中考试题分类汇编--函数综合题
1. 如图，已知点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．
（1）若二次函数y＝－x2－
kx＋（2＋2k－k2）的图象经过A、B两点，求它的解析式；
（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．
解：（1）∵ α，β是Rt△ABC的两个锐角，
∴ tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0．
由题知tanα，tanβ是方程
x2＋kx－（2＋2k－k2）＝0的两个根，
∴ tanx·tanβ＝（2＝2k－k2）＝k2－2k－2，∴ k2－2k－2＝1．
解得，k＝3或k＝－1．
而tanα＋tanβ＝－k＞0，
∴ k＜0．∴ k＝3应舍去，k＝－1．
故所求二次函数的解析式为y＝－x2＋x－1．
（2）不在．
过C作CD⊥AB于D．
令y＝0，得－x2＋x－1＝0，
解得x1＝
，x2＝2．
∴ A（，0），B（2，0），AB＝
．
∴ tanα＝，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝AD．
∴ AD＝2CD．
又CD＝BD·tanβ＝2BD，
∴ BD＝CD．
∴ 2m＋m＝．
∴ m＝
．∴ AD＝
．
∴ C（
，）．
当x＝时，y＝
≠
∴ 点C不在（1）中求出的二次函数的图象上．
2．已知抛物线
经过点
．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线顶点为
，与
轴交点为
．求
的值．
（3）设抛物线与
轴的另一个交点为
，求四边形
的面积．
解：（1）解方程组
得
，
．
（2）顶点
．
（3）在
中，令
得
，
，
令
得
或
，
．
四边形
（面积单位）
3．如图9，抛物线y=ax2+8ax+12a与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点
在第一象限，满足∠ ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.
(1) 求线段OC的长.
(2) 求该抛物线的函数关系式．
(3) 在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？
若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，
请说明理由.
解：（1）
；（2）
；（3）4个点：
4．已知函数y=
和y=kx+l(k≠O)．
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；
(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?
解；(1)
∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴
∴
(2)将y＝
代人y=kx+l，消去y．得kx2+x一2=0．
∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．
∵△＝1＋8k，
∴1+8k≥0，解得k≥一
∴k≥一且k≠0．
5．已知如图，矩形OABC的长OA=
，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。
（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；
（2）若P，A两点在抛物线y=－
x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）30,（
,
）;
（2）∵点P（,），A（
，0）在抛物线上，故 -×
+b× +c=,-×3+b× +c=0, ∴b=,c=1. ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1,C点坐标为（0，1）. ∵-×02+×0+1=1，
∴ 点C在此抛物上.
6.如图，二资助函数
的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.
（1）求二次函数的关系式.
（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.
解：（1）∵M（1，－2），N（－1，6）在二次函数y = x2+bx+c的图象上，
∴
解得
二次函数的关系式为y = x2－4x+1.
（2）Rt△ABC中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4，
解得
∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移
个单位.
7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数
的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S.
（1）求点A的坐标.
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式.
（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________.
解：（1）由
可得
∴A（4，4）。
（2）点P在y = x上，OP = t，
则点P坐标为
点Q的纵坐标为
，并且点Q在
上。
∴
，
即点Q坐标为
。
。
当
时，
。
当
，
当点P到达A点时，
，
当
时，
。
（3）有最大值，最大值应在
中，
当
时，S的最大值为12.
（4）
.
8．已知一次函数y=
+m(O<m≤1)的图象为直线
，直线绕原点O旋转180°后得直线
，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-，-1)、B(，-1)、C(O，2)．
(1)直线AC的解析式为________，直线的解析式为________ (可以含m)；
(2)如图，、分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，当m在其范围内变化时，判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由；
(3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；
(4)若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=x平移时，判断△ABC介于直线，之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由)
解： (1)y=
+2 y=-m
(2)不变的量有：
①四边形四个内角度数不变， 理由略；
②梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略．
(3)S=
0<m≤1 0<s≤
(4)沿y=平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为
，则
0<≤
9． 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)OA=6，OB=12 ，
点C是线段AB的中点，OC=AC.
作CE⊥x轴于点E．
∴ OE=OA=3，CE=OB=6．
∴ 点C的坐标为(3，6).
(2)作DF⊥x轴于点F
△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．
∴ 点D的坐标为(2，4).
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得
，
解得
，
∴ 直线AD的解析式为y=-x+6 .
(3)存在．
Q1(-3，3)；
Q2(3，-3)；
Q3(3，-3) ；
Q4(6，6) .
10. 在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒).
(1)用含t的代数式表示点P的坐标;
(2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.
解:(1)作PM⊥y轴,PN⊥x轴.∵OA=3,OB=4,∴AB=5.
∵PM∥x轴,∴
.∴
.∴PM=
t.
∵PN∥y轴,∴
.∴
.∴PN=3-
t.
∴点P的坐标为(t,3-t).
(2)①当∠POQ=90°时,t=0,△OPQ就是△OAB,为直角三角形.
②当∠OPQ=90°时,△OPN∽△PQN,∴PN2=ON•NQ.(3-t)2=t(4-t-t).
化简,得19t2-34t+15=0.解得t=1或t=
.
③当∠OQP=90°时,N、Q重合.∴4-t=t,∴t=
.
综上所述,当t=0,t=1,t=,t=时,△OPQ为直角三角形.
(3)当t=1或t=时,即∠OPQ=90°时,以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分别为P(,
),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).将P(,)代入上式,得a=-
.∴y=-(x2-3x).
即y=-x2+x.
说明:若选择t=时,点P、Q、O三点的坐标分别是P(
,
),Q(
,0),O(0,0).求得抛物线的解析式为y=-
x2+
x,相应给分.
11．已知：抛物线
（m>0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.
（1）求C点、C′点的坐标（可用含m的代数式表示）
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.
12．抛物线y=3(x-1)
+1的顶点坐标是（ A ）
A．（1，1） B．（-1，1） C．（-1，-1） D．（1，-1）
13．
如图，△OAB是边长为
的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.
（1）当A′E//轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E//轴，且抛物线
经过点A′和E时，求抛物线与轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.
解：（1）由已知可得∠A，OE=60o , A，E=AE
由A′E//轴,得△OA，E是直角三角形，
设A，的坐标为（0，b）
AE=A，E=
,OE=2b
所以b=1，A，、E的坐标分别是（0，1）与（，1）
（2）因为A，、E在抛物线上，所以
所以
，函数关系式为
由
得
与x轴的两个交点坐标分别是（
，0）与（
，0）
（3）不可能使△A′EF成为直角三角形.
∵∠FA，E=∠FAE=60o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A，EF=90o或∠A，FE=90o
若∠A，EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A，FE=90o也不可能
所以不能使△A′EF成为直角三角形.
14.已知抛物线y=x²—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长
度，得到一条新的抛物线.
⑴求平移后的抛物线解析式;
⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;
⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -
个单位长度，试探索问题⑵．
(1)解：
配方，得
，
向左平移4个单位，得
∴平移后得抛物线的解析式为
(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)
解
，得
∴两抛物线的交点为（0，1）
由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时，
m＞－3且m≠1
（3）由
配方得，
向左平移
个单位长度得到抛物线的解析式为
∴两抛物线的顶点坐标分别为
，
解
得，
∴两抛物线的交点为（0，c）
由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：
m＞
且m≠c
15.直线
分别与轴、轴交于B、A两点．
⑴求B、A两点的坐标；
⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平
面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD
求D点的坐标．
解：如图（1）令x=0，由
得 y=1
令y=0，由 得
∴B点的坐标为（，0），A点的坐标为（0，1）
（2）由（1）知OB=，OA=1
∴tan∠OBA=
=
∴∠OBA=30°
∵△ABC和△ABO关于AB成轴对称
∴BC=BO=，∠CBA=∠OBA=30° ∴ ∠CBO=60°
过点C作CM⊥x轴于M，则在Rt△BCM中
CM=BC×sin∠CBO=×sin60°=
BM=BC×cos∠CBO=×cos60°=
∴OM=OB－BM=－=
∴C点坐标为（，）
连结OC
∵OB=CB，∠CBO=60°
∴△BOC为等边三角形
过点C作CE∥x轴，并截取CE=BC则∠BCE=60°
连结BE则△BCE为等边三角形．
作EF⊥x轴于F，则EF= CM=，BF=BM=
OF=OB+BF=+=
∴点E坐标为（，）
∴D点的坐标为（0，0）或（，）
16．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；
(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时，y>0．
 |
解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，
得方程组
解得
∴抛物线的解析式为
顶点坐标为
(2)所画图如图．
(3)由图象可知，当-1<x<4时，y>0．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5，0)，M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°．
(1)求直线CB的解析式：
(2)求点M的坐标；
(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D1MC1(点D1，C1依次与点D，C对应)，射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DE=m，BF=n．
求m与n的函数关系式．
解：(1)过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠CBO=60°，
0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=, BA=BC·cos∠CBO=1．
∴点C的坐标为(4，)．
设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，)，
得
解得
∴直线CB的解析式为y=-x+5．
(2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°，∠CBM=∠DMC=∠DOB=60°
∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3．
∴△ODM∽△BMC．
∴OD·BC=BM·OM．
∵B点为(5，0)，∴OB=5．
设OM=x，则BM=5-x．
∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)．
解得x1=1，x2=4．
∴M点坐标为(1，0)或(4，0)．
(3)(I)当M点坐标为(1，0)时，
如图①，OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO．
又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB．
∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF.
∴CF=2DE．
∵CF=2+n，DE=m，
∴2+n=2m，即m=1+
(0<n<4)．
(Ⅱ)当M点坐标为(4，0)时，如图②．
OM=4,BM=1.
同理可得△DME∽△CMF，
∴DE=2CF.
∵CF=2-n，DE=m，∴m=2(2-n)，即m=4-2n(<n<1)．
18．如图，边长为1的等边三角形OAB的顶点O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，动点D在线段OA上移动(不与O，A重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥OB，垂足为F。点M，N，P，Q分别是线段BE，ED，DF，FB的中点。连接MN，NP，PQ，QM。记OD的长为t .
(1) 当
时，分别求出点D和点E的坐标；
(2) 当时，求直线DE的函数表达式；
(3)如果记四边形MNPQ的面积为S，那么请写出面积S与变量t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由。
19．如图，在
中，
，点
，
在直线
上运动，设
，
．
（1）如果
，
，试确定与之间的函数关系式；
（2）如果
的度数为
，
的度数为
，当
满足怎样的关系式时，（1）中与之间的函数关系式还成立，试说明理由．
解：（1）在中，
，
，
．
又
，
．
又
，
．
．
．
即
，所以
．
（2）当满足关系式
时，函数关系式仍然成立．
此时，
．
又
，
．
又
仍然成立．
从而（1）中函数关系式成立．
20．如图，平面直角坐标系中，四边形
为矩形，点
的坐标分别为
，动点
分别从
同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿
向终点运动，点沿向终点运动，过点作
，交
于
，连结
，已知动点运动了秒．
（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）；
（2）试求
面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；
（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．
解：（1）由题意可知，
，
，
点坐标为
．
（2）设的面积为，在中，
，
边上的高为
，其中
．
．
的最大值为，此时
．
（3）延长
交
于
，则有
．
①若
，
．
，
．
②若
，则
，
．
③若
，则
．
，
在
中，
．
，
．
综上所述，
，或
，或
．
21. （2006·北京市海淀区）已知抛物线
的部分图象如图1所示。
图1 图2
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式；
（3）若反比例函数
的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较
与
的大小.22. 解：（1）根据图象可知
且抛物线与x轴有两个交点
所以一元二次方程
有两个不等的实数根。
所以
，且
所以
（2）因为抛物线经过点（0，-1）
把
代入
得
故所求抛物线的解析式为
（3）因为反比例函数的图象经过抛物线上的点（1，a）
把
代入，得
把
代入，得
所以
画出的图象如图所示.
观察图象，
除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为
和
把
和
分别代入和可知，
和是的两个交点
根据图象可知：当
或
或
时，
当
时，
当
时，
22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）.
（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值.
（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求a＋b＋c的最小值.
解：⑴由题意，a＋b＋c＝2， ∵a＝1，∴b＋c＝1
抛物线顶点为A（－，c－）
设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
∴BC＝ x1－x2＝＝＝
∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝
即b2－4c＝2·，∵b2－4c＞0，∴＝2
∵c＝1－b， ∴b2＋4b－16＝0， b＝－2±2
所求b值为－2±2
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.
∴a＞0．
∵b＋c＝2－a，bc＝
∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的两实根．
∴△＝（2－a）2－4×≥0，
∴a3－4a2＋4a－16≥0, 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.
∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．
①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,
则a＋b＋c＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，
∵ a≥4，故2a－2≥6
当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故a＋b＋c的最小值为6．
23. 已知抛物线与y
轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y=-x+2
并且线段CM的长为
（1） 求抛物线的解析式。
（2） 设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），
且点A在B的左侧，求线段AB的长。
（3） 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线 过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M
在直线CM上，所以
若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M
过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在
所以，
，解得，
。
∴所求抛物线为：
或
以下同下。
（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y）
∵点M在直线
上，∴
由勾股定理得
，∵
∴
=，即
解方程组 
得
∴M（-2，4） 或 M‘ （2，0）
当M（-2，4）时，设抛物线解析式为
，∵抛物线过（0，2）点，
∴
，∴
当M‘（2，0）时，设抛物线解析式为
∵抛物线过（0，2）点，∴
，∴
∴所求抛物线为： 或
（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴不合题意，舍去。
∴抛物线应为：
抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴
，得
（3）∵AB是⊙N的直径，∴r = ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4
设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴
，作NG⊥CM于G，在
= r
即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径，∴直线CM与⊙N相切
24． 已知：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P．
(1)求A、B、P三点坐标；
(2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；
(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.
解：(1)求得A(1，0)，B (3，0)， P (2，1)
(2)作图正确 当1＜x＜3时，y>0
(3)由题意列方程组得：
转化得：x2-6x+9=0
△ ＝0，∴方程的两根相等，
方程组只有一组解
∴此抛物线与直线有唯一的公共点
25． 已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C.
(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；
(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；
(3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式．
解：(1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝
∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠ ，∴△ABO∽△ABC ，∴
，由此可求得：AC＝
方法二：由题意知：tan∠OAB=
(2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝--4′
∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD----6′，即
化简得：y=
，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=
方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。
(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：
，消去y得：x2-4kx-4b=0，则有
，由题设知：
x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=
，当k1=2、b=-1时，
△＝16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，△＝16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1
26．如图，已知抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，与y轴交于点C（0， 3），点P是抛物线的顶点，若m-n= -2，m·n =3．
（1）求抛物线的表达式及P点的坐标；
（2）求△ACP的面积S△ACP．
解： （1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，∵抛物线过C（0，3），∴c=3，
又∵抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，
∴m、n为一元二次方程ax2+bx+3=0的解，
∴m+n=- ，mn=
，
由已知m-n= -2，m·n =3，∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，
∴ 抛物线的表达式为y=x2-4x+3，P点的坐标是（2，1）
（2）由（1）知，抛物线的顶点P（2，-1），过P作PD垂直于y轴于点D，所以，S△BCP =S梯形CBPD-S△CPD=S△COB+ S梯形OBPD- S△CPD，
∵B（3，0），C（0，3），
∴S△BCP
=S△COB+ S梯形OBPD- S△CPD=
×3×3+×1×（3+2）-×2×4=3．
27．已知抛物线
：
（
，
为常数，且
，
）的顶点为，与轴交于点；抛物线
与抛物线关于轴对称，其顶点为
，连接，，
．
注：抛物线
的顶点坐标为
．
（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：________________________；
（2）当
时，判定的形状，并说明理由；
（3）抛物线上是否存在点，使得四边形
为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）
．
（2）当时，为等腰直角三角形．
理由如下：
如图：点与点关于轴对称，点又在轴上，
．
过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作
于．
当时，顶点的坐标为
，
．
又点的坐标为
，
．
．
从而
，
．
由对称性知
，
．
为等腰直角三角形．
（3）假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则
．
由（2）知，
，
．
从而为等边三角形．
．
四边形为菱形，且点在上，点与点关于
对称．
与的交点也为点，因此
．
点
的坐标分别为
，
．
在
中，
．
，
．
故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时
．
28．如图10（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y
.
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x＝2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？
（1）y＝2x2
（2）8；24.5
（3）5秒
29、 如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，
（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；
（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；
（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.
解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
(2)设B(x1 ,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1 ,x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1 ,-x12+4).
将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S△ABC =AC*y1=4y1
a.当点B在x轴上方时，y1＞0
∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0
∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，
∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.9分
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16.
30.已知关于x的二次函数
与
，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A, B两个不同的点．
(l）试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点；
(2）若A点坐标为（-1, 0)，试求B点坐标；
(3）在（2）的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
解：(l）对于关于x的二次函数y =
由于△＝(-m )
2-4×l×
=-m2-2<0,
所以此函数的图象与x轴没有交点
对于关于x的二次函数 y =
.
由于△＝(-m ) 2-4
×l×
=-m2-2<0,
所以此函数的图象与x轴没有交点
对于关于x的二次函数
由于
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.
故图象经过A、B两点的二次函数为
(2 )将A(-1,0)代入，得
=0.
整理，得m2-2m = 0 .
解之，得m=0，或m = 2．
当m =0时，y＝x2-1．令y = 0，得x2-1 = 0.
解这个方程，得x1=-1，x2=1
此时，B点的坐标是B (l, 0)．
当m=2时，y=x2-2x-3.令y=0，得x2-2x-3=0.
解这个方程，得x1=-1，x2=3
此时，B点的坐标是B（3，0）.
(3) 当m =0时，二次函数为y＝x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值 y 随：的增大而减小．
当m=2时，二次函数为y = x2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小.
31．如图1，已知直线
与抛物线
交于两点．
（1）求两点的坐标；
（2）求线段的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
 |
解：（1）解：依题意得
解之得
（2）作的垂直平分线交轴，轴于
两点，交于（如图1）
由（1）可知：
过作
轴，为垂足
由
，得：
，
同理：
设
的解析式为
的垂直平分线的解析式为：
．
（3）若存在点使
的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线
上，并设该直线与轴，轴交于
两点（如图2）．
抛物线与直线只有一个交点，
，
在直线
中，
设
到
的距离为
，
到的距离等于到的距离．
32.已知：
是方程
的两个实数根，且
，抛物线
的图像经过点A(
)、B(
).
(1) 求这个抛物线的解析式；
(2)
设（1）中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线
的顶点坐标为（
）
(3) 
P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.
解：（1）解方程
得
由，有
所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.
将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入.
得
解这个方程组，得
所以，抛物线的解析式为
（2）由，令，得
解这个方程，得
所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）.
过D作轴的垂线交轴于M.
则
，
所以，
.
（3）设P点的坐标为（
）
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为
.
那么，PH与直线BC的交点坐标为
，
PH与抛物线的交点坐标为
.
由题意，得①
，即
解这个方程，得
或
（舍去）
②
，即
解这个方程，得
或（舍去）
P点的坐标为
或
.
33．已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数
的图象与二次函数的图象交于
两点（在的左侧），且点坐标为
．平行于轴的直线
过
点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移
个单位，再向下平移
个单位
，二次函数的图象与轴交于
两点，一次函数图象交轴于
点．当为何值时，过
三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
解：（1）把
代入得
，
一次函数的解析式为
；
二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，
设二次函数解析式为
，
把代入得
，
二次函数解析式为
．
|
解得
或
，
，
过点分别作直线的垂线，垂足为
，
则
，
直角梯形
的中位线长为
，
过作
垂直于直线
于点
，则
，
，
，
的长等于中点到直线的距离的2倍，
以为直径的圆与直线相切．
（3）平移后二次函数解析式为
，
令，得
，
，
，
过
三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，
要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，
此时，半径为2，面积为
，
设圆心为
中点为，连
，则
，
在三角形
中，
，
，而
，
，
当
时，过三点的圆面积最小，最小面积为．