2006年锦州市义务教育新课程初中学业考试数学试题、参考答案及评分标准
※考试时间120分钟，试卷满分120分.
提示：1.允许使用科学计算器；
2.选择题、填空题可直接写出结果，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，本题共7个小题，每小题3分，共21分)
1.下列一组几何体的俯视图是( )
2.下列运算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.(2x2)3=2x6 C.x6÷x2=x3 D.3x2·2x3=6x5
3.将下列各纸片沿虚线剪开后，能拼成右图的是( )
4.不等式组
的解集为( )
A.-1＜x＜2 B.-1＜x≤2 C.x＜-1 D.x≥2
5.“五·一”黄金周过后，八年(一)班班主任对全班52名学生外出旅游的天数进行了调查统计，结果如下表所示：
| 旅游天数(天) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 人数(人) | 5 | 6 | 12 | 11 | 10 | 5 | 3 | 0 |
则该班学生外出旅游天数的众数和中位数分别是( )
A.2, 3 B.2, 2 C.7, 3.5 D.12, 10.5
6.锦州市宝石广场占地面积约为12555米2，它的面积与一个班级教室面积的倍数关系，下列最接近的是( )
A.40倍 B.80倍 C.100倍 D.150倍
7.如图是水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变)，下列图象能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间函数关系的是( )
二、填空题(本题共9个小题，每小题3分，共27分)
8.若多项式4a2+M能用平方差公式分解因式，则单项式M=____(写出一个即可).
9.2005年10月17日新华网报道：“5天前从酒泉卫星发射中心启航的神舟六号飞船，在平安飞行115小时32分后重返神州.”用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是____秒(保留三个有效数字).
10.若反比例函数
的图象经过点(-2,3)，则这个反比例函数的表达式为____.
11.锦州市住宅电话号码是由7位数字组成，某人到电信公司申请安装一部住宅电话，那么该公司配送给这部电话的号码末尾数字为6的概率是____.
12.已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式____.
13.体育老师对甲、乙两名同学分别进行了5次立定跳远测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差是0.03，乙同学的成绩(单位：m)如下：2.3 2.2 2.5 2.1 2.4，那么这两名同学立定跳远成绩比较稳定的是____同学.
14.如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为____.
15.点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似.满足这样条件的直线最多有____条.
16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b.若E1、F1分别是AB、DC的中点，则
；若
分别是
的中点，则
；当
分别是
的中点，则
；若
分别是
的中点，根据上述规律猜想EnFn=____(n≥1，n为整数).
三、解答题(本题共2个小题，每小题5分，共10分)
17.计算：
.
18.如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”.根据图形解答下列问题：
(1)图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？(写出变换过程)
(2)在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标.
四、解答题(本题共3个小题，每小题6分，共18分)
19.锦州市疏港快速干道(锦州至笔架山)将于2006年8月正式通车.届时锦州至笔架山的公路运行里程将由目前的34千米缩短至28千米，设计时速是现行时速的1.25倍，汽车运行时间将缩短0.145小时.求疏港快速干道的设计时速.
20.某中学进行体育教学改革，同时开设篮球、排球、足球、体操课，学生可根据自己的爱好任选其一.体育老师根据九年级学生的报名情况进行了统计，并绘制了下面尚未完整的频数分布直方图和扇形统计图.请根据统计图解答下列问题：
(1)该校九年级共有多少名学生？
(2)将两个统计图补充完整；
(3)从统计图中你还能得到哪些信息？(写出两条即可)
21.甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪子、布”的手势方式选择场地位置.规则是：石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，手势相同再决胜负.请你说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平，为什么？(用树状图或列表法解答)
五、解答题(本题共2个小题，每小题7分，共14分)
22.在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是(如图)：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB.则△ABD就是直角三角形.
(1)请你说明其中的道理；
(2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°(不写作法，保留作图痕迹).
23.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于点E.若AB=10，tan∠CAB=
，求线段BC和CD的长.
六、解答题(本题共9分)
24.小刚家装修，准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为0.45元/度，设照明时间为x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)[耗电量(度)=功率(千瓦)×用电时间(小时)，费用=电费+灯的售价].
(1)分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式；
(2)你认为选择哪种照明灯合算？
(3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？
七、解答题(本题共9分)
25.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
八、解答题(本题共12分)
26.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
(1)求A、B两点的坐标；
(2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；
(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
参考答案及评分标准
说明：1.在阅卷过程中，如考生还有其他正确解法，可参照评分标准按相应的步骤赋分.
2.只给整数分数.
一、选择题(本题共7个小题，每小题3分，共21分)
1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C
二、填空题(本题共9个小题，每小题3分，共27分)
8.答案不惟一，只要符合要求即可.如：-b2 9.4.16×105
10.
11.
12.答案不惟一，只要符合要求即可.如：y=x2-2
13.乙
14.
15.4
16.
三、解答题(本题共2个小题，每小题5分，共10分)
17.解：原式=
……4分
. ……5分
18.解：(1)答案不惟一，只要合理即可得2分.如：
方法一：将△ABC以点C为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C，再将△A1B1C向右平移3个格就得到△DEF；
方法二：将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点C1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；
方法三：将△ABC以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1BC1，再将△A1BC1向下平移4个格得到△A2B2C2，再将△A2B2C2向右平移7个格就得到了△DEF.
方法四：将△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，再将△AB1C1向下平移4个格得到△A2B2C2，再将△A2B2C2向下平移5个格就得到了△DEF.
(2)答案不惟一，只要正确建立直角坐标系并正确写出各点坐标，即可得3分.如：
方法一：如图①建立直角坐标系，则点D(0,0)、E(2,-1)、F(2,3)；
方法二：如图②建立直角坐标系，则点D(-2,0)、E(0,-1)、F(0,3)；
方法三：如图③建立直角坐标系，则点D(-2,-3)、E(0,-4)、F(0,0)；
方法四：如图④建立直角坐标系，则点D(-2,1)、E(0,0)、F(0,4).
四、解答题(本题共3个小题，每小题6分，共18分)
19.解：方法一：
设现行时速是x千米/时，则疏港快速干道的设计时速是1.25x千米/时.……1分
根据题意，得
.……3分
解这个方程，得x=80.……4分
经检验，x=80是所列方程的根.
1.25×80=100(千米/时).
答：疏港快速干道的设计时速是100千米/时. ……6分
方法二：设疏港快速干道的设计时速是x千米/时，则现行时速是0.8x千米/时.……1分
根据题意，得
.
解这个方程，得x=100.……4分
经检验，x=100是所列方程的根.
答：疏港快速干道的设计时速是100千米/时.……6分
20.解：(1)由统计图得，108÷30%=360，∴该校九年级共有360名学生.……1分
(2)补全直方图得1分，补全扇形统计图得2分，两个统计图都补全可得3分.
补全的两个统计图如下：
(3)此题是开放性试题，答案不惟一，合理即可得分，写出一条信息得1分，本题共2分.
①九年级学生选学体操的人数最多；
②九年级学生选学排球的人数最少；
③选学篮球的人数是九年级学生总人数的25%(或
)；
④选学足球的人数是九年级学生总人数的25%(或)；
⑤选学体操的人数是九年级学生总人数的30%；
⑥九年级学生选学体操的人数比选学足球的人数多18人；
⑦九年级学生选学体操的人数比选学篮球的人数多18人；
⑧九年级学生选学篮球的人数比选学排球的人数多18人；
⑨九年级学生选学足球的人数比选学排球的人数多18人；
⑩九年级学生选学体操的人数比选学排球的人数多36人；
九年级学生选学足球的人数与选学篮球的人数相同；
九年级学生选学项目的众数是体操；
九年级学生选学篮球、排球人数的比为5：4；
九年级学生选学体操、足球人数的比为6：5；
九年级学生选学篮球、排球、足球、体操人数的比为5：4：5：6.
21.解：裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的.……1分
理由：方法一：用列表法得出所有可能的结果如下：
| 甲 | 乙 | ||
| 石头 | 剪子 | 布 | |
| 石头 | (石头，石头) | (石头，剪子) | (石头，布) |
| 剪子 | (剪子，石头) | (剪子，剪子) | (剪子，布) |
| 布 | (布，石头) | (布，剪子) | (布，布) |
……3分
根据表格得，P(甲获胜)=
，P(乙获胜）=.……5分
∵P(甲获胜)=P(乙获胜)，
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的.……6分
方法二：用树状图得出所有可能的结果如下：
……3分
根据树状图，P(甲获胜)=，P(乙获胜）=.……5分
∵P(甲获胜)=P(乙获胜)，
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的.……6分
五、解答题(本题共2个小题，每小题7分，共14分)
22.解：(1)理由：
方法一：连接BC.
由作图可知，AC=BC=CD，
∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB.……1分
∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°，
∴2∠ABC+2∠CBD=180°.
∴∠ABC+∠CBD=90°.即∠ABD=90°.
∴△ABD是直角三角形.……3分
方法二：连接BC.
由作图可知，AC=BC=CD，AD=AC+CD.……1分
∴BC=AD.……2分
∴△ABC是直角三角形.……3分
(2)如图所示，……7分
则△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°.
23.解：方法一：
∵AB是半圆O的直戏，∴∠C=90°.
在Rt△ABC中，∵
，
∴
.……1分
设AC=4k，BC=3k.
∵AC2+BC2=AB2，AB=10，
∴(4k)2+(3k)2=100，解得k1=2，k2=-2(舍去).
∴AC=8，BC=6.……3分
过点D作DF⊥AB于F.
∵AD是∠CAB的角平分线，∴CD=DF.
∵∠DFB＝∠ACB＝90°，∠DBF＝∠ABC，
∴△DBF∽△ABC.……5分
∴
.即
.……6分
∴CD=
.……7分
方法二：求AC、BC的方法同上.……3分
过点D作DF⊥AB于F.
∵AD是∠CAB的角平分线， ∴CD=DF.
∵AD=AD，∴△ACD≌△AFD. ∵AF=AC=8，BF=AB-AF=2.……5分
∵∠CAB+∠B=90°，∠FDB+∠B=90°，∴∠FDB=∠CAB.
∴
.……6分
∴
.
∴
.……7分
六、解答题(本题共9分)
24.解：(1)根据题意，得
，即
；……2分
，即
.……4分
(2)由y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得x=1450；……5分
由y1＞y2，得0.018x+1.5＞0.0036x+22.38，解得x＞1450；……6分
由y1＜y2，得0.018x+1.5＜0.0036x+22.38，解得x＜1450.……7分
∴当照明时间为1450小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过1450小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于1450小时时，选择白炽灯合算.
(3)由(2)知当x＞1450小时时，使用节能灯省钱.
当x=2000时，y1=0.018×2000+1.5=37.5(元)；
当x=6000时，y2=0.0036×6000+22.38=43.98(元)，
∴3×37.5-43.98=68.52(元).
∴按6000小时计算，使用节能灯省钱，省68.52元.……9分
注：如果把x=6000小时直接代入y1=0.018x+1.5中，扣1分.
七、解答题(本题共9分)
25.(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.……1分
证明：设AF与DC交点为G.
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF.
∴△ACF≌△BCD.
∴AF=BD.……4分
∴∠AFC=∠BDC.
∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90°.
∴AF⊥BD.……7分
∴AF=BD且AF⊥BD.
(2)结论：AF=BD且AF⊥BD.
图形不惟一，只要符合要求即可.
画出图形得1分，写出结论得1分，此题共2分.如：
①CD边在△ABC的内部时； ②CF边在△ABC的内部时.
八、解答题(本题共12分)
26.解：(1)∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，
∴OA=AB=BC=CO=4.
过点A作AD⊥OC于D.
∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=2
.
∴A(2,2)，B（6,2).……3分
(2)直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①).
∵MN⊥OC，∴ON=t. ∴MN=ONtan60°=t.
∴
.……4分
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②).
S=ON·MN=×t×2=t.……6分
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).
方法一：设直线l与x轴交于点H.
∵MN=2-(t-4)=6-t，
∴
.……8分
方法二：设直线l与x轴交于点H.
∵S=S△OMH-S△ONH，
∴
.……8分
方法三：设直线l与x轴交于点H.
∵S=S菱形OABC-S△OAM-S△ONC-S△BMN，
，
，
，
，
∴
.……8分
(3)由(2)知，当0≤t≤2时，
，
当2＜t≤4时，
，……9分
当4＜t≤6时，配方得
，
∴当t=3时，函数
的最大值是
.
但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数的最大值不是.
而当t＞3时，函数随t的增大而减小，
∴当4＜t≤6时，S＜4.……11分
综上所述，当t=4秒时，.……12分
注：若考生讨论时分为0≤t≤2，2≤t≤4，4≤t≤6情况，只要答案正确，即可按标准赋分.