平行线与三角形复习
一、相关知识点复习：
（一）平行线
1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 判定：
（1） 同位角相等，两直线平行。
（2） 内错角相等，两直线平行。
（3） 同旁内角相等，两直线平行。
（4） 垂直于同一直线的两直线平行。
3. 性质：
(1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
(2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(3) 两直线平行，同位角相等。
(4) 两直线平行，内错角相等。
(5) 两直线平行，同旁内角互补。
（二）三角形
4. 一般三角形的性质
(1) 角与角的关系：
三个内角的和等于180°；
一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2) 边与边的关系：
三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3) 边与角的大小对应关系：
在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
(4) 三角形的主要线段的性质(见下表)：
| 名称 | 基本性质 |
| 角平分线 | ① 三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等； ② 角平分线上任一点到角的两边距离相等。 |
| 中线 | 三角形的三条中线相交于一点。 |
| 高 | 三角形的三条高相交于一点。 |
| 边的垂直平分线 | 三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）； 外心到三角形三个顶点的距离相等。 |
| 中位线 | 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 |
5. 几种特殊三角形的特殊性质
(1) 等腰三角形的特殊性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。
(2) 等边三角形的特殊性质：
①等边三角形每个内角都等于60°；
②等边三角形外心、内心合一。
(3) 直角三角形的特殊性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③ 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和
（其逆命题也成立）；
④ 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；
⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
6. 三角形的面积
(1) 一般三角形：S △ = 
a h（
h 是a边上的高 ）
(2) 直角三角形：S △ = a b = c h（a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高）
(3) 等边三角形： S △ = 
a 2（ a是边长 ）
(4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。
7. 相似三角形
(1) 相似三角形的判别方法：
① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；
② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(2) 相似三角形的性质：
① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
② 相似三角形的周长比等于相似比；
③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 全等三角形
两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。
判定两个三角形全等的公理或定理：
①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS；
②直角三角形还有HL
二、巩固练习：
一、选择题：
1． 如图，若AB∥CD，∠C = 60º，则∠A＋∠E＝（ ）
A．20º B．30º C．40º D．60º
2．如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4
3． 如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（ ）
A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定
 |  |  | |||
4．
如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠1和∠5是同位角； B．∠2和∠6是同位角；
C．∠3和∠5是内错角； D．∠3和∠6是内错角．
5． 下列命题正确的是（ ）
A．两直线与第三条直线相交，同位角相等；
B．两直线与第三条直线相交，内错角相等；
C．两直线平行，内错角相等；
D．两直线平行，同旁内角相等。
6． 如图，若AB∥CD，则（ ）
A．∠1 = ∠4 B．∠3 = ∠5
C．∠4 = ∠5 D．∠3 = ∠4
7．
如图， l1∥l2，则α= （ ）
A．50° B．80°
C．85° D．95°
8． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm
C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm
9． 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A.150° B.80° C.50°或80° D.70°
10． 
如图，点D、E、F是线段BC的四等分点，点A在BC外，
连接AB、AD、AE、AF、AC，若AB = AC，则图中的全等三角形
共有（ ）对
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11． 三角形的三边分别为 a、b、c，下列哪个三角形是直角三角形？（ ）
A. a = 3，b = 2，c = 4 B. a = 15，b = 12，c = 9
C. a = 9，b = 8，c = 11 D. a = 7，b = 7，c = 4
12． 
如图，△AED ∽ △ABC，AD = 4cm，AE = 3cm，
AC = 8cm，那么这两个三角形的相似比是（ ）
A．
B． C．
D．2
13． 下列结论中，不正确的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
B．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；
C．各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；
D．各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似。
二、填空题：
14． 如图，直线a∥b，若∠1 = 50°，
则∠2 = 。
15． 如图，AB∥CD，∠1 = 40°，
则∠2 = 。
16． 如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，
若∠ADE = 80°，则∠1 = .
17．
如图， l1∥l2，∠1 = 105°，∠2 = 140°，
则∠α = ．
18． △ABC中，BC = 12cm，BC边上的高
AD = 6cm，则△ABC的面积为 。
19． 如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，
那么x的取值范围是 。
20． 在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 。
21． 在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，则AB = 。
22． 已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是 。
23． 等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是 。
24． 在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于 。
25． 已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 。
26． 等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为 。
27．
如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子
测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他
想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的
点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长
为15m，则A、B两点间的距离为__________.
28．
如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，
∠B=∠E．要使△ABC≌△DEF，需要补充的
是一个条件： 。
29． 太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时
量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为 。
三、解答题：
30． 如图，已知△ABC中，AB = AC，AE = AF，D是BC的中点
求证： ∠1 = ∠2
31． 如图，已知D是BC的中点，BE⊥AE于E，CF⊥AE于F
求证：BE = CF
32． 如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB =∠DBA，AC = 18，△CDB的周长是28。求BD的长。
33． 已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝EC，
求证：AB＝AC
 |
34． *一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树。
(1) 根据题意，画出示意图；
(2) 求河宽。
练习答案：
一、选择题
1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C
9、C 10、C 11、B 12、B 13、B
二、填空题
14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm2
19、1<x<5
20、50°、50° 21、8cm 22、5 23、1
24、6或 25、22或26 26、120° 27、30m
28、BC=EF或∠A=∠D或∠C=∠F 29、21.6m
三、证明题
30、BE=CF、∠B=∠C、BD=DC→△BED≌△CFD→∠1=∠2
31、△BED≌△CFD→BE=CF
32、∠A=∠DBA→AD=BD→CD+BD=AC=18、△CDB的周长是28→BC=10
33、AD=AE→∠ADE=∠AED→∠ADB=∠AEC→△ABD≌△AEC→AB=AC
34、
解：如图，根据题意，有AB∥CD，PM⊥CD于N点，
交AB于M点，且AB=20m，
CD=50m， PM=25m，
AB∥CD→△PAB∽△PCD→
→ →PN=62.5→MN=37.5