中考数学二次函数分类汇编试题含答案
一、选择题
1、（2007天津市）已知二次函数
的图象如图所示，有下列5个结论：① 
；② 
；③ 
；④ 
；⑤ 
，（
的实数）其中正确的结论有（
）B
A. 2个 B.
3个 C.
4个 D.
5个
2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）．B
（A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③
3、（2007广州市）二次函数
与x轴的交点个数是（ ）B
A．0 B．1 C．2 D．3
4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数
和二次函数
的图象可能为（ ）A
 |
5、（2007四川资阳）已知二次函数
(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D
A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大
B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小
C. 存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x> x0时，函数值y随x的增大而增大
D. 存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大
6、（2007山东日照）已知二次函数y=x2-x+a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）B
(A) m-1的函数值小于0 (B) m-1的函数值大于0
(C) m-1的函数值等于0 (D) m-1的函数值与0的大小关系不确定
二、填空题
1、（2007湖北孝感）二次函数y =ax2＋bx＋c 的图象如图8所示，
且P= a－b＋c ＋ 2a＋b ，Q= a＋b＋c ＋ 2a－b ，
则P、Q的大小关系为 . P<Q
2、（2007四川成都）如图9所示的抛物线是二次函数
的图象，那么
的值是 ．－1
3、（2007江西省）已知二次函数
的部分图象如图所示，则关于
的一元二次方程
的解为
．
，
；
4、（2007广西南宁）已知二次函数
的图象如图所示，则点
在第
象限． 三
三、解答题
1、（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是
、B（1，0），且经过点C（2，8）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标。
解：（1）设这个抛物线的解析式为
由已知，抛物线过，B（1，0），C（2，8）三点，得
（3分）解这个方程组，得
∴ 所求抛物线的解析式为
（6分）
（2）
∴ 该抛物线的顶点坐标为
2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为
，且过点
．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．
解：（1）设二次函数解析式为
，
二次函数图象过点，
，得
．
二次函数解析式为
，即
．
（2）令
，得
，解方程，得
，
．
二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为
和
．
二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为
3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是
，且过点
．
（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数
，点
都不在这个
二次函数的图象上．
解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为
，··································· 2分
又点在它的图象上，可得
，解得
．
所求为
． 令，得
画出其图象如右．
（2）证明：若点
在此二次函数的图象上，
则
． 得
．
方程的判别式：
，该方程无解．
所以原结论成立．
4、（2007贵州省贵阳）二次函数
的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程
的两个根．（2分）
（2）写出不等式
的解集．（2分）
（3）写出
随的增大而减小的自变量的取值范围．（2分）
（4）若方程
有两个不相等的实数根，求
的取值范围．（4分）
解：（1）
，
（2）
（3）
（4）
5、（2007河北省）如图13，已知二次函数
的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入
得
解得 
∴二次函数的表达式为
．
（2）对称轴为
；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入，得 
，
解得
．∵m＞0，∴
不合题意，舍去．
∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．
6、（2007四川成都）在平面直角坐标系
中，已知二次函数的图象与轴交于
两点（点
在点
的左边），与轴交于点
，其顶点的横坐标为1，且过点
和
．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线
与线段
交于点
（不与点
重合），则是否存在这样的直线
，使得以
为顶点的三角形与
相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点
是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角
与
的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标
的取值范围．
解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，
由
解得
此二次函数的表达式为 
．
（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．
在中，令，则由
，解得
．
令
，得
．
．
设过点
的直线交于点，过点作
轴于点
．
点的坐标为，点的坐标为
，点的坐标为．
．
要使
或
，
已有
，则只需
， ①
或
② 成立．
若是①，则有
．而
．
在
中，由勾股定理，得
．
解得 
（负值舍去）．
．
点的坐标为
．将点的坐标代入
中，求得
．
满足条件的直线的函数表达式为
．
［或求出直线
的函数表达式为
，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为
．联立
求得点的坐标为．］
若是②，则有
．而．
在中，由勾股定理，得
．
解得 
（负值舍去）．
．点的坐标为
．
将点的坐标代入中，求得
．
满足条件的直线的函数表达式为
．
存在直线
或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．
（3）设过点
的直线
与该二次函数的图象交于点．
将点
的坐标代入
中，求得
．此直线的函数表达式为
．
设点的坐标为
，并代入，得
．
解得
（不合题意，舍去）．
．
点的坐标为
．此时，锐角
．
又二次函数的对称轴为
，
点关于对称轴对称的点
的坐标为．
当
时，锐角
；当
时，锐角；
当
时，锐角
．
7、（2007四川眉山）如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．
(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为
—1．求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；
(3)求边C’O’所在直线的解析式．
8、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=
，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．
 |
（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；
（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.
解：（Ⅰ）设线段l函数关系式为M=kt+b，由图象得
解之，得
∴线段l的函数关系式为M＝13000t+2000, 1≤t≤8.
由t=知，当t=1时，S用地面积=M建筑面积，
把t=1代入M＝13000t+2000中，得M=15000 m2.
即开发该小区的用地面积是15000 m2.
（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q＝a( t－4)2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，得
解之，得
∴抛物线段c的函数关系式为 Q＝
( t－4)2+
,即Q＝t2-
t +
, 1≤t≤8.
9、（2006四川资阳）如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
| x | … | -3 | -2 | 1 | 2 | … |
| y | … | - | -4 | - | 0 | … |
(1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：
(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.
解：⑴ 解法一：设
，
任取x,y的三组值代入，求出解析式
，···································· 1分
令y=0，求出
；令x=0，得y=-4，
∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . ···················· 3分
解法二：由抛物线P过点(1，-
)，(-3，
)可知，
抛物线P的对称轴方程为x=-1，···································································· 1分
又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，
点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .····························· 3分
⑵ 由题意，
，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，············ 4分
又 
，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m，···································· 5分
∴SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0＜m＜2) . ········································· 6分
注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.
⑶ ∵SDEFG=12m-6m2 (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .
当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，··· 7分
设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=
，b=-，∴
，
又可求得抛物线P的解析式为：， ······································· 8分
令
=
，可求出x=
. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为
，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
=
=
，······················································ 9分
点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
k≠且k＞0. ····················································································· 10分
说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.
若选择另一问题：
⑵ ∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，································· 4分
又∵
， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，
∴SDEFG=DG·FG=6.
10、（2007山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为
，二次函数
的图象记为抛物线
．
（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：
（任写一个即可）．
（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线
，如图②，求抛物线的函数表达式．
（3）设抛物线的顶点为，
为轴上一点．若
，求点的坐标．
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使
为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．
 |
解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如
，
，
或
，
，
．
（2）设抛物线的函数表达式为
，
点
，
在抛物线上，
解得
抛物线的函数表达式为
．
（3）
，
点的坐标为
．
过
三点分别作轴的垂线，垂足分别为
，
则
，
，
，
，
，
．
．
．
延长
交轴于点
，设直线
的函数表达式为
，
点，在直线上，
解得
直线的函数表达式为
．
点的坐标为
．
设点坐标为
，分两种情况：
若点位于点的上方，则
．连结
．
．
，
，解得
．
点的坐标为
．
若点位于点的下方，则
．
同理可得，
．
点的坐标为
．
（4）作图痕迹如图③所示．
由图③可知，点共有3个可能的位置．
11、（2007浙江省）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。
解：（1）令y=0，解得或（1分）
∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）
将C点的横坐标x=2代入得y=－3，∴C（2，－3）（1分）
∴直线AC的函数解析式是y=－x－1
（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）
E（
（1分）
∵P点在E点的上方，PE=
（2分）
∴当
时，PE的最大值=
（1分）
（3）存在4个这样的点F，分别是