《圆》提高测试
（一）选择题：（每题2分，共20分）
1．有4个命题：
①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；
③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．
其中真命题是………………………………………………………………………（ ）
（A）①③ （B）①③④ （C）①④ （D）①
【提示】长度相等的两弧不一定是等弧，故②不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故④不对．
【答案】A．【点评】本题考查等圆、等弧、直线与弦的概念．注意：等弧是能互相重合的两条弧，直径是圆中最大的弦．
2．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O＝140°，则∠I为（ ）
（A）140° （B）125° （C）130° （D）110°
【提示】因点O为△ABC的外心，则∠BOC、∠A分别是
所对的圆心角、圆周角，所以∠O＝2∠A，故∠A＝
×140°＝70°．又因为I为△ABC的内心，所以
∠I＝90°＋∠A＝90°＋×70°＝125°．
【答案】B．
【点评】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念．注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式．
3．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为……………………………（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
【提示】正多边形的外角等于它的中心角，所以
＝60°，故n＝6．
【答案】C．
【点评】此题考查正多边形的外角与中心角的关系．注意：正n边形的中心角为，且等于它的一个外角．
4．如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长
交⊙O于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为…………（ ）
（A）
厘米 （B）
厘米 （C）2厘米 （D）3厘米
【提示】延长DO交⊙O于E，过点O作OF⊥AB于F，则CE＝8厘米．
由相交弦定理，得DC·CE＝AC·CB，
所以AC·2 AC＝2×8，
故AC＝2
（厘米），
从而BC＝4厘米．
由垂径定理，得
AF＝FB＝（2＋4）＝3（厘米）．
所以CF＝3－2＝（厘米）．
在Rt△COF中，
OF＝
＝
＝（厘米）．
【答案】C．
【点评】本题考查相交弦定理、垂径定理．注意：在圆中求线段的长，往往利用相交弦定理、垂径定理进行线段的转换，再结合勾股定理建立等式．
5．等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是……………………………………（ ）
（A）6
（B）3
（C）
（D）
【提示】等边三角形的边长为6，则它的面积为
×62＝9．又因为三角形的面积等于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半，所以9＝r·18（r为内切圆半径）．
解此方程，得r＝．
【答案】C．
【点评】本题考查等边三角形的面积的求法、内切圆半径的求法．注意：求三角形的内切圆的半径，通常用面积法．
6．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE＝2
厘米，则PE的长为（ ）
（A）4厘米 （B）3厘米 （C）
厘米 （D）厘米
【提示】由相交弦定理，得PA·PB＝PD·PC．
∴ 4×3＝PD·6．
∴ PD＝2（厘米）．
由切割线定理，得 AE2＝ED·EC．
∴ （2）2＝ED ·（ED＋2＋6）．解此方程得
ED＝2或ED＝－10（舍去）．
∴ PE＝2＋2＝4（厘米）．
【答案】A．
【点评】本题考查相交弦定理、切割线定理．注意：应用相交弦定理、切割线定理往往建立方程，通过解方程求解．
7．一个扇形的弧长为20p 厘米，面积是240p 厘米2，则扇形的圆心角是……………（ ）
（A）120° （B）150° （C）210° （D）240°
【提示】设扇形的圆心角为n度，半径为R，则
解方程组得
【答案】B．
【点评】本题考查扇形的弧长、面积公式．注意：应熟记扇形的弧长公式、扇形的面积公式．
8．两圆半径之比为2︰3，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（ ）
（A）5厘米 （B）11厘米 （C）14厘米 （D）20厘米
【提示】设两圆半径分别为2 x、3 x厘米，则内切时有3 x－2 x＝4，所以x＝4．于是两圆半径分别为8厘米、12厘米．故外切时圆心距为20厘米．
【答案】D．
【点评】本题考查两圆内切、外切时，圆心距与两圆半径的关系．注意：要理解并记忆两圆的五种位置关系及圆心距与半径的关系．
9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是……（ ）
（A）60° （B）90° （C）120° （D）180°
【提示】设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则
解此方程组，得 n＝180．
【答案】D．
【点评】此题考查圆锥的侧面展开图的概念．注意理解圆柱、圆柱的侧面展开图的有关概念．
10．如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧与以AB
为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1与S2的关系是………………………（ ）
（A）S1＞S2 （B）S1＜S2 （C）S1＝S2 （D）S1≥S2
【提示】设OA＝a，则S1＝a2，弓形ACB的面积＝
pa2－a2．
在Rt△AOB中，AB＝a，则以AB为直径的半圆面积为
·p·（
）2＝p·（
a）2＝pa2．则S2＝pa2－（pa2－a2）＝a2．
【答案】C．
【点评】本题考查三角形、圆、弓形的面积计算．注意：弓形的面积计算方法．
（二）填空题（每题2分，共20分）
11．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且AB＝2，则
O1O2＝______．
【提示】当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2⊥AB，且AC＝BC，
∴ AC＝1．
在Rt△AO2C中，O2C＝
＝
＝2；
在Rt△AO1C中，O1C＝
＝
＝．
∴ O1O2＝2＋．
当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O2＝2－．
【答案】2±．
【点评】此题考查“两圆相交时，连心线垂直于公共弦”的应用．注意：在圆中不要漏解，因为圆是轴对称图形，符合本题条件的两圆有两种情形．
12．已知四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_____．
【提示】圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为10，故中位线长为5．
【答案】5．
【点评】本题考查圆外切四边形的性质．注意：本题还可求得圆外切等腰梯形的腰长也为5，即等于中位线长．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点，且与BC切于点B，
与AC交于D，连结BD，若BC＝－1，则AC＝______．
【提示】在△ABC中，AB＝AC，
则 ∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴ ∠BAC＝36°．
又 BC切⊙O于B，
∴ ∠A＝∠DBC＝36°．
∴ ∠BDC＝72°．
∴ ∠ABD＝72°－36°＝36°．
∴ AD＝BD＝BC．
易证△CBD∽△CAB，
∴ BC 2＝CD·CA．
∵ AD＝BD＝BC，
∴ CD＝AC－AD＝AC－BC．
∴ BC2＝（AC－BC）·CA．
解关于AC的方程，得AC＝
BC．
∴ AC＝·（－1）＝2．
【答案】2．
【点评】本题考查弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质．注意底角为72°的等腰三角形的特殊性，底角的平分线把对边分成的两线段的比为
，即成黄金比．
14．用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝） 厘米2（不取近似值）．
【提示】铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和．底面圆面积为p·502＝625p（厘米2），底面圆周长为p×50＝50p（厘米），则铁皮的面积为2×625p＋80×50p＝5250p（厘米2）．
【答案】5250p厘米2．
【点评】本题考查圆柱的侧面展开图的面积及圆柱的表面积．注意：圆柱的表面积等于侧面积与两底面积之和．
5．已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_____条．
【提示】∵ 7－3＜5＜7＋3，
∴ 两圆相交，
∴ 外公切线有2条，内公切线有0条．
【答案】2．
【点评】本题考查两圆的位置关系及对应的圆心距与两圆半径的关系．注意：仅仅从
5＜7＋3并不能断定两圆相交，还要看5与7－3的大小关系．
16．如图，以AB为直径的⊙O与直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，
AC＝8 cm，BD＝2 cm，则四边形ACDB的面积为______．
【提示】设AC交⊙O于F，连结BF．
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠AFB＝90°．
连结OE，则OE⊥CD，
∴ AC∥OE∥BD．
∵ 点O为AB的中点，
∴ E为CD的中点．
∴ OE＝（BD＋AC）＝（8＋2）＝5（cm）．
∴ AB＝2×5＝10（cm）．
在Rt△BFA中，AF＝CA－BD＝8－2＝6（cm），AB＝10 cm，
∴ BF＝
＝8（cm）．
∴ 四边形ACDB的面积为
（2＋8）·8＝40（cm2）．
【答案】40 cm2．
【点评】本题考查直径的性质、中位线的判定与性质、切线的性质．注意：在圆中不要忽视直径这一隐含条件．
17．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，
则△PDE的周长是______．
图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，
【提示】连结OA，则OA⊥AP．
在Rt△POA中，PA＝
＝＝8（cm）．
由切线长定理，得EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB，
∴ △PDE的周长为
PE＋DE＋PD
＝PE＋EC＋DC＋PD，
＝PE＋EA＋PD＋DB
＝PA＋PB＝16（cm）．
【答案】16 cm．
【点评】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．
18．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______．
【提示】设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4×·R2＝2 R2，正六边形的面积为6×R2＝
R2，所以它们的比为2 R2：R2＝4︰9．
【答案】4︰9．
【点评】本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系．注意：正多边形的面积通常化为n个三角形的面积和．
19．如图，已知PA与圆相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与圆相交于点D、
E，且PA＝PB＝BC，又PD＝4，DE＝21，则AB＝______．
【提示】由切割线定理，得 PA2＝PD·PE．
∴ PA＝
＝10．
∴ PB＝BC＝10．
∵ PE＝PD＋DE＝25，
∴ BE＝25－10＝15．
∴ DB＝21－15＝6．
由相交弦定理，得 AB·BC＝BE·BD．
∴ AB·10＝15×6．
∴ AB＝9．
【答案】9．
【点评】本题考查切割线定理与相交弦定理的应用，要观察图形，适当地进行线段间的转化．
20．如图，在□ABCD中，AB＝4，AD＝2，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为_______．
【提示】连结OE、DE．
∵ AD⊥BD，且AB＝4，AD＝2，
∴ ∠DBA＝30°，且BD＝6．
∵ BD为直径，
∴ ∠DEB＝90°．
∴ DE＝BD·sin 30°＝6×＝3，BE＝6×
＝3．
∴ S△DEB＝×3×3＝
．
∵ O为BD的中点，
∴ S△BOE＝S△DEB＝
．
∵ DO＝BD＝3，∠DOE＝2×30°＝60°，
∴ S阴影＝2（S△ADB－S扇形DOE－S△EOB）＝2（×2×6－
p·32－）．
＝
－3p．【答案】
．
【点评】本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识．注意：求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式．
（三）判断题（每题2分，共10分）
21．点A、B是半径为r的圆O上不同的两点，则有0＜AB≤2 r………………（ ）
【答案】√．【点评】因为直径是圆中最大的弦，则判断正确．
22．等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心…………………………（ ）
【答案】√．【点评】因为等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，根据垂径定理的推论知，顶角平分线所在直线必过圆心．
23．直角梯形的四个顶点不在同一个圆上……………………………………………（ ）
【答案】√．
【点评】若在同一个圆上，则对角互补，故四个角全为直角．所以假设不成立，原命题成立．
24．等边三角形的内心与外心重合……………………………………………………（ ）
【答案】√．
【点评】等腰三角形的顶角的平分线也是对边的中线与高，因此等边三角形的内心与外心重合．
25．两圆没有公共点时，这两个圆外离……………………………………………（ ）
【答案】×．【点评】两圆没有公共点时，既可以是外离，也可以是内含，所以原命题不成立．
（四）解答题与证明题（共50分）
26．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，
BE与AC相交于点F，且CB＝CE，求证：（1）BE∥DG；（2）CB2－CF2＝BF·FE．
【提示】（1）证明利用弦切角定理进行角之间的转化可证∠E＝∠GCE；把（2）变形为CB2＝CF2＋BF·FE．
∵ BF·FE＝CF·AF，
∴ CF2＋BF·FE＝CF2＋CF·AF
＝CF（CF＋AF）
＝CF·CA．
即只要证CB2＝CF·CA即可，只需证△CBF∽△CAB．
【略证】（1）∵ CG为⊙O的切线，
∴ ∠EBC＝∠GCE．
∵ CB＝CE，∴ 
．
∴ ∠EBC＝∠E．∴ ∠E＝∠GCE．∴ GC∥EB．
（2）∵ ∠EBC＝∠E＝∠A，∠FCBO为公共角，
∴ △CBF∽△CAB．
∴ CB2＝CF·CA＝CF·（CF＋AF）＝CF2＋CF·AF．
由相交弦定理，得 CF·FA＝BF·FE，
∴ CB2＝CF2＋BF·FE．即 CB2－CF2＝BF·FE．
【点评】对于形如a2＝cd＋ef的等式的证明较困难，因不易找到突破口．一般先把待证明的等式进行变形，以便于看出等式中线段之间的联系．如本题中，先把CF2移到等式的右边去，再结合相交弦定理找出了思路．
27．（8分）如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MB︰MA＝1︰4，
求工件半径的长．
【提示】把OM向两方延长，交⊙O于点C、D．设⊙O的半径为R，则可用相交弦定理求半径长．
【略解】把OM向两方延长，分别交⊙O于C、D两点．设⊙O的半径为R．
从图中知，AB＝15 cm．
又 MB︰MA＝1︰4，
∴ MB＝
×15＝3（cm），MA＝12 cm．
从图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，
由相交弦定理，得 AM·BM＝CM·MD．
∴ 12×3＝（R＋8）（R－8）．
解此方程，得 R＝10或R＝－10（舍去）．
故工件的半径长为10 cm．
【点评】此题是一道实际问题，要善于把实际问题转化为数学问题，因在圆中，OM与AB相交，故向相交弦定理转化．
28．（8分）已知：如图（1），⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE．
（1）求证：BE是⊙O2的切线；
（2）如图（2），若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系（不要求证明）．
【提示】（1）过B作⊙O2的直径BH，连结AB、AH，证∠EBH＝90°．（2）用类似的方法去探求．
【证明】（1）连结AB，作⊙O2的直径BH，连结AH．
则 ∠ABH＋∠H＝90°，∠H＝∠ADB，∠EBA＝∠ECA．
∵ EC∥BD，
∴ ∠ADB＝∠ACE＝∠EBA．
∴ ∠EBA＋∠ABH＝90°．
即 ∠EBH＝90°．
∴ BE是⊙O2的切线．
（2）同理可知，BE仍是⊙O2的切线．
【点评】证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径（或直径），再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无90°的角，故作直径构造90°的角，再进行角的转换．同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了．另外，当问题进行了变式时，要学会借鉴已有的思路解题．
29．（12分）如图，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并
与CP的延长线相交于点B，又BD＝2 BP．
求证：（1）PC＝3 PB；（2）AC＝PC．
【提示】（1）因为BC＝BP＋PC，所以要证PC＝3 BP，即要证BC＝4 BP，用切割线定理进行转化．（2）要证AC等于⊙O的直径，即要证AC＝2×半径．只要连结OD，易证△BOD∽△BAC．可利用相似三角形的性质证明结论．
【略证】（1）∵ BD是⊙O的切线，BPC是⊙O的割线，
∴ BD2＝BP·BC．
∵ BD＝2 BP，∴ 4 BD2＝BP·BC．
∴ 4 BP＝BC．∵ BC＝BP＋PC，
∴ 4 BP＝BP＋PC．∴ PC＝3 BP．
（2）连结DO．
∵ AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，
∴ ∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵ ∠B＝∠B，∴ △ODB∽△ACB．
∴ 
＝
＝
＝．
∴ AC＝2 DO．∴ PC＝2 DO．∴ AC＝PC．
【点评】此题体现了圆幂定理和切线性质定理的应用，解题的关键是善于转化．
30．（14分）如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，
以线段OA为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB垂线与AD的延长线交于点E，
连结CD．若AC＝2，且AC、AD的长是关于x的方程x2－kx＋4＝0的两个根．
（1）证明AE切⊙O于点D；
（2）求线段EB的长；
（3）求tan ∠ADC的值．
【提示】连结OD、BD．（1）证∠ODA＝90°即可；（2）利用切割线定理，结合一元二次方程根与系数的关系求BE的长；（3）利用相似三角形的比进行转化．
（1）【略证】连结OD．
∵ OA是半圆的直径，∴ ∠ADO＝90°．∴ AE切⊙O于点D．
（2）【略解】∵ AC、AD的长是关于x的方程x2－kx＋4＝0的两个根，且AC＝2，AC·AD＝2，
∴ AD＝4．∵ AD是⊙O的切线，ACB为割线，
∴ AD2＝AC·AB．又 AD＝2，AC＝2，∴ AB＝10．
则 BC＝8，OB＝4．∵ BE⊥AB，
∴ BE切⊙O于B．
又 AE切⊙O于点D，∴ ED＝EB．
在Rt△ABE中，设BE＝x，由勾股定理，得
（x＋2）2＝x2＋102．
解此方程，得 x＝4．
即BE的长为4．
（3）连结BD，有∠CDB＝90°．
∵ AD切⊙O于D，
∴ ∠ADC＝∠ABD，且tan ∠ADC＝tan ∠ABD＝
．
在△ADC和△ABD中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABD，
∴ △ADC∽△ABD．
∴ 
＝
＝
＝
．
∴ tan ∠ADC＝．