中考数学平移与旋转练习

中考数学平移与旋转练习

课标要求

1、  通过具体实例认识图形的平移变换，探索它的基本特征，理解对应点连线平行且相等的性质。

2、  能按要求作出简单的平面图形平移后的图形。

3、  通过具体实例认识旋转变换，探索它的基本特征，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。

4、  认识旋转对称图形，并能按要求作出简单的平面图形旋转后的图形。

5、  通过具体实例认识中心对称，探索并理解它的基本性质，理解中心对称图形和旋转对称图形的关系，会判断中心对称图形。

6、  掌握“关于某点成中心对称”的图形的画法。

7、  灵活运用轴对称 、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，认识和欣赏这些图形的变换在现实生活中的应用。

中招考点

1、  在现实情境中体验图形的平移、旋转现象，通过生活中平移、旋转现象，理解平移、旋转的意义。

2、　　　  图形在平移、旋转变换过程中有关点、线段、角的位置变化及线段的长度、角的大小以及图形的形状和大小的不变性 (两种变换的特征)

3、　能识别现实生活中的旋转对称图形和中心对称图形。

4、  会画平面图形经过平移和旋转后的图形，会画平面图形关于某点中心对称的图形。

5、  能利用图形的平移和旋转的特征来识别有关线段、角的相等关系和图形的形状，能利用图形的平移、旋转变换思想解决有关几何问题。

6、  根据对旋转对称图形和中心对称图形的理解，联系生活实际，设计一些令人赏心悦目的旋转对称图案或中心对称图案，不断提高设计能力和创新能力。

典型例题

P 　　 M 　　　　　　　  F Q　　　　　 R 　　　　　　 N G　　　　　 E 图11-1

［例1］　　　　　　　　　　　  如图11-1，△PQR平移后得到△EFG

①　　 请你在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应线段和对应点；

②　　 若点M、N分别是边PQ、FG的中心，则点M与点N间的距离为多少？线段RM与EN是否相等？∠MRP与∠NEF呢？

分析： 通过观察可知：点P与点F、 点R与E、点Q与点G是三对对应点。因此点P到点F的方向即为平移的方向，连结PF，线段PF的长就是平移的距离。

点M与点N是一对对应点，线段RM与EN是一对对应线段，∠MRP与∠NEF是一对对应角。

解:① 点P到点F的方向即为平移的方向，平移的距离是线段PF的长度，量得约为2.5cm，对应线段是PQ与FG，PR与EF、QR与GE，对应点是点P与点F，点Q与点G，点R与点E。

② 因为线段PQ与FG是一对对应线段，所以它们(对应的线段)的中点M与N也是一对对应点，线段RM与EN是一对对应线段，点M与点N间的距离为平移的距离，均为2.5cm，线段RM与EN相等，∠MRP与∠NEF相等。

评注:① 图形的移动方向和距离问题归结为图形上某一个点的移动方向和距离；

 ② 找出移动前后的对应点，才能判断线段或角相等与否。

［例2 ］如图11-2 △ABC是等边三角形，D是BC上 一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。

B 　　D M　　　　　  A　　　　　 C 　　　　  E 图11-2

① 旋转中心是哪一点？

② 旋转了多少度？

③　　 若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？

分析：把握图形旋转的定义，图形的旋转由旋转中心和旋转角度两个因素决定，其中旋转中心在旋转过程中保持不动。

解：① 旋转中心为：点A；

①　　 旋转的角度为：∠BAC=60⁰；

②　　 点M在线段AC的中点上。

评注:① 找出图形旋转前后对应点，旋转角为任何一对对应点与旋转中心的夹角 。②会在特殊图形中找出特殊角为旋转角。

［例3］如图11-3所示，在△ABC中，∠C=90⁰，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A₁B₁C₁的位置。

① 若平移的距离为3，则△ABC与△A₁B₁C₁重叠部分的面积为多少？

② 若平移的距离为x(0≤x≤4)，△ABC与△A₁B₁C₁重叠部分的面积为y，则y与x之间的关系是什么？

A　　　　 A1 　　　　　D C　　　　C1　　　B　　　B1 图11-3

分析:由于△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，当它沿CB方向平移到△A₁B₁C₁的位置时，图中重叠部分也是等腰直角三角形。① 当平移的距离为3时，则CC₁=3，BC₁=BC-CC₁=4-3=1

S_重叠部分=×1×1=；

② 当平移的距离为x(0≤x≤4)，BC₁=BC-CC₁=4-x。

解:由分析可知：在平移过程中，重叠部分△BC₁D始终是等腰直角三角形。所以

①　　 当平移的距离为3时，即CC₁=3，C₁B=CB-CC₁=1

∴ S_△BC1D=×1×1=；

② 当平移的距离为x时，即CC₁=x，则C₁B=CB-CC₁=4-x，

∴S_△BC1D=y=×(4-x)=(4-x)

评注: 根据图形的平移，挖掘图中对应线段，对应角间的关系，如此题中的重叠部分是等腰直角三角形，其面积的大小随平移的距离x(0≤x≤4)的变化而变化。且y=(4-x)²

［例4］如图11-4 在Rt△ACB中，四边形DECF为正方形，请回答下列问题：

①　　 请简述图⑴经过怎样的变换形成图⑵的。

②　　 若AD=3，BD=4，求△ADE与△BDF的面积。

A　　　　　　　　　　　　　　  A E　　　　 D　　　　　　　　　　　　　  D C　　　　　　  F　　  B　　  C A1　　　　F 　　　　　 B 　　　⑴　　　　　　　　　　　　　  ⑵ 图11-4

分析:⑴由于四边形DECF为正方形，DE=DF，∠EDF=90⁰，因此只要把△ADE绕点D逆时针旋转90⁰，将得到△A₁DF；

⑵ 根据图形的旋转特征可知：AD=A₁D，∠ADE=∠A₁DF，而∠ADE+∠FDB=90⁰，因此，∠A₁DF+∠FDB=90⁰，即∠A₁DB=90⁰，所以在Rt△A₁DB中，A₁D=3，BD=4，= ×A₁D×BD=6

解: ① 由题意可得，把△ADE绕D点逆时针90⁰旋转得△A₁DF。

② 由图及①知：S_△ADE+S_△BDE=S_△DA1F+S_△BDF=S_△A1DB

根据图形的旋转特殊可知：AD=A₁D，∠ADE=∠A₁DF，而∠ADE+∠FDB=90⁰，

∴ ∠A₁DF+∠FDB=90⁰。即∠A₁DB=90⁰。

∴在Rt△A₁DB中，A₁D=AD=3，BD=4

S_△A1DB=AD×BD=6

即△ADE与△BDF面积的和为6。

评注:①图形的旋转可以使分散的线段或角相对集中。

② 利用图形的旋转特征，可以说明图中有关线段或角相等。进行图形面积的求算，当图形中有相等的线段或相等的角，可利用这些已知条件进行图形的旋转，使分散的线段或角相对集中。特别是图中有等腰三角形、正方形等较规则的图形时，通常将图中的某三角形旋转60⁰、90⁰或180⁰。

［例5］ 请欣赏图11-5中的六个图形，回答下列问题：

① 这六幅图形都是____________(填轴对称图形、中心对称图形)；

② 旋转对称图形可以看做是其中的一个“基本图形”绕着旋转中心旋转而成；图案⑶的旋转角______个可能的取值；当“基本图形”的个数有n个时，则旋转角有_____个可能的取值。

分析:观察上述六个图形，发现它们都是旋转对称图形。旋转中心是图形的正中心；图形⑶有十个“基本图形”，则它的旋转角为的整数倍，即36⁰、72⁰、108⁰、144⁰、216⁰、252⁰、288⁰、324⁰，因此，共有九个可能的取值；当“基本图形”的个数有n个时，则旋转角有(n-1)个可能的取值。

［解］①中心对称图形

② 9、n-1

评注:运用由特殊到一般的方法，发现旋转对称图形旋转角的个数，如果旋转对称图形中有n个最基本图形，则它的旋转角有(n-1)种不同的值，并且都是的整数倍。

［例6］如图11-6所示，已知△ABC，请你试着将△ABC沿着北偏东45⁰方向平移3cm，画出平移后的△A^/B^/C^/。

A 　B　　　　　　　 C 图11-6

分析:以△ABC一个顶点A作方位图，过程如下：

过A点作两条垂直的线，画射线AP，使AP在北偏东45⁰的方向上，再在射线AP上截取AA^/=3cm，点B、点C可以通过平移得到。

Q　　　　　　　　　 P 　　　　　　  A/ 　 A　　　　 B/　　　　　　　  C/ B　　　　　　　　　 C 图11-7

解:如图11-7所示

⑴过A点作方位图(上北、下南、左西、右东)

⑵过点A画∠QAP=45⁰

⑶ 在射线AP上截取AA^/=3cm

⑷依次作平移：BB^/∥AA^/，CC^/∥AA^/得点B^/、C^/

⑸顺次连接A^/B^/、B^/C^/、C^/A^/，得到△A^/B^/C^/就为所求的三角形。

评注: 本题的关键是先定△ABC的一个顶点建立方位图，确定平移方向，然后再根据平移的特征来进行作图。

C B　　　　　　　　　 A C/ B/ 图11-8

［例7］李明同学正在黑板上画△ABC绕△ABC外一点P旋转45⁰角的旋转图；当他完成C、B两点旋转后的对应点C^/、B^/时，不小心将旋转中心P擦掉了(如图11-8)，没有旋转中心P，李明不知道如何继续画下去，你愿意动脑筋帮李明找到旋转中心P，让他能完成剩下的图形吗？

分析:这道题目是考查学生逆向思维的能力，学生看起来似乎无从下笔，但实际上还是考查学生对旋转特征的理解。 根据旋转特征，对应点到旋转中心的距离相等，则点C与点C^/到旋转中心P的距离相等。依据线段垂直平分线的性质，P点应在连结CC^/的线段垂直平分线上；同理，点P也应在连结BB^/的线段的垂直平分线上。因此，只需作线段CC^/、BB^/的垂直平分线，它们的交点就是旋转中心P。

解:⑴ 连结CC、BB；

⑵ 分别画线段CC^/、BB^/的垂直平分线，则它们的交点就是旋转中心点P。

评注: 理解图形旋转的特征，并用逆向思维的方法来解决问题。旋转中心实际上就是图形旋转后的各对应点连成的线段的垂直平分线的交点。

［例8］ 如图11-9，正方形ABCD内一点P，∠PAD=∠PDA=15⁰，连结PB、PC，请问△PBC是等边三角形吗？为什么？

分析: 本题的关键是要证∠PCD=∠PBA=30⁰，如何用已知条件∠PAD=∠PDA=15⁰，来证∠PBA=30⁰呢？我们可以设想将△APD绕点D逆时针方向旋转90⁰。从而使A与C重合，若CQ恰好平分∠PCD，问题就可以迎刃而解了。

A　　　　　　　　　 D 　　　　  P　　　　　　　　 P/ 　　　　　　　 Q B　　　　　 　　　 C 图11-9

解:将△APD绕点D逆时针旋转90⁰得△DP^/C的轴对称图形△DQC，△CQD与△ADP经过对折旋转能重合。

因为PD=QD，所以∠PDQ=90⁰-15⁰-15⁰=60⁰

得△PDQ为等边三角形，故∠PQD=60⁰

又∠DQC=∠APD=180⁰-15⁰-15⁰=150⁰

∴∠PQC=360⁰-60⁰-150⁰=150⁰=∠DQC

又PQ=DQ=CQ。所以∠PCQ=∠DCQ=15⁰

从而∠PCD=30⁰。同理可证 ∠PBA=30⁰

∴∠PCB=∠PBC=60⁰ ∴ △PBC是等边三角形。

评注: 在正方形中，利用各边都相等可绕顶点90⁰旋转后与两邻边重合，构造新的图形，这是解决正方形问题的常用方法。

［例9］ 如图11-10，点A、B为河塘两岸边的两座村庄，为了测量两村之间的距离(要求不经过河塘)，请你想一想，能否用平移、旋转的知识来解决这个问题？

［分析］这是道探究性问题，较灵活，有多种解法，这里仅介绍两种解法。

A　　　　　　　　　　　 B 图11-10

解:方法一：如图11-11①，先将点A沿着适当的方向平移适当的距离到点A^/处，然后又将点B沿着同样的方向(保证AA^/∥BB^/)平移相同的距离(保证BB¹=AA¹到点B^/处)这即是将线段AB平移到线段A^/B^/的位置(把不能测量的位置转化到能测量的位置)。根据平移的特征A^/B^/=AB，所以量出A^/、B^/两点间的距离，就是A、B两点间的距离，也就是两个村庄间的距离。

A　　　　　　　　　　　  B A/　　　　　　　　　　　 B/ 图11-11①

方法二：如图11-11②，在河塘岸边适当的位置取一点C，连接AC、BC（保持AC、BC不经过河塘），分别将AC、BC延长到点A^/、B^/，使A^/C=AC，B^/C=BC；这样就是把△ABC绕点C旋转180⁰到△A^/B^/C的位置，也就是将线段AB旋转到线段A^/B^/的位置。根据旋转的特征有A^/B ^/=AB，所以测出A^/、B^/两点间的距离，就是A、B两点间的距离，即可知道两村庄间的距离。

A　　　　　　　　　　　 B 　　　　  　　C　　　　　　　　　　　　　　　　 A/　　　　　　　　　　　　　　　　　   B/ 图11-11②

评注:本题的关键就是根据平移、旋转的数学思想把图形从一个位置平移或旋转到另一个位置(实际问题中就是把不能测量的点的位置通过平移或旋转的方法转化到能够测量的点的位置)。由图形在平移、旋转过程中保持对应线段相等的特征来达到解决问题的目的。通过对本题解答过程的理解，同学们的思维有两处需要延伸：

① 在解决有关实际问题时，首先要建立 几何模型，即如何把实际生活中的问题转化到几何问题上来，这种数学解题思想要认真体会。

② 在建立有关几何模型之前，要创造必要的条件，如本题先要创造符合平移、旋转的条件，在解决实际问题时要有理论依据，不能想当然，但解题时也不能墨守成规，要敢于创新。

［例10］把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起，如图11-12①)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合。现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转　(旋转角α满足条件0＜α＜90⁰)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图11-12②）

⑴　在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形　CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

⑵　连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y。求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

⑶　在⑵的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC的面积的，若存在，求出此时x的值；若不在在，说明理由。

A 　　　 G(O) 　　　 C 　　　　　　B E　　　　　　　　F 图11-12①

分析:由题意及旋转的特征可知：旋转角α不变，所以∠BGH＝∠CGK是解题的关键，然后利用直角三角形斜边上中线的性质，易得BG＝CG，从而可证：△GBH≌△GCK。从而可知BH＝CK，而且S_△GBH＝S_△GCK，所以在旋转过程中，四边形GHCK的面积没有变化，第一问得到解答。第⑵、⑶问也就易解决，注意利用面积关系建立函数关系式。

在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变。

解:⑴证明：∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为斜边的中点

∴　CG＝BG，CG⊥AB

∴　∠ACG＝∠B＝45⁰

又∵∠BGH与∠CGK均为旋转角。

A E　 K　　　　G（O） 　　　　　 　　　　　　　　　B 　　C　　　　H 　　　　　　　　 　　　　　　F 图11-12②

∴　∠BGH＝∠CGK

∴　△BGH≌△CGK（ASA）

∴　BH＝CK，S_△BGH＝S_△CGK

∴S_{四边形CHGK}＝S_△CHG+S_△CGK＝S_△CHG+S_△BGH＝　S _△ABC

＝××4×4＝4

即四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化。

⑵∵AC＝BC＝4，BH＝x

∴　CH＝4-x，CK＝x.

∴S_△GKH＝S_{四边形CHGK}- S_△CHK

即y=4-x·(4-x)

∴ y=x²-2x+4

∵0⁰＜α＜90⁰

∴0＜x＜4

⑶存在

根据题意得：x²-2x+4＝×8

即　x²-2x+＝0

∴有　x²-4x+3＝0

解之得x₁=1，x₂=3

故当x＝1或x＝3时　△GHK的面积均等于△ABC面积的。

评注:此题是一道几何和代数的综合题，题目背景比较复杂，需要认真读题。理清题中的数量关系，然后抓着在旋转过程中旋转角∠BGH＝∠CGK是关键，然后可证两个阴影的三角形全等。第一问是整个题目的核心，第一问会做了，第二问第三问无非是把函数知识，一元二次方程的解法在题目中的体现。

强化训练

D　　　　　　　A N　　　　　　　 M E　　　　　　F　B　　　　　　C 图11-13

一、填空题：

⒈平移是由＿＿＿＿＿＿＿＿所决定的。

⒉　如图11-13所示，△ABC是由△DEF经过平移得到的，若AD＝6cm,则 BE=______,CF＝＿＿＿＿，若M、N分别为AB、DE的中点，则MN＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

A　　 　　D B　　　M　C　　N 图11-14

⒊　如图11-14所示，四边形ABCD中，AD∥BC，DM∥AB交BC于M，DN∥AC交BC延长线于N，线段AD沿着＿＿＿的方向平移到BM，平移的距离是＿＿＿＿＿＿；线段AB沿着＿＿＿的方向平移到DM，平移的距离为＿＿＿＿；△ABC沿着＿＿＿方向平移到△DMN，平移距离为＿＿＿＿＿。

A　　　　　D B　　 　C　E　　　　F 图11-15

⒋　如图11-15，将△ABC沿BC方向平移3cm得△DEF，若∠B＝45⁰，∠A＝50⁰，则∠F＝＿＿＿，BE＝______=_______cm

⒌ 正方形至少旋转＿＿度能与自身重合，正六边形至少旋转＿＿度能与自身重合。正八边形至少旋转＿＿度能与自身重合，

⒍　成中心对称的两个图形，连结对称点的线段都经过＿＿，并被______平分。

D　　　　 C A　 E　　　B 图11-17

D 　　　　  E A　　　　　  B 　　　 C 图11-16

⒎　如图11-16，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是＿＿＿＿＿，旋转了＿＿＿度？

⒏ 钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是＿＿＿，经过20分钟，分针旋转＿＿度。

⒐　如图11-17，在梯形ABCD中，AB∥CD，将BC沿CD方向平移6cm至ED，

△AED的周长为28cm，则梯形ABCD的周长为＿＿＿＿cm.

A　E　 D B　F　　　　　  G　 C 图11-18

⒑ 已知梯形的两底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰长a的取值范围是＿＿＿＿＿；若a为奇数，则此时梯形为＿＿＿＿梯形。

⒒ 如图11-18，四边形ABCD中 ，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为＿＿＿＿＿三角形。若AD＝2cm，BC＝8cm，则FG＝＿＿＿cm。若AB＝8cm，DC＝6cm，则FG＝＿＿＿cm.

图11-19

⒓ 如图11-19，一个矩形中有两个面积分别为9cm²和4cm²的正方形，则阴影部分面积为＿＿＿。

C A　　　　　　 B　　 　　　  O　　　　  O　　　　　 D 图11-21

⒔、如图11-20：△OAC经旋转后与△OBD重合，则旋转中心是____________，旋转角是___________，若OC=3cm，则旋转过程中，点C所经过的路线长为_____________。

A  　　　　　　　　　　　　　　 D C　　　　　　 O 　　　　 　　　图11-20　　　　  B

A　　　　 D 　  E B　　　　　  C 　　　　　  F 图11-22

⒕、将两直角三角尺的直角顶点重合为如图11-21所示的形状，若∠AOD=127°，

则∠BOC=__________。

⒖、如图11-22，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=135°BE=3 cm，

△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，△BEF是__________三角形，∠BFC=________度，BF=_________cm。

C　　　　E　 A　　　　B　　　　D 图11-23

二、选择题：

⒈如图11-23所示，要由等边△ABC得到等边△BDE，下列说法中正确的是（　　 ）

A.仅能由平移得到　 B.仅能由旋转得到

C.既能由平移得到，又能由旋转得到　　　 D.平移，旋转都不能得到

A.　　　　　B.　　　　  　 C.　　　　　 D.

⒉ 如图所示，其中某图形中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后所形成的，这个图形是（　　）。

⒊在26个大写英文字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　 ）

A.3个　　 B.4个　　  C.5个　　　 D.6个

⒋ 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A.等边三角形　 B.平行四边形　 C.等腰梯形　 D.圆

⒌ 要使正十边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心按逆时针方向旋转（　　 ）

A. 9°　 B. 18°　　C. 36°　　 D. 72°

⒍ 你玩过扑克牌吗？你仔细观察过每张扑克牌中的图案吗？请你指出图案是中心对称图形的一组为（　　 ）。

A.黑桃6与黑桃9　 B.红桃6与红桃9　 C.梅花6与梅花9　　D.方块6与方块9

E　　　　　　　  D 　　　　  A 　  　B　　　　　 C 图11-24

三、解答下列各题：

1、如图11-24，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，

∠CAD=∠EAB=90°，

∠BAC=30°，若△EAC旋转后能与△BAD重合，问：

①旋转中心是哪一点？

②旋转了多少度？

③　　 若EC=10cm，求BD的长。

2、画图题：（写画法，保留画图的痕迹）

①　如图11-25，画出△ABC绕AB中点O逆时针旋转90°后的三角形。

②　如图11-26，已知四边形ABCD和图形外一点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形。

C　　　　　　　　　　　　　　  A 　　　　　　  　　　　　 O 　　　　　　　　　　  O 　　　　　　　　　  B 图11-25

A　　　　　　　　　　 D 　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　O B C 图11-26

E B　 A　　 　　　 C　 　　F 图11-27

3、已知：EC⊥AF，EC=3cm.

①　试说出△EFC怎样由△ABC变换得到，并计算此变换过程中点A运动的最短长度。

②　请你发挥想象：AB、EF有什么样的数量和位置关系？

4、如图，已知等边△ABC和等边△DBC有公共的底边BC，

① 以图11-28-①中的某个点为旋转中心旋转△DBC，就能使△DBC与△ABC重合，则满足题意的点为__________________________；(写出所有的这种点)。

② 如图11-28-②，已知B₁是BC的中点，现沿着由点B到B₁的方向，将△DBC平移到△D₁B₁C₁的位置，请你判断：得到的四边形ABD₁C₁是平行四边形吗？说明你的理由。

A　 B　　　　  　　　 C　　 C1 　　　　　　　　　　 D1 图11-28-③

A　 B　　　　　　 　　　 C　 　 D 图11-28-①

A　 B　　　　 B1 　　 C　　 C1  D　　　　　　　　 D1 图11-28-②

5、如图11-29，已知线段AD与AB交于点A

A　　P　　　　 Q　　　 D B 图11-29

①画出线段AB沿PQ方向平移AD长度，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C。

②　　 平移后得到的四边形ABCD是平行四边形吗？__________请说明理由。

③连结AC、BD两条对角线交于点O，且AC⊥BD，AB=5，求四边形ABCD的周长。

④在四边形ABCD中，有没有成中心对称关系的三角形？有的话，请直接写出来。________________________________________________。

M　 D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 M　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 M C　　　　　　　　　　　　　　　　  C　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　C 　　　　　　　  E　　　　　  E　　 N　　　　　　　　　　　 D　　　　　　　　　　　　　　 E 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A　　　　　　　　　　　　　 B A　　　　　　　  B　　　 B　　 　　　A　　　　　 　　　　  B 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 E　　　　　　　　　　　 D ①　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　　　　　  N　　　　　　  N　　 ③ 图11-30

6、如图11-30，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

⑴　当直线MN绕点C旋转到图11-30-①的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

⑵　当直线MN绕点C旋转到图11-30-②的位置时，求证：DE=AD-BE；

⑶　当直线MN绕点C旋转到图11-30-③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

第22部分《平移与旋转》综合测试题A

C　　 F B　 E　 A　　D 图11-1

一、填空题：（每空3分，共30分）

1、等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。

2、如图11-1，△ABC经过向右平移4.5cm之后得到了△DEF，其中AE=3cm，BC=12cm，DF=10.5cm，那么BE=_________，

AC＝_________，FC与DA的关系是_______________。

A　E　 D B　F　　　　　  G　 C 图11-3

A B　　　　　　　　　　　　 C/ 　　　　　　　 B/　 C 图11-2

3、如图11-2，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△A B^/C^/，

A/  　　A 　　　　　　　D B/ 　　　 　　　　 B 　　　　　C 图11-4

A O B　　　　　 C 图11-5

则△ABB′是______________三角形。

4、如图11-3在四边形ABCD中，AD∥BC，BC>AD, ∠B与∠C互余，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，那么△EFG是________三角形，若AD=2cm，BC=8 cm，则EF²+EG²=_________。

5、如图11-4，把三角形ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A^/B^/C^/，A^/B^/交AC于点D，若∠A′DC=90°，那么∠A的度数是_______.

6、如图11-5所示的图形绕O点旋转__________后能与自身重合。

A　　　  D　　　　E B　　　 C　　　 F 图11-6

7、如图11-6所示，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有_________个。

二、选择题：（四选一）（每小题3分，共30分）

1、下列图形中，既是轴对称图形，又是旋转对称图形，且对称轴最多的是（　　 ）

A.等边三角形　 B.平行四边形　 C.正方形　 D.矩形

2、要使正十边开旋转后与自身重合，至少应将它绕中心按逆时针方向旋转（　　　 ）

A. 9°　 B. 18°　　C. 36°　　 D. 72°

3、下列说法正确的是（　　　）

A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小。

B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置

C.图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离

A　 C/　　　　　　　　　　  B/ 　　　　　　　  O   B　　　　　　  C　　 A/ 图11-7

D.在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行

4、如图11-7，△ABC与△A^/B^/C^/关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　  ）

A.点A与点A′是对称点　　 B.BO=B^/O

C.AB∥A^/B′　　　　　　  D. ∠ACB=∠C^/A^/B^/

5、将一图形绕着点O顺时针方向旋转70°后，再绕着点O逆时针方向旋转120°，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度？（　　）

A.顺时针方向50°　　B.逆时针方向50°

C.顺时针方向190°　 D.逆时针方向190°

6、如果一个图形绕着一个点至少需要旋转72°才能与自身重合，那么（　　　 ）

A.这个图形可能既是中心对称图形又是轴对称图形

B.这个图形只可能是中心对称图形，不可能是轴对称图形

C.这个图形只可能是轴对称图形，不可能是中心对称图形

D.无法确定。

7、下列运动是属于旋转的是（　　　）

A.滚动过程中的篮球的滚动　　　 B.钟表的钟摆的摆动

C.气球升空的运动　　　　 D.一个图形沿某直线对折过程

8、给出下列几何图形：①角，②线段，③等边三角形，④长方形，⑤正方形，⑥等腰梯形，其中是中心对称图形的有（　　  ）

A　　　　　　　　  D B　　　　  C　　  E　　　　　 F 图11-8

A.2种　　 B.3种　　  C.4种　　 D.5种

9、如图11-8，面积为12㎝²的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为（　　）

A.24㎝² B.36㎝² C.48 ㎝² D. 无法确定

A　　　　　　　  D 　　　　  E 　 B　　　　　　　 C　　　　F 图11-9

10、如图11-9，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（　 　 ）

A. 10°　 B. 20°　　C.15°　　 D. 25°

三、解答下列各题：（6′+6′+6′+6′+8′+8′）（共40分）

1、四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图11-10所示，如果AF=4，AB=7

D　　　　　　　　  C 　  E F　　 A　　　　　　　  B 图11-10

求①指出旋转中心和旋转角度。

②求DE的长度。

③BE与DF的位置关系如何？

2、在△ABC中，∠B=10°，∠ACB=20°，AB=4㎝，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，如图11-11所示，

E   　  A　　　　　  C　　　　D   B　　　 图11-11

①指出旋转中心，并求出旋转的度数。

②求∠BAE的度数和AE的长。

3、如图11-12所示的两个图形，一个是平行四边形，另一个是以点O为圆心的圆，在图中作一条直线，使这条直线把平行四边形与圆O各分成的两部分形状，大小都相同。

O 图11-12

4、西部大开发中的某座城市，为了改变市容市貌，绿化环境，准备在市中心修建绿化带，现向全体市民征集设计图案。具体要求是：所画图形中同时要有正方形和圆（正方形和圆的个数不限），并且这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，若是要你来设计，你能设计几种？（要求：最少设计出三种，每多再设计一种加2分）

5、如图11-13，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG。

① 观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；

E　　　　　　　　　　　　　  F A　　　　　　　　　  D B　　　　　　　　　　　 C　　　　　　　　　　　　 G　　　　　　　 图11-13

② 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由。

6、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。

①当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图11-14①）通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

A　　　　　　　 D　　　　　　　　　　　　　　　　 F 　　　　　　　　　 F　　　　　　　　　  A　　　　 D B　E　　　 　C　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　 B　　　　 C　E 图11-14-①　　　　　 图11-14-②

②当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图11-14-②），你在①中得到的结论还成立吗？简要说明理由。

第22部分《平移与旋转》综合测试题B

图11-1

一、填空题：（每题3分，共30分）

1、图形的平移由_________和________决定。

2、如图11-1所示的图形旋转___________度后能与自身重合。

C　　D　　　　B 　　　　　　　　　　　  A E　　　　　　　　　  图11-2

3、如图11-2，若△ABC绕着点A旋转一定角度就得到△ADE，那么AB=____________，∠ACB=___________，点B与点___________对应。

4、一条长度为10㎝的线段，当它绕线段的_________旋转一周时，线段“扫描”过的圆面积最大，这时最大面积为_____________；当它绕线段的____________旋转一周时，线段“扫描”经过的圆面积最小，此时最小面积为__________。

5、请你写出5个成中心对称的汉字_________________________。

D　　　　　　　 C 　　　　　　　　 E　　G 　　　　  A　　　　　　　 B　　　 F 图11-3

A(A/)   　　　　　　　  C/ C　 B　 B/  图11-4

6、既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是______________________。

7、如图11-3，正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF=BE，AE的延长线交CF于G，则线段AE和CF的关系是________________。

8、如图11-4，△ABC按逆时针方向转动了70°后成为△A^/B^/C^/，已知

∠B=60°，∠C=55°，则∠BAC′=_____________________。

9、如图11-5，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形A^/B^/C^/D^/的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD的面积的一半，若AC=，则正

方形移动的距离AA′=_________________。

D　 D/ A　　A/　　C　　　 C/   　 B　　　　  B/ 图11-5

E　　　　　　　 A　　　　　　　　 D O B　　　　　　　　 C 　　　　　　　  　　　　F 图11-6

A　　　　　　  D 　　 P 　 B　　　　　　 C 　　　　　　　　  P/ 图11-8

A 　　　　 O B　　　　　　  C 图11-7

10、如图11-6，平行四边形的对角线AC、BD交于点O，E、F在直线AC上，且AE=CF，写出图中关于点O成中心对称的各对三角形___________________。

11、如图11-7点O在∠ABC内，作∠ABC关于点O的对称图形∠EDF，∠ABC与∠EDF围成的图形是___________________形。

B　　　　 C(A/)　　　 B/ A　　　  D(D/)　　　　 C/ 图11-9

12、如图11-8，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，则∠PBP′_____________度，△PBP′是_________三角形。

13、在正n边形中，当n为____________时，正n边形既是轴对称图形又是中心对称图形。

a b 　　　　  o 图11-10

14、如图11-9，一块边长为10㎝的正方形木板ABCD在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A^/B^/C^/ D^/的位置，顶点C从开始到结束所经过的路径为______________㎝。

15、如图11-10所示，三个同心圆，O为圆心，a⊥b，最大圆的半径为R，则图中阴影部分的面积为_______________。

二、选择题（四选一）（每小题3分，共24分）

1、下列运动形式不是平移是（　　　 ）

①农村中的辘轳上水桶的升降　②电梯上人的升降　 ③小火车在平直的铁轨上运动　 ④游乐场中的钟表的指针运动　　⑤奥运五环旗图案（不考虑颜色）形成　　 ⑥电风扇的转动

A. ①②　  B. ③④　　 C.④⑥　　　 D.③⑤

2、观察下列四个图形，其中与另外三种不同的是（　　 ）

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　  B.　　　　　　　　　　　　　　　  C.　　　　　　　　　　　　　　　　  　 D.

3、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（　　　）

①线段　②直角三角形　③平行四边形　 ④矩形　 ⑤菱形　

⑥正方形　 ⑦等边三角形　 ⑧角

A.6个　 B.5个　　C.4个　　  D.3个

4、如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形绕它的什么交点旋转120°后，能与原来图形重合（　　  ）

A.三条角平分线的交点　　  B.三条中线的交点

C.三条高的交点　　　　　  D.以上都可以

5、下列命题中

①中心对称图形一定是轴对称图形

②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形

③关于某一点为中心对称的两个三角形重合

④两个重合的图形一定关于某一点为中心对称

其中正确的命题的个数为（　　  ）

A.1个　 B.2个　　C.3个　　  D.4个

6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，那么这个四边形（　　　　）

A.仅是轴对称图形　　 B.仅是中心对称图形

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形　

D.是轴对称图形，但不是中心对称图形

7、如图11-11，将四边形ABCD平移至A^/B^/C^/D′，则下列结论中正确的是（　　　 ）

A. AA′=BB′=CC′　　　　 B. ∠B=∠B′=∠C′

C. ∠A+∠C=∠A′+∠B′　

D.AB∥A^/B^/∥A^/D^/

A　　　　  A/ 　　　　　　　　　　  D　　　　　 D/ B　　　　 B/　　  　C　　　　　 C/　 图11-11

A B 　　　　　　　　  　　　C 图11-12

8、如图11-12，三个等圆的圆心分别在等边△ABC的三个顶点上，此图形可以看做其中的一个圆，绕正△ABC的中心旋转得到的，其旋转角为（　　  ）

A. 60°　B. 80° C.45°  D. 120°

A 　　　　 O B　　　　　　　　　　　　 C 图11-13

三、画图题：（不写画法）（4′+4′=8′）

1、如图11-13，已知△ABC及AC边上一点O，作出△ABC绕O逆时针旋转90°得到的图案。

A　 M B C P　　　　　　　　 O　　　　　　　 Q 　　　　　　　　　　　 N 图11-14

2、如图11-14所示，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线MN和PQ，画出△ABC关于直线MN成轴对称的△A^/B^/C^/′，再画出△ABC关于点O成中心对称的△A^//B^//C^//。

四、解答题：（本题共24分，每小题6分）

1、如图11-15，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=45°，△ABP旋转后能与△CBP′重合。

①旋转中心是哪一点？②旋转角是多少度？

③△ABC是什么三角形？△BPP′呢？

2、如图11-16，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，现将△ABC沿着CD的方向平移，平移距离刚好与CD的长相等，观察平移后的图形，①指出有哪些新的特殊四边形；②并说明这个特殊四边形是什么四边形的理由。

C　　　　　　　　　　　　　　　　　 A/ A　　　　　　　　　  B　　　　　　　　　 C/ 图11-17

A　　　　　　　　　　  　　　　　　D 　　　　　　　　　　　 O  B　　　　　　　　　　　　　　　　  C 图11-16

3、如图11-17，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=10㎝，将△ABC绕点B旋转到△A^/BC^/的位置，且使点A、B、C′三点在同一条直线上，试问点A经过的最短路线的长度是多少？

A 　　　　　　　  P B　　　　　　　　　  C 　　　　 　　　　 P/ 图11-15

只是轴对称 图形 　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　 ① 只是中心对称 图形 ② 　　　　　　　　　　 　　　　　　　 既是轴对称图形 又　是中心对称图形   　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　 ③

4、给出的图形“○、○、△、△、＝”（两个相同的圆、两个相同的三角形，两条平行线）为构件，各设计一个构思独特，且有意义的轴对称图形和中心对称图形，举例：如图11-18所示，左框中是符合要求的一个图形，你还能构思出其他的图形吗？请在右框中画出与之不同的图形。

五、（本题满分7分）

阅读下面材料：

如图11-19-①，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC个长度，可以变到△DEC的位置；

如图11-19-②，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；

A　　　  E　　　　　  A　　　 　　 D　　　　 E 　　　　　　  B　　　  C　　　　　　　 A B　　　 C　　　  D　 D　　　  B　　　　 C ①　　　　　　　  ②　　　　　　　 ③ 图11-19

如图11-19-③，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。

像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换叫做三角形的全等变换。

A　 　　　　　　　　　　　 D 　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　 E F　　　 B　　G　　　　　　　　  C

回答下列问题：

① 在下图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ADE变到△ABF的位置？

② G是BC上一点，∠EAG=45°，请你想一想△AEG与△AFG关于直线AG对称吗？为什么？

六、（本题满分7分）

如图11-20，A、D两点分别是正△DEF、正△ABC的中心，G是FD与AB的交点，H是ED与AC的交点，连结GH、AD，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N。

F　　　  N　　　 E 　　　　 A 　 G　　　　　 H 　　　　　　 D B　　　 M　　　　C 图11-20

①请你写出三个不同类型，必须经过两步推理才能得到的正确结论（不要求写推理过程）

②问EF、GH、BC有何位置关系？试证明你的结论。