中考数学函数经典试题集锦

中考数学函数经典试题集锦

1、（2006重庆）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A()、B().

(1)　求这个抛物线的解析式；

(2)　设（1）中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线的顶点坐标为）

(3)　P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.

[解析] （1）解方程得

由，有

所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.

将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入.

得解这个方程组，得

所以，抛物线的解析式为

（2）由，令，得

解这个方程，得

所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）.

过D作轴的垂线交轴于M.

则

，

所以，.

（3）设P点的坐标为（）

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为.

那么，PH与直线BC的交点坐标为，

PH与抛物线的交点坐标为.

由题意，得①，即

解这个方程，得或（舍去）

②，即

解这个方程，得或（舍去）

P点的坐标为或.

2、（2006黑龙江鸡西）某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象．根据图象回答下列问题：

　　(1)求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围)；

　　(2)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止?

　　(3)加工完这批工件，机器耗油多少升?

[解析] (1)设所求函数关系式为y=kx+b．

　　由图象可知过(10，100)，(30，80)两点，

　　得

　　解得

∴ y=-x+llO　

　(2)当y=10时，-x+110=10，x=100

机器运行100分钟时，第一个加工过程停止

  (3)第一个加工过程停止后再加满油只需9分钟

　　加工完这批工件，机器耗油166升

3、（2006北京海淀）已知抛物线的部分图象如图1所示。

图1　　　　　　　　　　　　　　 图2

　　（1）求c的取值范围；

　　（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式；

　　（3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小。

[解析] （1）根据图象可知

　　且抛物线与x轴有两个交点

　　所以一元二次方程有两个不等的实数根。

　　所以，且

　　所以

　　（2）因为抛物线经过点（0，-1）

　　把代入

　　得

　　故所求抛物线的解析式为

　　（3）因为反比例函数的图象经过抛物线上的点（1，a）

　　把代入，得

　　把代入，得

　　所以

　　画出的图象如图所示。

　　

　　观察图象，除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为和

　　把和分别代入和可知，

　　和是的两个交点

　　根据图象可知：当或或时，

　　　　　　　　　当时，

　　　　　　　　　当时，

4、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且已知．

（1）设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；

（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．

①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；

②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？

（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，（米）．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为．试求索道的最大悬空高度．

[解析] （1）∵是山坡线AB上任意一点，

∴，，　　　　　　　　　　

∴，　　　　　

∵，∴＝4，∴　　　　　　　

（2）在山坡线AB上，，

①令，得 ；令，得

∴第一级台阶的长度为（百米）（厘米）　　

同理，令、，可得、

∴第二级台阶的长度为（百米）（厘米）　　

第三级台阶的长度为（百米）（厘米）　　

②取点，又取，则

∵

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚　　

（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）

②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图

∵这种台阶的长度不小于它的高度

∴

当其中有一级台阶的长大于它的高时，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在题设图中，作于H

则，又第一级台阶的长大于它的高

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚　　　　

（3）

、、、

由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值

索道在BC上方时，悬空高度

　　　　　　　

当时，

∴索道的最大悬空高度为米．　　　　　　　

5、如图14，抛物线E：交x轴于A、B两点，

交y轴于M点。抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于

C、D两点。

⑴求F的解析式；

⑵在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C

N、M为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求点N坐标；

若不存在，请说明理由；

⑶若将抛物线E的解析式改为，试探索问题⑵。

[解析] 当y=0时，，解得x₁=－3，x₂=－1，

∴A、B点坐标分别为（－3，0）、（－1，0）

当x＝0时，y＝3，∴M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，∴D、C坐标为（3，0）、（1，0）

设F的解析式为

∴a＝1，b＝－4

∴F的解析式为

（2）存在。假设MN∥AC，∴N点的纵坐标为3。

若在抛物线F上，当y=3时，，则x₁=0，x₂=4

∴N点坐标为(4，3)，∴MN=4，

由(1)可求AC=4，∴MN=AC，∴四边形ACNM为平行四边形。

根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(4，3)或(－4，3)

(3) 存在。假设MN∥AC，∴N点的纵坐标为c。设y＝0，∴

∴，

∴A点坐标为(，0)，B点坐标为(，0)

∴C点坐标为(，0)，∴AC=

在抛物线E上，当y=c时，，x₁=0，x₂=

∴N点坐标为(，0)

NM=0－()=，∴NM=AC，∴四边形ACMN为平行四边形。

根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(，c)或(，c)。

6、（2006山东烟台）如图，已知抛物线L₁: y=x²-4的图像与x有交于A、C两点

（1）若抛物线l₂与l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；

（2）若点B是抛物线l₁上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l₂上；

（3）探索：当点B分别位于l₁在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

[解析] （1）设l₂的解析式为y=a(x-h)²+k

∵l₂与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l₁与l₂关于x轴对称，

∴l₂过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）

∴y=ax²+4

 ∴0=4a+4　 得 a=-1

∴l₂的解析式为y=-x²+4

(2)设B(x₁ ,y₁)

　　∵点B在l₁上

　　∴B(x₁ ,x₁²-4)

　　∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

　　∴B、D关于O对称

　　∴D(-x₁ ,-x₁²+4).

　　将D(-x₁ ,-x₁²+4)的坐标代入l₂：y=-x²+4

　　　　  ∴左边=右边

　　　　  ∴点D在l₂上.

(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则

　　S=2*S_△ABC =AC*y₁=4y₁

　　a.当点B在x轴上方时，y₁＞0

　　  ∴S=4y₁ ,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，

　　  ∴S既无最大值也无最小值

　　b.当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0

　　  ∴S=-4y₁ ,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，

　　  ∴当y₁ =-4时，S由最大值16，但他没有最小值

　　  此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.

　　  ∴AC⊥BD

　　  ∴平行四边形ABCD是菱形

　　  此时S_最大=16.

7、（2006吉林长春）某厂生产一种零件，每个成本为40元，销售单价为60元。该厂为了鼓励客户购买，决定当一次购买零件超过100个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低0.02元，但不能低于51元。

（1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为51元？

（2）设一次购买零件x个时，销售单价为y元，求y与x的函数关系式。

（3）当客户一次购买500个零件时，该厂获得的利润是多少？当客户一次购买1000个零碎件时，利润又是多少？（利润 = 售价－成本）

[解析]

（1）设当一次购买x个零件时，销售单价为51元，则

（x－100）×0.02 = 60－51，

解得 x = 550。

答：当一次购买550个零件时，销售单价为51元。　　

（2）当0＜x≤100时，　　 y = 60；

当100＜x≤550时，　 y = 62－0.02x；

当x＞550时，　　　　y = 51。　　　　　　　　　　　　

（3）当x = 500时，利润为

（62－0.02×500）×500－40×500 = 6000（元）。

当x = 1000时，利润为1000×（51－40）= 11000（元）。

答：当一次购买500个零件时，该厂获得利润为6000元；当一次购买1000个零件时，该厂获得利润11000元。　　　　　　　　　　　  　

8、（2006吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。

（1）求点A的坐标。

（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。

（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。

（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。

[解析]

（1）由　　  可得

　　　　∴A（4，4）。　　　　　　

（2）点P在y = x上，OP = t，

则点P坐标为

点Q的纵坐标为，并且点Q在上。

∴，

即点Q坐标为。

。　　　

当时，。

当，

　　　　

当点P到达A点时，，

当时，

　　　　　　　

　。

（3）有最大值，最大值应在中，

当时，S的最大值为12。　　　　

（4）。　　　　　　　　

9、（2006临安）如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.

（1）当A′E//轴时，求点A′和E的坐标；

（2）当A′E//轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与轴的交点的坐标；

（3）　　　 当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.

[解析]（1）由已知可得∠A^，OE=60^o　, A^，E=AE

由A′E//轴,得△OA^，E是直角三角形，

设A^，的坐标为（0，b）

AE=A^，E=,OE=2b

所以b=1，A^，、E的坐标分别是（0，1）与（，1）

（2）　　　　　　　　  因为A^，、E在抛物线上，所以

所以，函数关系式为

由得

与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（，0）

（3）　　　　　　　　  不可能使△A′EF成为直角三角形。

∵∠FA^，E=∠FAE=60^o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A^，EF=90^o或∠A^，FE=90^o

若∠A^，EF=90^o,利用对称性,则∠AEF=90^o, A^，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；

同理若∠A^，FE=90^o也不可能

所以不能使△A′EF成为直角三角形。