第三节 反比例函数
【回顾与思考】
反比例函数
【例题经典】
理解反比例函数的意义
例1 若函数y=（m2-1）x
为反比例函数，则m=________．
【解析】在反比例函数y=
中，其解析式也可以写为y=k·x-1，故需满足两点，一是m2-1≠0，二是3m2+m-5=-1
【点评】函数y=为反比例函数，需满足k≠0，且x的指数是-1，两者缺一不可．
会灵活运用反比例函数图象和性质解题
例2 （2006年常德市）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，且x1<x2<0<x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3 C．y2<y1<y3 D．y2<y3<y1
【解析】反比例函数y=
的图象是双曲线、由k=2>0知双曲线两个分支分别位于第一、三象限内，且在每一个象限内，y的值随着x值的增大而减小，点P1，P2，P3的横坐标均为负数，故点P1，P2均在第三象限内，而P3的第一象限．故y>0．此题也可以将P，P，P三点的横坐标取特殊值分别代入y=中，求出y1，y2，y3的值，再比较大小．
例3 （2006年烟台市）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=
图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【解析】（1）求反比例函数解析式需要求出m的值．把A（-2，1）代入y=中便可求出m=-2．把B（1，n）代入y=
中得n=-2．由待定系数法不难求出一次函数解析式．（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x的取值范围．
【考点精练】
基础训练
1．反比例函数y=-的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A．I=
(第3题) (第5题) (第6题)
4．若双曲线y=
经过点A（m，3），则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
5．（2006年威海市）如图，过原点的一条直线与反比例函数y=（k<0）的图像分别交于A、B两点，若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（ ）
A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b）
6．（2006年长春市）如图，双曲线y=
的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2006年济宁市）反比例函数y=与正比例函数y=2x图象的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（ ）
8．（2006年深圳市）函数y=（k≠0）的图象如图所示，那么函数y=kx-k的图象大致是（ ）
9．（2006年茂名市）已知点P是反比例函数y=（k≠0）的图像上任一点，过P点分别作x轴，轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．4
10．（2006年绵阳市）如图，梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（ ）
A．3 B．
C．-1 D．+1
(第10题) (第11题) (第12题)
能力提升
11．如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象，观察图象写出y1>y2时，x的取值范围__________．
12．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=
（x>0）的图象上，则点E的坐标是（
）
A．（
，
）
B．（
）
C．（，）
D．（
）
13．（2006年重庆市）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（-
，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_________．
14．在平面直角坐标系XOY中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线L，直线L与反比例函数y=的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．
15．（2006年十堰市）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的料泥地．为了完全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如下图所示．
（1）请直接写出一函数表达式和自变量取值范围；
（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
应用与探究
16．某厂从2002年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，某产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
| 年度 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 |
| 投入技改资金x（万元） | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
| 产品成本y（万元/件） | 7.2 | 6 | 4.5 | 4 |
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2006年已投入技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2005年降低多少万元？
②如果打算在2006年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）
答案:
例题经典
例1：m=
例2：C
例3：（1）y=-，y=-x-1 （2）x<-2或0<x<1
考点精练
1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D
11．-2<x<0或x>3 12．A 13．y=-
14．解：依题意得，直线L的解析式为y=x．
因为A（a，3）在直线y=x上，则a=3，即A（3，3），
又因为（3，3）在y=的图象上，可求得k=9，
所以反比例函数的解析式为y=
15．（1）P=
（S>0），（2）当S=0.2时，P=
=3000．即压强是3000Pa．
（3）由题意知，≤6000，∴S≥0.1．即木板面积至少要有0.1m2．
16．（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，
把x=2.5，y=7.2；x=3，y=6分别代入得
．
一次函数解析式为y=-2.4x+13.2，
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式．左边≠右边，
∴不是一次函数，
同理，也不是二次函数，
设其为反比例函数，解析式为y=．
当x=2.5时，y=7.2，可得7.2=
，得k=18，
∴反比例函数为y=
．
验证：当x=3时，y=
=6，符合反比例函数．
同理可验证：x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立．
∴可用反比例函数x=表示其变化规律．
（2）①降低0.4万元．②还需投入0.63万元．