中考数学探究性问题复习
探究性问题是指在给定条件下探究尚不明确的结论，或由给出的结论探求满足该结论所需要的（或尚不确定的）条件的一类问题，它与传统条件结论封闭是截然不同的。一般情况下，传统题条件完备，结论明确，只需计算结果，或对结论加以论证，其解题通法往往是确定的。探究性问题是通过对题目的具体分析，选择并建立恰当的数学模型，经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探究性活动来探索解题思路。探究性问题一般可分为结论探究题、条件探究题和存在性探究题。我市近年来一直以考查结论探究题和存在性探究题为主。
1、结 论 探 究 题
结论探究题，一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题时往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。
例1、有若干个数，第1个数记为
，第2个数记为
，第3个数记为
，……，第
个数记为
，若
，从第2个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”。
（1）试计算：＝ ，＝ ，
＝ ；
（2）根据以上计算结果，请你写出：
＝ ，
＝ 。
例2、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力。据报现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果。据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用。若在适宜条件下，1株水葫芦每5天就能新繁殖1株（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）。
（1）假设江面上现有一株水葫芦，填写下表：
| 第几天 | 5 | 10 | 15 | … | 50 | … | 5n |
| 总株数 | 2 | 4 |
（2）假设某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益。若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦。（要求写出必要的尝试、估算过程！）
例3、如图，“取正方形各边的中点，并把相对的两个中点相连，这样把一个大正方形分成了四个小正方形”，我们称之为第1次操作。（1）请继续在图中按以上操作对右上角的正方形进行分割，我们称之为第2次操作。（2）继续按第1次操作的方法进行第3次、第4次分割，并把分割后图中小正方形的个数填入下表：（以后每次操作都对右上角正方形进行分割）
| 操作次数（ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | …… |
| 小正方形个数（ | 4 | …… |
（3）进行第100次操作后，图中小正方形的个数是 。
（4）能否当进行到某次操作后，使图中的小正方形
的个数为2004？若能，请求出操作的次数；
若不能，请说明理由。
例4．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形。设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为
。
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式。
答：S= 。
| 多边形的序号 | ① | ② | ③ | ④ | … |
| 多边形的面积S | 2 | 2.5 | 3 | 4 | … |
| 各边上格点的个数和 | 4 | 5 | 6 | 8 | … |
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点。此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式是：S=
。
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？答：S=
。
2、条 件 探 究 题
条件探究题，一般是由给定的结论反过来探究命题成立应具备的条件。
例1、已知：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B的正切值是
，AC＝3，点P为直线AC上的一点，当CP为何值时，
？
例2、已知：四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（12，0），点C的坐标为（6，8），直线
：
与
轴相交于点D。（1）当
为何值时，直线恰好平分平行四边形ABCD的面积？（2）若直线与线段CO、AO分别相交于点P、Q，
则当为何值时，△OPQ是等腰三角形？
3、存 在 性 探 究 题
例1、如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝
，∠ACB＝45°，在BC边上有一动点M，过M作MN∥AB，与AC交于点N，连结AM，设BM
0＜＜6
，△AMN的面积为。（1）求与
的函数关系式；
（2）是否存在这样的点M，使
＝2：3？
若存在则求之，否则说明理由。
例2、已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与轴相交于点A、B，与轴相交于D、E，且
。点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）。连结BP、AP。
（1）求∠BPA的度数；
（2）若过点P的⊙C的切线交轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
例3、（本小题满分8分）
探索下列问题：
（1）在图12—1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2.
①请你在图12—2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）；
②请你在图12—3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）.
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图12—4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由.
