例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个部分？
此问题的变例（即特殊情况）：
变例1：十刀最多可以把一张饼分成多少块？
变例2：一个圆形纸片，切100刀，最多可以将它分割为多少块？
对变例2 ，我们首先猜测其结论：
令S1，S2，……，Sn分别表示将圆形纸片切一刀，二刀，……，n刀所得块数，则有
S1 =2=1+1
S2 =4=1+1+2
S3 =7=1+1+2+3
S4 =11=1+1+2+3+4
……
Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+
(n+1)·n
∴当n=100时，有S100=1+（100+1）·100=5051（块）
解：设bn表示一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数，则有bn=n+1.
设an-1 为平面被符合条件的n-1条直线分割成的部分数，则当平面上插入符合条件的第n条直线时，前 n-1条直线与第n 条直线相交于n-1个不同的点，这n-1个点分第n条直线为bn-1段，而每一分段恰分平面上一个已存在的部分为两个部分，于是，有：
an =an-1 +bn-1 （n＞1，n∈N）
又： bn-1=n
∴ an=an-1+n=an-2+ (
n-1)+ n =……
=n+( n-1)+( n-2)+……+2+a1
又：a1=2=1+1
∴an=n+( n-1)+( n-2 )+ ……+2+1+1
例2. 有10级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？
解：考虑更一般的情况：在同样条件下走n级台阶，情况如何？
设an为上n级台阶的所有不同的走法数目。若第一次走一级，则余下的n-1级有an-1 种走法；若第一次走两级，则余下的 n-2 级有an-2 种走法。
∴ an=an-1 +an-2 (n＞2，n∈N)
显然a1=1，a2=2
∴a3=a1+a2=3
a4=a3+a2=5
a5=a4+a3=8
a6=a5+a4=13
a7=a6+a5=21
a8=a7+a6=34
a9=a8+a7=55
a10=a9+a8=89
思考题：用8张1×2的方格纸覆盖2×8的方格纸，共有多少种不同的覆盖方式？
解题新思路：
探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利的。下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的：
| 例：如图（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下： |
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| 证明一：如图所示，作BQ∥AD,交DF延长线于Q点，则四边形ABQD是平行四边形，从而BQ=AD，再由题设可证△CEF≌△QBF, 得证EF=FB. |
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| 证明二：如左图所示：作FM∥DA交AB于M，则四边形ADFM是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证. |
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| 证明三：作CN∥EB交AB于N，则四边形CNBF是□，从而CN=FB. |
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| 证明四：作DP∥FB交AB于P，证明△ADP≌△CEF，从而得出结论.
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| 证明五：延长EC交AB于G，则四边形ADCG是□，∴CE=AD=GC，即C是EG中点.又CF∥GB，∴F是EB中点，结论得证. |
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| 证明六：连结AE交CD于O点，则O 是AE中点，又OF∥AB，∴F是AB中点，得证. |
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| 证明七：延长ED交BA延长线于H点，则HACD是□ , ∴CA=DH=ED ∴D是EH中点.又DF∥HB ∴F是EB中点，得证. |
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| 证明八：作ES∥CD交AD延长线于S，则CDSE是□ ∴DS=CE=AD ∴D是AS中点.又SE∥CD∥AB ∴F是EB中点，得证. |
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证明九：在证明一作的辅助线基础上，连结EQ，则可得ECBQ是□，从而F是□ECBQ对角线EB的中点。
总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种：
①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。
②作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论。
这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。