（34）课题学习
〖考试内容〗
课题的提出，数学模型，问题解决.
数学知识的应用，研究问题的方法.
〖考试要求〗
①经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程.
②体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识.
③获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.
〖考点复习〗
[例1] 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图①所示）：
(1)在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;
(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=
;
(3)量出测倾器的高度AC=
.
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.
如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图②）的方案：
(1)在图②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当字母）；
(2)写出你设计的方案.
[例2]我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺(镶嵌)。我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为3600时，就能够拼成一个平面图形。某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得600×x＋1200×y＝3600，化简得x＋2y＝6。因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图⑴、⑵、⑶。
①请你依照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图⑷中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图(只要画出一种图形即可)；
②如用形状、大小相同的如图⑸方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图。
〖考题训练〗
1．如图，一张边长为16㎝的正方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为x㎝的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体，设长方体的容积为V㎝3，
请回答下列问题：
（1）若用含有X的代数式表示V，则V=
（2）完成下表：
| x(㎝) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| V(㎝3) | 196 | 288 | 180 | 96 | 28 |
(3) 观察上表，容积V的值是否随x值得增大而增大？当x取什么值时，容积V的值最大？
解：
2．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
3．我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分。（如下图1）
 |
探索下列问题：
（1）在图2给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
 |
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2.
①请你在图3中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）；
 |
②请你在图4中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”，“=”，“>”连接）.
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图 形（如图5）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由.
 |
4右图为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.
要求：(1)画出你设计的测量平面图;
(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用
…表示;角度用
…表示);
(3)根据你测量的数据,计算A、B两棵树间的距离.
①．一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形 且有一个内角为60o的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案．某同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有（ ）
(A) 2种 (B) 3种 (C) 4种 (D) 5种
②．如图1，A、B两点被池塘隔开，为测量AB两点的距离，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN＝20m，那么AB＝2×20m＝40m。
（1）测AB距离也可由图2所示用三角形相似知识来解决，请根据题意填空：延长AC到D，使CD＝
AC，延长BC到E，使CE＝________，则由相似三角形得，AB=_______.
（2）测AB距离还可由三角形全等的知识来设计测量方案，求出AB的长，请用上面类似的方法，在图3中画出图形，并叙述你的测量方案。
 |
③．李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘，如图，鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树。现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（即四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）。
（1）若按圆形设计，画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积；
（2）若按正方形设计，画出你所设计的正方形鱼塘示意图；
（3）你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？
（4）李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？