以上答案都不对
2．轮船在同一航道内用t小时可以顺流航行86千米或逆流航行46千米，那么这条航道的水流速度为( )．
(A)66千米／时 (B)(
)千米／时
(C)
千米／时 (D)
千米／时
3．在下列命题中，正确的是( )．
(A)同类二次根式一定是最简二次根式
(B)任何两个二次根式都可以化为同类二次根式
(C)
与
是同类二次根式
(D)
与
不是同类二次根式
4．在下列等式中，恒成立的是( )．
(A)
(B)
(C)(
)2=x－y (D)a
+b=(a+b)
5．如果(x—x)0=1，那么x的取值范围是( ).
(A)x≠0 (B)x>0 (C)x<0 (D)x为任意实数
三、简答题
1．已知a+b=，ab=
，求(1)(a一b)2的值；(2)a3b一
2．已知直角坐标平面内两点A(一2
，一2)和B(3
，一3)，求AB的长.
3．化简：(a一
+b)÷(
)÷(a一b).
4．化简：
.
四、已知
，求
的值.
五、n是自然数，求证：n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数
B卷
一、填空题
1．当x 时，分式
的值是正的．
2．分解因式：x2－2ax+1－a2= .
3．实数范围内分解因式：x2－x－1= .
4．化简：
.
5. 如果
，那么
.
6．如图
相交于点O，以AB为一边在形内作正△ABE．AE
交BD于点M，从点M作MH⊥AB于点H．设MH=a，
用代数式表示正方形的边长为 .
7．已知多项式f(x)=ax5+bx3+cx－5，且f(－3)=7，那么f(3)= .
8．把(1－a)
根号外的式子(1－a)移进根号内，则(1－a)
=
.
9．化简：2(1+)－1－
=
．
10．已知x、y是不相等的正整数，满足
，那么x+y=
二、选择题
1．如果(x2+px+8)(x2－3x+q) 的乘积展开式中不含x2与x3的项，那么p、q的值分别是( )．
(A)p=O，q=O (B)p=3，q=1 (C)p=－3，q=－9 (D)p=－3，q=1
2．在下列每对二次根式中x的取值范围相同的是( ).
(A)
与
(B)
与
(C)
与
(D)
与
3．如果
，那么
的值是( ).
(A)0 (B)2 (C)4 (D)以上答案都不对
4．在下列各式中，最简二次根式是( )．
(A)
(B)
(C)
(D)
5．某市1997年的国民生产总值为a(单位：亿元).计划1998年、1999年平均每年增长率为8％．那么到1999年底的国民生产总值将达到( )．
(A)a(1+16％) (B)a(1+8％)2 (C)1+(8％)
三、简答题
1．已知a2－a－1=O，求a3－
2．计算：
3．已知x、y是实数，且(x2+y2)(x2一l+y2)=2，求x2+y2的值．
4．计算：(－
b
)÷(
b
)·(－
ab
)．
四、已知
，求
的值
五、已知
，
，
，不用查表比较a、b、c的大小