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中考数学相交线平行线三角形试题分类汇编

一、选择题

1、（2007河北省）如图1，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（　　）C

A．50°　　　　　　　　B．60°　　　　　　　 C．140°　　　　　 D．160°

1、（2007浙江义乌）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．

已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）A

A．3　　　　　B．4　　　　 C．5　　　　　 D．6

2、（2007重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）C

　（A）20⁰　　　　（B）120⁰　　　（C）20⁰或120⁰　　　　（D）36⁰

3、（2007浙江义乌）如图，AB∥CD，∠1=110°∠ECD=70°，∠E的大小是（　　）B

A．30°　　　　　B．40°　　　　　C．50°　　　　　　 D．60°

5、（2007天津）下列判断中错误的是（　　）B

A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等

4、（2007甘肃陇南）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝4，则BC=（　）D

　A．9　　　　　　　　　　　　　　 B．10

C． 11　　　　　　　　　　　　　　　 D．12

5（2007四川资阳）如图5，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于(　 )C

A. 90°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B. 135°

C. 270°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D. 315°

6、（2007四川资阳）如图8，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60 cm，AB=100 cm，a、b、c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行. 若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是(　 )D

A. 6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B. 7

C. 8 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D. 9

7、（2007浙江临安）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则DE∶BC的值为（　　）A

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

8、（2007福建晋江）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE＝，则下列说法正确的个数有（　　）C

①DC′平分∠BDE；②BC长为；③△B C′D是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长。

A． 1个；　　　　　 B．2个；　　　　　　 C．3个；　　　　　　 D．4个。

9、（2007山东日照）某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：

方法一：在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；

方法二：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；

方法三：在腰AB上找一点D，作DE∥BC，交AC于点E，DE作为分割线；

方法四：以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线．

这些分割方法中分割线最短的是（　　）A

（A）方法一　　（B）方法二　　（C）方法三　　（D）方法四

二、填空题

1．（2007广西南宁）如图1，直线被直线所截，若，，则　　　　．60

2、（2007云南双柏）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为　　　　　　．9

3、（2007浙江义乌）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC=___▲___cm.　12

4、（2007福建福州）如图5，点分别在线段上，相交于点，要使，需添加一个条件

是　　　　　（只要写一个条件）．

解：，，，（任选一个即可）

5、（2007四川德阳）如图，已知等腰的面积为，点分别是边的中点，则梯形的面积为______．6

6、（2007浙江杭州）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个角应该为　　　　　　　。

7、（2007天津）如图，中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= ＿＿＿。3

8、（2007辽宁大连）如图5，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22米，则旗杆的高为_____________m．12

9、（2007湖南岳阳）已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A＝_________（答案：60°）

10、（2007浙江金华）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点是正六边形的一个顶点，以点为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长　　　　　．

11、（2007湖南怀化）如图：分别是的中点，，，分别是，，的中点这样延续下去．已知的周长是，的周长是，的周长是的周长是，则　　　　　　　　　　　　　．

12、（2007四川资阳）如图4，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至点A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂；…；按此规律继续下去，可得到△A₅B₅C₅，则其面积S₅=_____________ . .

三、解答题

1、（2007浙江温州）已知：如图，.

2、（2007重庆）已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）GF＝GC。

证明：（1）∵BF＝CE　∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF

　　　又∵AB⊥BE，DE⊥BE　 ∴∠B＝∠E＝90⁰

　　　又∵AB＝DE　 ∴△ABC≌△DEF

　（2）∵△ABC≌△DEF　 ∴∠ACB＝∠DFE

　　　　∴GF＝GC

3、（2007浙江金华）如图，在同一直线上，在与中，，，．

（1）求证：；

（2）你还可以得到的结论是　　　　　　（写出一个即可，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）．

（1）证明：，，

在和中

（2）答案不惟一，如：，，等．

4、（2007甘肃陇南）如图，在△ABC 中，AB=AC，D是BC边上的一点，

　 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE= DF，

　并说明理由．

解：需添加条件是　　　　　　　．

　理由是：

解：需添加的条件是：BD=CD，或BE=CF．　　………………2分

添加BD=CD的理由：

如图，∵ AB=AC，∴∠B=∠C．　　　　　　　　…………………4分

又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BDE=∠CDF． …………………6分

文本框: ∴ △BDE≌△CDF (ASA)．

∴ DE= DF．　　　　　　　　　 ………8分

添加BE=CF的理由：

如图，∵ AB=AC，

∴ ∠B=∠C．　　　　　 ………………4分

∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD．　　　 …………6分

又∵ BE=CF， ∴ △BDE≌△CDF (ASA)．

∴DE= DF．　　

5、（2007湖南怀化）如图，，，，

求证：

证明：

即：

又，

6、（2007南充）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

解：AD是△ABC的中线．　　　　
理由如下：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵　BE＝CF，∠BDE＝∠CDF，
∴　Rt△BDE≌Rt△CDF．　　　　∴　BD＝CD．　　　　　　
故AD是△ABC的中线．

7、（2007浙江杭州）如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面4个结论：

①射线是的角平分线；

②是等腰三角形；

③∽；

④≌。

（1）判断其中正确的结论是哪几个？

（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。

（1）正确的结论是①、②、③；（2）证明略。

8、（2007四川乐山）如图（11），在等边中，点分别在边上，且，与交于点．

（1）求证：；

（2）求的度数．

（1）证明：是等边三角形，

，

又

，················································································· 4分

．······································································································· 5分

（2）解由（1），

得······························································································· 6分

······················································································ 9分

9、（2007重庆）已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90⁰，AB＝10，D为△ABC外一点，边结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E。

（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长；

（2）若BD＝AB，且，求DE的长。

解：（1）∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60⁰，AD＝AB＝10

　 ∵DH⊥AB　 ∴AH＝AB＝5，　　 ∴DH＝

　　 ∵△ABC是等腰直角三角形　　∴∠CAB＝45⁰

∴∠AEH＝45⁰　∴EH＝AH＝5，∴DE＝DH－EH＝

（2）∵DH⊥AB且，　　 ∴可设BH＝，则DH＝，DB＝

　　 ∵BD＝AB＝10　　∴　解得：

　　 ∴DH＝8，BH＝6，AH＝4

　又∵EH＝AH＝4，　　 ∴DE＝DH－EH＝4

10、（2007四川乐山）如图（13），在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点．我们知道，结论“”成立．

（1）当时，求的长；

（2）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

我选做的是_____________________．

解（1）在中，由，

得

，由知

，．

（2）假设存在满足条件的点，设，则

由知，，解得，

此时，符合题意．

11、（2007山东青岛）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移

动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两

点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的

关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．

△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，

∴BP＝(3－t ) cm．

△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，

若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．

当∠BQP＝90°时，BQ＝BP．

即t＝(3－t )，t＝1 (秒)．

当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ．3－t＝t，t＝2 (秒)．

答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．

⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝，

∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t )．∴S_△PBQ＝BQ·PM＝· t ·(3－t )．

∴y＝S_△ABC－S_△PBQ＝×3²×－· t ·(3－t )＝．

∴y与t的关系式为： y＝．

假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，

则S_四边形_APQC＝S_△_ABC．∴＝××3²×．

∴t ²－3 t＋3＝0．∵(－3)²－4×1×3＜0，∴方程无解．

∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8′

⑶ 在Rt△PQM中，MQ＝＝．

MQ ²＋PM ²＝PQ ²．∴x²＝[(1－t ) ]²＋[(3－t ) ]²

＝＝＝3t²－9t＋9．　　　　

∴t²－3t＝．∵y＝，

∴y＝＝＝．

∴y与x的关系式为：y＝．　

12、（2007甘肃白银等）如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．

在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h₃=0，可得结论：．

在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．

（1）请探究：图（2）--（5）中， h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）

（2）证明图（2）所得结论；

（3）证明图（4）所得结论．

（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60^o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：　　　　　　　　；图（4）与图（6）中的等式有何关系？