德清县初三数学通讯赛（二）
（2005年11月 考试时间：120分钟）
学校________________ 班级__________ 姓名______________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．若a=
，b=2+
，则
的值为( )
（A） 
（B）
（C）
（D）
2．已知实数abc≠0，
且三个一元二次方程ax
+bx+c=0,bx+cx+a=0,cx+ax+b=0有公共根，则
的值为（ ）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
3.如图，在ΔABC中，BC=AC ，∠ACB=90º，AD平分∠BAC
BE⊥AD交AC的延长线于F,垂足为E.则结论:
①AD=BF ②CF=CD ③AC+CD=AB ④BE=CF ⑤BF=2BE
其中正确结论的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.如图,边长为1的正ΔABC,分别以顶点A.B.C为圆心,1为半径作圆,则这三个圆所覆盖的图形面积为( )
(A) 
(B)
(C) 
(D) 
5.如图四边形ABCD内接于圆,CB=CD.两个动点E﹑F各在AC﹑AD上,且满足EF//BD,设BE交CF于点P,则点P的几何位置是( )
(A)在圆外 (B)在圆内 (C)在圆上 (D)不能确定
6.将1÷2÷3÷4÷5适当添加括号,使之成为一个完整的算式,则可分别得到不同的值有( )种
(A)6 (B)8 (C)9 (D)10
二﹑填空题(每小题5分,共30分)
1.已知一个三角形的三边长均为正整数,若其中仅有一条边长为5,且它又不是最短边,则满足条件的三角形有________个.
2.在ΔABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB,若ΔADE, ΔEFG, ΔGIC的面积分别为20cm2,45cm2,80cm2,则ΔABC的面积为_________.
3.设[x]表示不超过x的最大整数,如果S=
，则[s]=_________
4.已知a﹑b为正整数,a=b-2005,若关于x方程x2-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是________
5.某人将一本书的页码按1﹑2﹑3……的顺序相加,其中有一页被多加了一次,结果得到一个错误的总和2005,则被多加的页码是________
6.6名乒乓球运动员穿着4种颜色的服装进行表演赛,其中2人穿红色的,2人穿黄色的,1人穿蓝色的,1人穿黑色的.每次表演选3人出场,且仅在服装颜色不同的选手间对局比赛,具体规则是:
⑴出场的“3人组”中若服装均不相同,则每两人都进行1局比赛,且比赛过的2名选手在不同的“3人组”中再相遇时还要比赛.
⑵出场的“3人组”中若有服装相同的2名选手,则这2名选手之间不比赛,并且只派1人与另1名选手进行1局比赛.
按照这样的规则,当所有不同的“3人组”都出场后,共进行了________局比赛.
三﹑简答题(每小题20分,共60分)
1.三项式x2-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积
(1)若1≤n≤30,且n是整数,则这样的n有多少个?
(2)当n≤2005时,求最大整数n
2．如图,三个等圆两两外切于点A﹑B﹑C,在圆弧AB﹑BC﹑CA所围成的曲线区域内任取一点P，边接PA﹑PB﹑PC,试问:以PA﹑PB﹑PC为边长能否组成一个锐角三角形?
证明你的结论。
3．如图,一粒子在区域｛(x,y)x≥0，y≥0｝内运动，在第1秒内它从原点运动到点B1(0，1),接着由点B1
，然后按图中箭头所示方向在x轴，y轴及其平行线上运动，且每秒移动1个单位长度，求该粒子从原点运动到点P(16，44)时所需要的时间。
参考答案
一﹑选择题
1、B
解：a=·
∴
2.A
解:设三个方程的分共根为x0,则(a+b+c)( x02+ x0+1)=0
∵x02+ x0+1=( x0+)2+
>0
∴a+b+c=0
∴
3．D
解:①②③⑤正确
4．A
解：每两个圆的分共部分面积为2
三个圆公共部分面积为3×
∴三个圆覆盖的面积为3π－3（
=
5．C
解：由CB=CD得∠BAC=∠CAD,从而ΔABC∽ΔAKD,故
∴
于是ΔABE∽ΔACF ∴∠ACP=∠ABE ∴∠BAC=∠CPB
∴P在圆上
6.B
解:无论怎样添置括号,1必在分数线上方,而2必在分数线下方,3﹑4﹑5可在分数线的上方或下方,故可得2
=8个值
如:｛〔(1÷2)÷3〕÷4｝÷5=
1÷｛〔(2÷3)÷4〕÷5｝=
〔(1÷2)÷3〕÷(4÷5)=
; 〔(1÷2)÷(3÷4)〕÷5=
｛〔1÷(2÷3)〕÷4｝÷5=
; 1÷〔(2÷3)÷(4÷5)〕=
1÷｛〔2÷(3÷4)〕÷5｝=
; (1÷2)÷〔(3÷4)÷5〕=
二﹑填空题:
1.答10个。
2．答405
解:∵
∴
∴ S△EHC=
同理，
，
∴S△ABC=
3．答：2005
解：
an=
∴S=（1+1－
）+（1+
）+（1+－
）+……+（1+
）
=2005+
∴[S]=2005
4．答95
解：设方程的两个根为x
,x
,则x+x=a, xx=b
∴xx-(x+x)=b-a=2005 ∴(x-1) (x-1)=2006=2×17×59
因为59为质数，故x-1, x-1中必有一个是59的倍数，取x-1=34, x-1=59，则x+x=95，∴a的最小值为95
5．答52页
解：设全书共n页，被多加的页码为x,(1≦x≦n)
则有
+x=2005
∴+1≦2005≦+n
即n+n+2≦4010≦n(n+3)
由于
≈63，验算知n=62
∴x=2005-
=52
6．答44
解：将穿红色服装的2名选手表示为平行直线l1﹑l2；将穿黄色服装的2名选手表示为另两条平行直线l3﹑l4；将穿蓝色﹑黑色服装的选手表示为相交直线l5﹑l6﹑且与l1﹑l2﹑l3﹑l4均相交，这就得到了图1，图中无三线共点。
（1）“3人组”的服装均不相同时，按规则，对应着3条直线两两相交，其比赛局数恰为图中的线段数（图2）因为l1﹑l2﹑l3﹑l4上各有4个交点，每条直线有6条线段，共有24条线段。
（2）当“3人组”有2人服装相同，按规则，其比赛局数恰好为图中的线段数（图3）因为l5﹑l6上各有5个交点，每条直线上都有10条线段，共得20条线段。
两种情况合计，总比赛局数为44局。
三、
1．解
（1）x2－x－2n=(x－
(3分)
则应有1+8n=9，25，49，81，121，169……（7分）
相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）……
故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个（10分）
（2）观察数列1，3，6，10，……发现
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10+1+2+3+4……
故n=1+2+3+……+k≤2005
∴
≤2005
验证得当k=62时，n取最大值为1953（20分）
2．解：
以PA、PB、PC为边长能组成一个锐角三角形，证明如下：
连接O1O2、O1O3、O2O3，AB、BC、AC，易证△O1O2O3，△ABC都是正三角形（5分）
把△APB绕点A旋转60°至△ACPˊ，得△APPˊ是正三角形
PˊC=PB ，PA=P Pˊ
∴△PPˊC就是以PA、PB、PC的边长组成的三角形（10分）
记∠APB=α，∠BPC=β，∠APC=γ
∵P在正三角形ABC的内部
∴α＞60°，β＞60°，γ＞60°
又∵P在弧AB的外部，弧AB所含的圆周角为150°
∴α＜150°，同理β＜150°，γ＜150° （15分）
∵∠PPˊC=∠A PˊC－60°=α-60°，∠C PPˊ=∠CPA－60°=γ-60°
∴∠PˊCP=180°－（α-60°）－（γ-60°）=300°－（α+γ）=β－60°，
∵60°＜α，β，γ＜150°
∴0°＜α-60°，β-60°，γ-60°＜90°
∴△PPˊC为锐角三角形（20分）
3．设粒子从原点到达An、Bn、Cn时所用的时间分别为an、bn、cn
则有：a1=3，a2= a1+1
a3= a1+12= a1+3×4， a4= a3+1
a5 = a3+20= a3+5×4， a6=a5+1
…………
a2n－1= a2n－3+ (2n－1)×4， a2n= a2n－1+1
∴ a2n－1= a1+4[3+5+……+（2n－1）]=4n2－1
a2n= a2n－1+1=4n2
∴ b2n－1= a2n－1－2 (2n－1)= 4n2－4n+1
b2n= a2n+2×2n= 4n2+4n
c2n－1= b2n－1+ (2n－1)= 4n2－2n
c2n= a2n+ 2n= 4n2+2n=(2n)2+2n
∴cn=n2+n
∴粒子到达（16，44）所需时间是到达点c44时所用的时间
再加上44－16=28（s）
所以t=442+447+28=2008（s）
注：本题也可以分别计算出粒子到达c1、c2、c3、c4……时所需要时间，再探寻规律求解