初三培优题（一）
1、（山东枣庄市）已知关于x的二次函数
与
，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A, B两个不同的点．
(l）试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点；
(2）若A点坐标为（-1, 0)，试求B点坐标；
(3）在（2）的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
2、（重庆）已知：
是方程
的两个实数根，且
，抛物线
的图像经过点A(
)、B(
).
(1) 求这个抛物线的解析式；
(2)
设（1）中抛物线与
轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线
的顶点坐标为（
）
(3) 
P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.
3、（金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,
轴分别交于A(3,0),B(0,
)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝
,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4、（济南）某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图1，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．
（1）该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形，如图2，是根据这三种横截面图形的面积
与
（见表中横截面图形所示）的函数关系式而绘制出的图象．请你根据有信息，在表中空白处填上适当的数、式，并完成取最大值时的设计示意图；
| 横截面图形 |
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| |
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|
| |
|
| 30 | 20 | |
|
|
|
| |
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|
|
|
450
（2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图2中“底角为
的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画．你认为他的说法正确吗？请简要说明理由．
答 案
第一题：（本题满分12分）
解：(l）对于关于x的二次函数y =
由于△＝(-m )
2-4×l×
=-m2-2<0,
所以此函数的图象与x轴没有交点……………………………………………… 1分
对于关于x的二次函数 y =
.
由于△＝(-m ) 2-4 ×l×
=-m2-2<0,
所以此函数的图象与x轴没有交点
对于关于x的二次函数
由于
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.
故图象经过A、B两点的二次函数为…………………3分
(2 )将A(-1,0)代入，得
=0.
整理，得m2-2m = 0 .
解之，得m=0，或m = 2．…………………………………………………………5分
当m =0时，y＝x2-1．令y = 0，得x2-1 = 0.
解这个方程，得x1=-1，x2=1
此时，B点的坐标是B (l, 0)．……………………………………………………6分
当m=2时，y=x2-2x-3.令y=0，得x2-2x-3=0.
解这个方程，得x1=-1，x2=3
此时，B点的坐标是B（3，0）. …………………………………………………8分
(3) 当m =0时，二次函数为y＝x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值 y 随：的增大而减小．……………………………………10分
当m=2时，二次函数为y = x2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小.……………12分
第二题：（1）解方程
得
由，有
所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.
将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入.
得
解这个方程组，得
所以，抛物线的解析式为
（2）由，令
，得
解这个方程，得
所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）.
过D作轴的垂线交轴于M.
则
，
所以，
.
（3）设P点的坐标为（
）
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为
.
那么，PH与直线BC的交点坐标为
，
PH与抛物线的交点坐标为
.
由题意，得①
，即
解这个方程，得
或
（舍去）
②
，即
解这个方程，得
或（舍去）
P点的坐标为
或
.
第三题：（1）直线AB解析式为：y=
x+．
……………（3分）
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．
∴
＝
＝
．
………（2分）
由题意： ＝
，解得
（舍去） ………（2分）
∴ Ｃ（２，
） ………（１分）
方法二：∵ 
,＝，∴
．…（2分）
由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．
∴ 
＝
CD×AD＝
＝
．可得CD＝． ………（2分）
∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，）． ………（1分）
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴
（3，）．
……（2分）
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．
∴
（1，）． …………（１分）
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝
，OP＝BP＝
．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝OP＝
；PM＝OM＝
．∴
（，）． （1分）
方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x
，PM＝x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
∵tan∠POM==
=
，tan∠ABOC=
=．
∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）． …（1分）
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴ PM＝OM＝
．
∴ 
（，）（由对称性也可得到点的坐标）．…………（2分）
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
（3，），
（1，），（，），（，）．
注：四个点中，求得一个Ｐ点坐标给２分，两个给３分，三个给４分，四个给６分．
第四题：（1）表中空白处填写项目依次为
；15；450．························ 3分
表中取最大值时的设计示意图分别为：
 |
（5分）
（2）小华的说法不正确．······················································································ 6分
因为腰长大于30cm时，符合题意的等腰梯形不存在，所以的取值范围不能超过30cm，因此研究性学习小组画出的图象是正确的．·································································································· 7分