（15）二次函数
考试内容〗
二次函数及其图象，一元二次方程的近似解.
〖考试要求〗
①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.
②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.
③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求推导和记忆），并能解决简单的实际问题.
④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
〖考点复习〗
1．二次函数的对称轴及顶点
[例1]二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=_______.
[例2]已知抛物线的解析式为y＝(x－2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ）
A、(－2,1) B、(2，1) C、(2，－1) D、(1，2)
2．二次函数的图象及性质
[例3]已知二次函数
的图象如右图所示，则a、b、c满足（ ）
A、a＜0,b＜0,c＞0 B、a＜0,b＜0, c＜0
C、a＜0,b＞0,c＞0 D、 a＞0,b＜0,c＞0
[例4]二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）
A、
B、
C、
D、
[例5]已知抛物线
的部分图象（如图），图象再次与x轴相交时的坐标是（ ）
A、（5，0） B、（6，0）
C、（7，0） D、（8，0）
3．二次函数表达式
[例6] 已知二次函数
的图象经过点A（－3，－6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点D为线段OC上一点，且∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；
说明：若（2）你经历反复探索没有获得解题思路，请你在不改变点D的位置的情况下添加一个条件解答此题，此时（2）最高得分为3分。
[例7]已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x2＞x1），
（1） 若点P（－1，2）在抛物线y＝x2－2x＋m上，求m的值；
（2）若抛物线y＝ax2＋bx＋m与抛物线y＝x2－2x＋m关于y轴对称，点Q1（－2，q1）、Q2（－3，q2）都在抛物线y＝ax2＋bx＋m上，则q1、q2的大小关系是
（请将结论写在横线上，不要写解答过程；友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）
（3）设抛物线y＝x2－2x＋m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值.
4．二次函数的运用
[例8] 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元。设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米。
（1）求y与x之间的关系式。
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。
〖考题训练〗
1．已知抛物线
的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x= ,满足y＜0的x的取值范围是 ,
将抛物线
向
平移
个单位,则得到抛物线
.
2．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m
满足函数关系
（0＜x＜24＝，则该矩形面积的最大值为_______ m．
3．下列四个函数：
① 
② 
③ 
④ 
其中，函数y的值随着x值得增大而减少的是
A、① B、② C、③ D、④
4．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·
5．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：① a+b+c<0；② a-b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0 . 其中所有正确结论的序号是
A、 ③④ B、②③ C、①④ D、 ①②③
6．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数
的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图5），点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.
7．如图，一次函数
的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，
），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D.
（1）试确定这个一次函数关系式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式.
8．已知二次函数
的图象经过点A（C,-2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.
题目中的矩形框部分是一段被墨水染污了无法辩认的文字.
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象；若不能，请说明理由.
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整.
9．某产品每件成本10元, 试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x(元)的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
10．已知抛物线
的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.
（1）求a的取值范围；
（2）若OA=2OB，求抛物线的解析式．
11．如图12，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？
12．抛物线y＝ax2＋(b－1)x＋2.
（1）若抛物线经过点（1,4）、（－1,－2）, 求此抛物线的解析式;
（2） 若此抛物线与直线y＝x有两个不同的交点P、Q,且点P、Q关于原点对称.
① 求b的值;
② 请在横线上填上一个符合条件的a的值： a ＝ ,并在此条件下画出该函数的图象.
（15）二次函数
考试内容〗
二次函数及其图象，一元二次方程的近似解.
〖考试要求〗
①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.
②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.
③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求推导和记忆），并能解决简单的实际问题.
④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
〖考点复习〗
1．二次函数的对称轴及顶点
[例1] 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=_______.
[例2] 已知抛物线的解析式为y＝(x－2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ）
A、(－2,1) B、(2，1) C、(2，－1) D、(1，2)
2．二次函数的图象及性质
[例3] 已知二次函数的图象如右图所示，则a、b、c满足（ ）
A、a＜0,b＜0,c＞0 B、a＜0,b＜0, c＜0
C、a＜0,b＞0,c＞0 D、 a＞0,b＜0,c＞0
[例4]二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）
A、 B、
C、 D、
[例5]已知抛物线的部分图象（如图），图象再次与x轴相交时的坐标是（ ）
A、（5，0） B、（6，0）
C、（7，0） D、（8，0）
3．二次函数表达式
[例6]已知二次函数的图象经过点A（－3，－6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点D为线段OC上一点，且∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；
说明：若（2）你经历反复探索没有获得解题思路，请你在不改变点D的位置的情况下添加一个条件解答此题，此时（2）最高得分为3分。
[例7已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x2＞x1），
（1） 若点P（－1，2）在抛物线y＝x2－2x＋m上，求m的值；
（2）若抛物线y＝ax2＋bx＋m与抛物线y＝x2－2x＋m关于y轴对称，点Q1（－2，q1）、Q2（－3，q2）都在抛物线y＝ax2＋bx＋m上，则q1、q2的大小关系是
（请将结论写在横线上，不要写解答过程；友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）
（3）设抛物线y＝x2－2x＋m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值.
4．二次函数的运用
[例8] 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元。设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米。
（1）求y与x之间的关系式。
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。
〖考题训练〗
1．已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x= ,满足y＜0的x的取值范围是 ,
将抛物线向
平移
个单位,则得到抛物线.
2．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m满足函数关系（0＜x＜24＝，则该矩形面积的最大值为_______ m．
3．下列四个函数：
①
②
③
④
其中，函数y的值随着x值得增大而减少的是
A、① B、② C、③ D、④
4．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·
5．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：① a+b+c<0；② a-b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0 . 其中所有正确结论的序号是
A、 ③④ B、②③ C、①④ D、 ①②③
6．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图5），点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.
7．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D.
（1）试确定这个一次函数关系式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式.
8．已知二次函数的图象经过点A（C,-2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.
题目中的矩形框部分是一段被墨水染污了无法辩认的文字.
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象；若不能，请说明理由.
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整.
9．某产品每件成本10元, 试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
| x(元) | 15 | 20 | 30 | … |
| y(件) | 25 | 20 | 10 | … |
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x(元)的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
10．已知抛物线的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.
（1）求a的取值范围；
（2）若OA=2OB，求抛物线的解析式．
11．如图12，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？
12．抛物线y＝ax2＋(b－1)x＋2.
（1）若抛物线经过点（1,4）、（－1,－2）, 求此抛物线的解析式;
（2） 若此抛物线与直线y＝x有两个不同的交点P、Q,且点P、Q关于原点对称.
① 求b的值;
② 请在横线上填上一个符合条件的a的值： a ＝ ,并在此条件下画出该函数的图象.
〖课后作业〗
（15）二次函数
1．抛物线y=
4(x+2)2+5的对称轴是______.
2．把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=20t-5t2.当h=20时，小球的运动时间为
A、20s B、2s
C、
D、
3．如果反比例函数
的图象如图4所示，那么二次函数y = kx2－k2x－1的图象大致为( )
2．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 （ ）
A、-2 B、2 C、-1 D、1
3抛物线
的一部分如图所示，该抛物线在
轴右侧部分与
轴交点的坐标是（ ）
A、(
，0)
B、（1，0）
C、（2，0）
D、（3，0）
4．如果将二次函数
的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是
4．目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图-1），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为85米.
（1）在所给的直角坐标系中（如图-2），假设抛物线的表达式为y= ax2+b，请你根据上述数据求出a、b的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a、b的值保留两个有效数字）.
（2）七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小 .当水位上涨 4 m 时，位于水面上的桥拱跨度有多大？（结果保留整数）.
5．(本题6分)小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30º、45º、60º方向推了三次。铅球推出后沿抛物线形运动。如图，小明推铅球时的出手点距地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表：
| 推铅球的方向 与水平线的夹角 | 30º | 45º | 60º |
| 铅球运行所得到 的抛物线解析式 | y1＝ －0.06(x－3)2＋2.5 | y2＝ ___(x－4)2＋3.6 | y3＝ －0.22(x－3)2＋4 |
| 估测铅球在最 高点的坐标 | P1(3，2.5) | P2 (4，3.6) | P3(3，4) |
| 球落点到小明站立处的水平距离 | 9.5m | _________m | 7.3m |
⑴请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上；
⑵请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议。
6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.
(1)如果增加
台机器，每天的生产总量为
个，请你写出与之间的关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？