2003年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试
（4月13日上午8:30—9:30）
考生注意：1.本试两大题共10小题，每题7分，全卷满分70分．
2.用圆珠笔或钢笔作答．
3.解题书写不要超出装订线．
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且仅有一个是正确的．将正确答案的代号字母填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．
1.
等于
A.
B.
C.5 D.1
[答]（ ）
2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是
A.0 B.1 C.3 D.5
[答]（ ）
3.若函数
与函数
的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为
A.1 B.2 C.k D.
[答]（ ）
4.满足等式
的正整数对
的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
[答]（ ）
5.设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且
．若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为
，则
的值为
A.
B.
C.
D.
[答]（ ）
6.如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为
A.3 B.4 C.
D.
[答]（ ）
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上．
1.抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=__________．
2.设m是整数，且方程
的两根都大于
而小于
，则m=____________．
3.如图，
，
分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若
，则∠BAC的度数为_____________．
4.已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a，b中较大的数是_________．
2003年全国初中数学联合竞赛试卷
第二试（A）
（4月13日上午10:00—11:30）
考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．
求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知实数a，b，c，d互不相等，且
，试求x的值．
2003年全国初中数学联合竞赛试卷
第二试（B）
（4月13日上午10:00—11:30）
考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
2003年全国初中数学联合竞赛试卷
第二试（C）
（4月13日上午10:00—11:30）
考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．
一、（本题满分20分）
已知实数a，b，c，d互不相等，且，试求x的值．
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长AC，BC到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作AC，BC的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．