2001年全国初中数学联赛
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、a，b，c为有理数，且等式
成立，则2a+999b+1001c的值是（
）
（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定
2、若
，且有5a2+2001a+9=0及
，则
的值是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
（A）
（B）
（C）∠ABD=∠ACB
（D）
5、①在实数范围内，一元二次方程
的根为
；②在△ABC中，若
，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和
中，a，b，c分别为△ABC的三边，
分别为的三边，若
，则△ABC的面积S大于的面积
。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 。
3、已知
是正整数，并且
，则
=
。
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。
三、解答题（共70分）
1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线
上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求
的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）
（1） 证明：若
取任意整数时，二次函数
总取整数值，那么
都是整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）
3、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠CAF。（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。
 | |||
 | |||
解答题：
1、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐
角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k，FH=
，四边形EFGH的面积为S。
（1）求证：sinθ=
；
（2）试用
来表示正方形的面积。
2、求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程
，
，
的所有的根都是正整数。
3、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为△ABC的外心。
求证：（1）△AEF∽△ABC；
（2）AO⊥EF
4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线
平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。
求证：PM
PN＝PRPS