中考数学全真模拟试题27
一、选择题（每题3分，共33分）
1、抛物线
的对称轴是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、抛物线
的顶点坐标是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、二次函数
的图象如图所示，则（ ）
A、
，
B、，
C、
，
D、，
4、如图，在
中，点
在
上，
，垂足为点
，若
，
，则
的值是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、给出下列命题：
①平行四边形的对角线互相平分；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形。其中真命题的个数为（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
6、给出下列函数：①
；②
；③
；④
。其中，
随
的增大而减小的函数是（ ）
A、①② B、①③ C、②④ D、②③④
7、已知一次函数
与，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
8、如图，是不等边三角形，
，以点、为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与全等，这样的三角形可以作出（ ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
9、二次函数的图象如图所示，那么下列四个结论：①；②
；③；④
中，正确的结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10、如图，在梯形
中，
∥
，
，
，
，
，则此梯形的面积是（ ）
A、24 B、20 C、16 D、12
11、如图，线段、
相交于点
，欲使四边形成为等腰梯形，应满足的条件是（ ）
A、
，
B、，，
C、
，
D、，
二、填空题（每题3分，共30分）
12、如图，点是正
和正
的中心，且
∥，则
=_______。
13、某次数学测验满分为100（单位：分），某班的平均成绩为75，方差为10。若把每位同学的成绩按满分120进行换算，则换算后的平均成绩与方差分别是_________。
14、李好在六月月连续几天同一时刻观察电表显示的度数，记录如下：
| 日期 | 1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 | 6号 | 7号 | 8号 | … | 30号 |
| 电表显示（度） | 120 | 123 | 127 | 132 | 138 | 141 | 145 | 148 | … |
估计李好家六月份总月电量是___________。
15、将正方形
的一个顶点与正方形
的对角线交叉重合，如图⑴位置，则阴影部分面积是正方形面积的
，将正方形与按图⑵放置，则阴影部分面积是正方形面积的____________。
16、抛物线
的顶点关于轴对称的点的坐标为_________。
17、在
中，
，
是斜边
上的中线，将
沿直线折叠，点落在点处，如果
恰好与垂直，那么
等于________度。
18、已知是的角平分线，点、
分别是边、的中点，连结
、
，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形
成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________。
19、下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形。把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积是
，则
_________，图④的面积
_________，则
________（填“>”“=”或“<”）。
20、已知方程
（
，
，
是常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式，则函数表达式为______________，成立的条件是________，是_____________函数。
21、如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且
。请你以点为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）。
⑴连结：___________；
⑵猜想：___________=__________；
⑶证明：______________。
三、解答题（22～26题每题6分，27题7分，共37分）
22、如图，矩形中，点是与的交点，过点的直线与、的延长线分别交于点、。
⑴求证：
；
⑵当
与满足什么条件时，四边形
是菱形？并证明你的结论。
23、如图，是
的弦，切于点，
，
交于点，点为弧的中点，连结，在不添加辅助线的情况下，
⑴找出图中存在的全等三角形，并给出证明；
⑵图中存在你所学过的特殊四边形吗？如果存在，请你找出来并给出证明。
24、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线
相交于点
。
探究：设、两点间的距离为。
⑴当点在上时，线段
与线段
之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图⑴）。
⑵当点在边上时，设四边形
的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图⑵）。
⑶当点在线段上滑动时，
是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点的位置，并求出相应的的值；如果不可能，试说明理由（如图⑶）。（图⑷、图⑸、图⑹的的形状、大小相同，图⑷供操作、实验用，图⑸和图⑹备用）
25、如图，已知四边形中，点、、
、
分别是、、、的中点，并且点、、、有在同一条直线上。
求证：和
互相平分。
26、已知：抛物线
与轴的一个交点为
。
⑴求抛物线与轴的另一个交点的坐标。
⑵点是抛物线与轴的交点，点
是抛物线上的一点，且以为一底的梯形的面积为9，求此抛物线的解析式。
⑶点是第二象限内到轴、轴的距离的比为5：2的点，如果点在⑵中的抛物线上，且它与点在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点，使
的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
27、在平面直角坐标系中（单位长度：1cm），、两点的坐标分别为
，
，点从点开始以2cm/s的速度沿折线
运动，同时点从点开始以1cm/s的速度沿折线
运动。
⑴在运动开始后的每一时刻一定存在以点、、为顶点的三角形和以点、、为顶点的三角形吗？如果存在，那么以点、、为顶点的三角形和以点、、为顶点的三角形相似吗？以点、、为顶点的三角形和以点、、为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由。
⑵试判断
时，以点为圆心，
为半径的圆与以点为圆心、
半径的圆的位置关系；除此之外
与
还有其他位置关系吗？如果有，请求出
的取值范围。
⑶请你选定某一时刻，求出经过三点、、的抛物线的解析式。
参考答案与提示
1、A 2、D 3、A 4、D 5、B 6、D 7、C 8、B 9、D 10、A 11、D 12、60° 13、90 14、4 120度 15、
16、
17、30 18、
，
，
等 19、
= 20、
二次 21、⑴
⑵ ⑶
四边形为平行四边形，
，∥。
，在
和
中，
，
。
22、⑴在矩形中有∥，
，
。又
，
。
⑵当与垂直时，四边形是菱形。
，
，又
，
四边形是平行四边形。又
，四边形是菱形。
23、⑴
。证明：
，
。
为的切线，
。
。又
，
。又
，即
。
。在
和
中，
，
，
，
。
⑵存在，它们分别为平行四边形
和梯形
。证明：
，
，
∥，∥。四边形是平行四边形。又
与相交，四边形为梯形。
24、⑴
，证明：过点作
∥，分别交于点
，交于点
，则四边形
和四边形
都是矩形，
和
都是等腰三角形（如图⑴）。
，
，
。而
，
。又
，
，
。
⑵由⑴知
，得
。
，
，
，
，
，
，
，即
。
⑶可能成为等腰三角形。①当点与点重合，点与点重合，这时
，是等腰三角形，此时
；②当点在边的延长线上，且
时，是等腰三角形（如图3），此时，
，
，
，
，当
时，得
。
25、连结
、
、
、
。点、、、分别是、、、的中点。在中，
；在
中，
，
。四边形
为平行四边形。
与互相平分。
26、⑴依题意，抛物线的对称轴为
。抛物线与轴的一个交点为，由抛物线的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为
。
⑵抛物线与轴的一个交点为，
。
，
，
，点的坐标为
。又梯形中，∥，且点在抛物线
上，点的坐标为
。梯形的面积为9，又
，
，
，
，
，所求抛物线的解析式为
或
。
⑶设点的坐标为
，依题意，
，
，且
，
。
①设点在抛物线上，则
。解方程组
得
，
，点与点在对称轴的同侧，点的坐标为
。设在抛物线的对称轴上存在一点，使的周长最小。
长为定值，要使的周长最小，只需
最小。点关于对称轴的对称点是
，由几何知识可知，点是直线
与对称轴的交点。设过点、的直线的解析式为
，则
，解得
，直线的解析式为
，把代入上式，得
，点的坐标为
。
②设点在抛物线上，则
。解方程组
消去
，得
，
，此方程无实数根。综上所述，在抛物线的对称轴上存在点
，使的周长最小。
27、⑴①不一定。例如：当
时，点、、与点、、都不能构成三角形。②当
时，即当点、在轴的正半轴上时，
。这是因为：
，
，
。③会成为等腰直角三角形。这是因为：当
时，
，即当
时，
为等腰直角三角形。同理可得，当时，
为等腰直角三角形。
⑵①当时，
，
，同理可得
，
，此时与内切。②有。当外高时，
；当外切时，
；当相交时，
；当内含时，
。
⑶当
时，
，此时点的坐标为
，设经过点、、的抛物线的解析式为，则
解得
故所求解析式为
。