中考数学方程（组）与不等式（组）-中考数学试题、初中数学中考试卷、模拟题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载

中考数学方程（组）与不等式（组）复习

知识点拨

1．理解方程（组）的解、解方程（组）和各种方程（组）的概念，能从定义判断方程（组）的各种类型．

2．能熟练地解各种类型的方程（组）；理解解方程（组）的实质就是化高次为低次，化多元为一元，化分式为整式；掌握解方程（组）的各种方法，如代入消元法、加减消元法、配方法、公式法、因式分解法、换元降次法和去分母法等；体会数学的转化思想在解方程（组）中的作用．

3．能根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况，反之，能依据一元二次方程根的情况，确定一元二次方程待定系数的取值范围．

4．掌握一元二次方程根与系数的关系定理，并能灵活运用这一定理解决问题．

5．会运用不等式的三条基本性质熟练地解一元一次不等式（组），并能借助数轴确定不等式（组）的解集；会求一元一次不等式（组）的整数解、非负整数解等特解问题．

6．能从现实生活和社会热点问题中寻找等量或不等关系建立方程（组）或不等式（组），以解决方程（组）或不等式（组）的应用问题．

考点导析

方程与方程组始终是中考命题的重点内容之一，中考数学试卷中涉及到的考点主要有方程（组）的解法；一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；利用方程（组）解决实际问题．本部分的内容的考查形式多种多样，在填空题、选择题和解答题中均有体现，应引起我们的广泛关注．而不等式和不等式组的有关内容也是中考的必考内容，主要考查不等式的性质和不等式（组）的解法与应用，常常以数形结合和分类讨论的形式呈现．

典题释解

例1 （1）以x＝1为根的一元一次方程是　　　　　　　．（只需填写一个满足方程的条件即可）

（2）在后面的横线上，写出一个以为解的二元一次方程组：　　　　　　　．

分析：此两题以发散的形式考查方程（组）的概念和方程（组）解的定义，它们的答案均不唯一．（1）可以先列一个含“1”的等式，然后用x替换1，即可得到解为x＝1的方程；（2）列两个含有0和7的等式，然后用x和y分别代换0和7，并将它们联立起来，即可得到一个解为的方程组．

解：（1）∵7×1＋2＝9，∴以x＝1为根的一个一元一次方程是7x＋2＝9．

　（2）∵∴以为解的一个二元一次方程组是

反思：发散、开放型的试题，不仅可以考查性质、公式、法则和原理等，还可以用在考查对概念的理解和掌握上．现在的数学学习虽然淡化死记硬背概念，但是并不是不要概念，而是要求理解它，并能运用它解决一些问题．此两道题目就是考查学生是否理解概念的典型试题，我们要学会举一反三，并能运用到解决其他概念的试题之中．

例2　下列方程中，关于x的一元二次方程是　　　　　　　　　　（　　）
　　A．　　　　　 B．；
　　C．　　　　　　 D．

分析：由A化简得，这是一个一元二次方程；B是分式方程；C中要注意a≠0的条件，此方程不一定是一元二次方程；D化简后是一元一次方程．故应选A．

反思：本题是考查一元二次方程的概念．它需要我们必须对对各种方程的概念真正的理解，而不是停留在形式上．

例3　如果二次三项式x²－ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a可取　　　（只需填写一个你认为正确的答案即可）．

分析：本题属于开放性试题．解答时可根据根与系数的关系定理，先将15分解为15＝15×1＝3×5＝（－3）×（－5）＝（－15）×（－1），然后得到a＝15＋1＝16，或a＝3＋5＝8，或a＝（－3）＋（－5）＝－8，或a＝（－15）＋（－1）＝－16，选其中一个结果填写即可．

反思：若让学生分解x²－8x+15，则学生易得到（x－3）（x－5），且考查面单一；若将8用字母a代替，同时给出x²－ax+15在整数范围内可以分解因式的条件，此题就变成了探索a的取值的开放性试题，增加了考查学生思维能力的含量．

例4　若关于x的一元二次方程的两实数根的平方和为2，求m的值．

解：设方程的两实数根分别为x₁，x₂，那么x₁＋x₂＝m＋1，x₁x₂＝m＋4．

　　∴=2，即m²＝9．

解得m＝3．

答：m的值是3．

请你把上述解答过程中的错误或不完整之处，写在横线上，并给出正确解答．

答：错误或不完整之处有　　　　　　　　　　　　　　　　　．

分析：解答过程中，在运用根与系数的关系定理时，忽视了一元二次方程有根的前提条件：△>0．题中的解答正是错在这一问题上，因此，错误或不完整之处有1 x₁＋x₂＝m＋1；2 m＝3；3没有用判别式判定方程有无实根．

解：设方程的两实数根分别为x₁，x₂，那么x₁＋x₂＝－（m＋1），x₁x₂＝m＋4．

　　∴＝2，

∴m²＝9，解得m＝±3．

当m＝3时，△＝16－28＜0，此时方程无实根，故舍去m＝3．

当m＝－3时，△＝4－4＝0，　∴m＝－3．

　　答：m的值是－3．

反思：这是一道查找解题过程是否错误的阅读理解题．命题者有意设计的错解过程，抓住了学生容易产出的思维漏洞进行考查，这也是命题的一个方向，应引起我们在复习时的重视，特别是要在那些容易产生疏忽的地方上狠下功夫．

例5　解方程：．

分析：解分式方程的关键是把分式方程转化成整式方程，利用整式方程的解法来求解．这样求得的整式方程的解有时与原分式方程的解相同，有时不同，因此解分式方程时，一定要验根．

解：原方程两边都乘以(2x－1)，得

　　　　　　　　　．

解这个整式方程，得

　　　　　　　　　　．

经检验，是原方程的解．　　

反思：一般情况下，解可化为一元一次方程的分式方程和解一元一次方程的步骤是一样的，即都要经历去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化1和检验的过程．所不同的是：一元一次方程的检验过程无需在卷面上呈现出来，而分式方程的检验过程必须书写出来，因为分式方程有可能产生增根．另外要注意：解方程时，一定要根据方程的特点灵活书写解方程的过程，不要过于拘泥于解方程的一般步骤．

例6　已知　是关于x，y的二元一次方程组　的解，且，求a的值．

分析：这道题中，方程组的解是字母，而不是具体的数．应把b，c代入方程组中，本着消元思想，化简求值．

解：将　代入　得，　　　　　　

(1)＋(2)，得．

解关于b，c的二元一次方程组　得，　

把代入(1)，得

　　　　　　．

反思：此题是一个以二元一次方程组为载体，考查学生运用待定系数法，解二元一次方程组和化简求值的综合能力．只有熟练掌握这些方法和技能，我们才有可能灵活运用这些知识解决一些综合问题．

例7 如果a＞b，那么下列结论中，错误的是　　　　　　　　（　　）

　　 A． a―3＞b―3　　B． 3a＞3b　　　C．＞　　 D．－a＞－b

分析：利用不等式的基本性质（1）可知A正确；利用基本性质（2）可知B，C正确；利用基本性质（3）可知D错误．故应选D．

反思：考查对不等式性质的理解掌握情况．不等式的性质是解不等式的关键，只有理解了不等式的性质才能正确求出不等式（组）的解集和解决与不等式有关的一些问题．

例8　分别解不等式和，再根据它们的解集写出x与y的大小关系．

分析：分别解两个不等式后，再根据它们解集的情况确定出x与y的大小关系．

解：不等式的解集为；

不等式的解集为．　

．

反思：解不等式的步骤和解一元一次方程的步骤基本相同，但是要特别注意：再将不等式的未知数的系数化1时，如果系数是负数，一定要改变不等号的方向．

例9　已知：关于x，y的方程组的解满足求k的取值范围并在数轴上表示此来．

分析：首先通过解方程组把x，y用含有k的代数式表示此来，然后将转化为关于k的不等式组，解此不等式组即可求出k的取值范围．

解：由　解得

第9题

0　　　　　　　　　 1

　　∵　∴　解得

k的取值范围在数轴上表示如图所示．

反思：本题主要考查学生解含有字母系数二元一次方程组，解不等式组和数形结合的能力．要理解不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分，并常常借助于数轴以确定其解集．在数轴上表示不等式（组）的解集时，要注意两点：1区分实心圆点和空心圆圈的含义；2大于某数的点或小于某数的点在数轴上表示的方向．

例10　国泰玩具厂工人的工作时间：每月25天，每天8小时．待遇：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资100元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品，可得报酬0.75元，每生产一件B种产品，可得报酬1.40元．下表记录了工人小李的工作情况：

生产A种产品件数(件)	生产B种产品件数(件)	总时间(分)
l	1	35
3	2	85

根据上表提供的信息，请回答下列问题：

（1）小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品，分别需要多少分钟？

（2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？

分析：本题考查学生对实际问题的分析、抽象、概括和计算和能力；考查学生的数学建模（方程（组）和函数模型）能力．

解：（1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟,根据题意，得　解得

答：小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要15分钟和20分钟．

（2）∵月工资额＝福利工资＋月生产量×每件报酬，

∴小李全部生产A种产品，则月工资数目为100＋25×8×60÷15×0.75＝700（元）；若他全部生产B种产品，则月工资数目为100＋25×8×60÷20×1.40＝940（元）．

　 ∴小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元．

反思：解决实际问题时可以有多种的途径和方法．如本例的第（2）小题也可以用一次函数的性质和不等式的取值范围求得．具体做法如下：

设小李每月生产A种产品m件，B种产品n件(m、n均为非负整数)，月工资数目为w

元，根据题意，得

,　即

由于－0.3＜0，因此当m＝0时，w_最大＝－0.3×0＋940＝940；当m＝800时，

w_最小＝－0.3×800＋940＝700．

　∵生产各种产品的数目没有限制， ∴700≤w≤940．　　

　即小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元．

例11　某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100％，那么销售这种台灯每月要获利10 000元，台灯的售价应定为多少元？

分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x－30)和 (600－10x)的积．

解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得

　　(40＋x－30) (600－10x)=10 000．

　　即．

解得．

所以每个台灯的售价应定为50元或80元．

当台灯售价定为80元时，销售利润率为，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为，符合要求．

答：每个台灯售价应是50元．

反思：用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择．

巩固提高

一、填空题

1．已知x＝3是方程的解，则a=　　　．

2．若代数式和的值互为相反数，则x=　　　　．

3．写出一个以为解的二元一次方程组　　　　　　　　．

4．已知方程，用含的代数式表示y为：y=　　　　　　　；用含y的代数式表示x为：x=　　　　　　　；当x=2时，y=　　　　　．

5．已知一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为　　　．

6．若x₁、x₂是方程的两根，则等于　　　　．

7．如果分式的值为0，那么x＝　　　．

8．在不等式＞的解集中，最大的整数是　　　．

9．某商品的进价是500元，标价为750元．商店要求利润率不低于5％，那么售货员可打折的范围是　　　　．

10．当m=　　　　时，分式方程会产生增根．

11．已知关于x的不等式组　无解，则a的取值范围是　　　　．

12．若是方程组的一个解，则这个方程组的另一个解是　　　　　　．

13．有甲、乙两个工程队，甲队32人，乙队28人．现从乙队抽调x人到甲队，使甲队人数是乙队人数的2倍，则x=　　　．

14．某书店在促销活动中，推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．有一次李明同学到该书店购书结账时，他先买购书卡，再凭卡付款，结果节省了人民币12元，那么李明同学此次购书的总价值是人民币　　　　元．

15．某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在部抽调资金和利润（即将第一年获得利润也作为生产资金）的前提下继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%，如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，那么所列方程为　　　　　　　　．

二、选择题

1．若代数式的值为2，则a的值是　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．0　　　　 B．2　　　　　 C．3　　　　　 D．4

2．已知关于的不等式＞的解集如图所示，则a的值

第2题

等于　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．0　　　　 B．1　　　　　 C．－1　　　　 D．2

3．若方程组的解是，那么a、b的值是　　　　　　　　（　　）

A．　　 B．　　 C．　 D．

4．某服装商同时以180元的价钱卖出两件衣服，其中一件盈利20％，另一件亏损20％．就这两件衣服来说，服装商　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．不赔不赚　　 B．赚15元　　　C．赔15元　　　　C．赚14元

5．一元二次方程，用配方法解该方程，配方后方程是　　　　　　　　（　　　）

A．　　　　　　　　 B．　　

C．　　　　　　　　 D．

6．下列方程中，有两个相等的实数根的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）

A．　　　　　　　　　 B．　

C．　　　　　　　 D．

7．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（　）

A．　　　　　　　 B．　　

C．　　　　　　　 D．

8．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行使距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计算）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元．设此人从甲地到乙地经过路程是x千米．那么x的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．11　　　　　 B．8　　　　　 C．7　　　　　　 D．5

9．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低.某品牌电脑按原售价降低m元，又降价20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为　　　　　　　　　　　　（　　）

A．元　　　B．元　　 C．元　　　D．元

10．一列客车已晚点6分钟，如果每小时加快10km,那么继续行使20km便可正点到达，如果设客车原来每小时行驶xkm,那么所列的方程是　　　　　　　　　（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

三、解答题：

1．已知x＝6是关于x的方程的解，求代数式的值．

2．已知关于x，y的方程组　和　有相同的解，求m和n的值．

3．解下列不等式（组），并把它们的解集分别在数轴上表示出来．

　（1）；　　　　　（2）

4．已知关于x的方程x²－2（m＋1）x＋m²＝0．

　（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

　（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．

5．阅读并完成下列问题：

方程的解是，；方程的解是，.

（1）观察上述方程及它们的解，猜想关于x的方程：

①的解是　　　　　　　　　　；

②的解是　　　　　　　　　　　 .

（2）把关于x的方程变形为方程①的形式，并指出它的解．

6．某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

7．某商店新进一批商品，每件进价为21元．若每件商品的售价为x元，则每天可卖出

(350－10x)件，但物价部门限定每件商品加价不得超过进价的20％．商店卖这种商品每天要赚400元，需要卖出多少件？每件商品的售价应是多少元？

8．为了改善城乡人民生产、生活环境，某市投入大量资金，治理市郊河流的污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂，设库池中存有待处理的污水吨，又从城区流入库池的污水按每小时吨的固定流量增加．如果同时开动2台机组需30小时处理完污水；同时开动4台机组需10小时处理完污水．.若要求5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？

答案与提示

一、1．；2．7；3．（不唯一）；4．；5．6；6．－7；

7．－2； 8．－2；9．不低于七折；10． 2；11．；12．13．8；14．160；15．．

二、1．B； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．A； 7．D； 8．B； 9．C； 10．B．

三、1．16．　　2．m＝－1，n＝1．　　 3．（1）；（2）．

4．解：（1）∵△＝[－2(m＋1)]²－4m²＝4(m²＋2m＋1)－4m²＝4(2m＋1)<0． ∴m<－．

当m<－时，原方程没有实数根；

　　（2）取m=1时，原方程为x²－4x＋1=0．设此方程的两实数根为x₁，x₂，

则x₁＋x₂＝4， x₁·x₂＝1．

　　　　　 ∴x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝4²－2×1＝14．（m取其它符合要求的值均可）

5．（1） ① ；②；

（2）∵，

∴方程可变形为：，　 ∴它的解是：．

6．设第二次购书x本，根据题意得：

，　解得：．

当时，每本书的批发价为3元，高于书的定价，不合题意，舍去．

．即该老板第二次售书赚了1.2元．

7．解：设每件商品的售价为x元，根据题意得：．

　　解得：（不合题意，舍去）．，

　　即需卖出100件，每件商品的售价为25元．

8．解：设1台机组每小时处理污水v吨，要在5小时内处理完污水，至少需开动x台机组，根据题意，得

由1和2得　代入3得．

答：要在5小时内处理完污水，至少需同时开动7台机组．

方程（组）与不等式（组）单元检测试题

一、填空题

1．若代数式的值等于，则x＝　　　．

2．方程与方程（a是常数）有相同的解，则a的值是　　　．

3．已知二元一次方程组　的解满足，则m的值为　　　．

4．满足不等式≤的负整数解是　　　　　　．

5．已知是方程的解，那么不等式的解集是　　　 .

6．若二次三项式是一个完全平方式，则k＝　　　　 .

7．已知方程的一个根为，比另一根小4，则、k的值分别为　　　．

8．若a、b、c是△ABC的三条边长，那么方程的根的情况是　　　．

9．某种商品经过两次降价，使价格降低了19％，则平均每次降价的百分数为　　．

10．若代数式的值为4，则x的取值是　　　　．

11．已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O，且AO、BO的长分别是关于x的方

的两根，则m等于　　　　　．

12．某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过的部分每立方米按2元收费．如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米1.5元，那么这户居民这个月共用了　　　　立方米的水．

二、选择题

1．与方程有相同解的方程是　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．　　　　　　　　　　　 B．

　　C．　　　　　　　　　　　　 D．

2．若是方程组的解，则的值为　　　　（　　）

　　A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．16

3．如果关于x的方程的解不是负值，则a、b的关系是　　　（　　）

　　A．a＞　　　　B．b≥　　　 C．5a≥3b　　　　 D．5a=3b

4．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的根，则第三边的长

为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．6　　　B．11　　　　C．6或11　　　　　 D．7

5．关于x的方程的一个根为0，一个根不为0，则m，n满足　（　　）

　　A．　　　　　　　　　　　 B．

　　C．　　　　　　　　　　　 D．

6．以为根的一元二次方程为　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．　　　　　　　　　 B．

　　C．　　　　　　　　　 D．

7．关于方程的解，下列判断正确的是　　　　　　　　　　（　　）

　　A．有无数个解　　 B．有两个解　　　 C．有唯一解　　　D．无解

8．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．4种　　　　　 B．6种　　　　 C．8种　　　　 D．10种

9．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件成本价是　　　　　（　　）

A．120元　　　　 B．125元　　　 C．135元　　　 D．140元

10．某村有一块面积为58公顷的土地，现计划将其中的土地开辟为茶园，其余的土地种粮食和蔬菜.已知种粮食的土地面积是种蔬菜的土地面积的4倍，若设种粮食x公顷，种蔬菜y公顷，则下列方程中正确的是　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　

C．　　　　　　　 D．

三、解答题

1．解方程

　（1）；　　　　（2）．

2．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．

　（1）；　　　　（2）

3．关于x的方程的解是非负数，求m的取值范围．

4．已知关于x的方程有两个不相等的实数根、．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由

5．（1）已知，如下表所示，方程1，方程2，方程3，……是按照一定规律排列的一列方程.解方程1，并将它的解填在表中的空白处：

序号	方　程	方　程　的　解
1
2		4	6
3		5
…	…	…	…

（2）若方程（a＞b）的解是，，求a、b的值.该方程是不是（1）中所给出的一列方程中一个方程？如果是，它是第几个方程？

（3）请求出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程．

6．为了庆祝我国足球队首次进入世界杯，曙光体育器材厂赠送一批足球给希望小学足球队，若足球队每人领一个，则少6个球，每两人领一个，则余6个球．问这批足球共有多少个？小明领到足球后十分高兴，就仔细的研究足球上的黑白块，结果发现，黑块呈五边形，白块呈六边形，黑白相间在球体上，黑块共12块，问白块共有多少块？

7．某校组织甲、乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动.若甲班做2小时，乙班做3小时，则恰好完成全部工作的一半；若甲班先做2小时后另有任务，剩下工作有乙班单独完成，则以班所用时间恰好比甲班单独完成全部工作的时间多1小时.问单独完成这项工作，甲、乙两班各需多少时间？

8．个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；（2）稿费高于800元而不高于4000元，缴纳超过800元部分稿费的14％；（3）稿费超过4000元的，缴纳全部稿费的11％．张老师得到一笔稿费，缴纳个人所得税420元，问张老师的这笔稿费是多少元？

9．我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期启运，经与某物资公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完，用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.

（1）已知B型汽车比A型汽车每辆车可多装15台，求A、B两种型号的汽车各装计算机多少台？

（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元，若运送这批计算机同时用这两种型号的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A、B两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？

方程（组）与不等式（组）单元检测试题答案

一．1．1； 2．；　3．3； 4．－3，－2，－1；　5．； 6．2；　7．0，4，0；8．有两个不相等的实数根；9．10％； 10．； 11．－3； 12．32．

二．1．B；2．C；3．C；4．A；5．C；6．A；7．D；8．B；9．B；10．D．

三．1．（1）x＝1；（2）．

2．（1）；（2）．解集在数轴上表示略．

3．解：∵，∴．∵x≥0，∴≥0，即．

4．（1）k＜且k≠0；（2）不存在．若存在，则由原方程两个实数根互为相反数可得：，解得．此时k的值不满足△＞0的条件，所以不存在这样的k值．

5．（1）3，4，8；（2）a＝12，b＝5；该方程是（1）中所给出的一列方程中的第4个方程；

（3）第n个方程为：，它的解为．

6．（1）设这批足球共有x个，根据题意，得，解得x=18．

（2）设白皮共有x块，则白皮共有6x条边，因为每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮有3x条边，所以，解得：．

7．解：设单独完成这项工作，甲班需要x小时，乙班需要y小时，根据题意，得：

　　　　　整理得．解得，

　　　 ∴或(不合题意，舍去)．

　答：单独完成这项工作，甲班需要8小时，乙班需要12小时．

8．解：∵（4000－800）×14％＝448＞420．

∴ 设张老师的这笔稿费为x元，则800＜x＜4000．根据题意，得

　　（x－800）×14％＝420．　解得　 x＝3800．

　 ∴ 张老师的这笔稿费为3800元．

9．（1）设A型汽车每辆可装计算机x台，则B型汽车每辆可装计算机（x+15）台，根据题意得：，解得：（不合题意，舍去）．

　　　∴A型汽车每辆可装计算机45台， B型汽车每辆可装计算机60台．

（2）由（1）知，若单独用A型汽车，需车6辆，运费为2100元；若单独用B型汽车，需车5辆，运费为2000元．

若按题设要求同时使用A、B两种型号的汽车运送，设需用 A型汽车y辆，则需B型汽车（y＋1）辆．根据题意，得不等式：＜2000．

解这个不等式得 y＜.因汽车辆数为正整数，所以y＝1或2．

当y＝1时，y＋1＝2，则45×1＋60×2=165（台）＜270（台），不合题意；

当y＝2时，y＋1＝3，则45×2＋60×3=270，此时运费为1900元．

方程思想在解决实际问题中的作用

方程和方程组是解决实际问题的重要工具．在实际问题中，只要有等量关系存在，我们就可以用方程的思想加以解决．在我们的生活中，只要我们善于用数学知识去观察和分析问题，就能随时随地都看到方程的影子，体会到数学的价值．因此，近几年在各省市的中考试题中，考查学生用方程思想解决实际问题能力的试题都占到了相当大的比例．下面结合2004年中考试题进行说明．

一、发生在自己身边的问题

例1　（2004浙江绍兴中考题）初三（2）班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其它两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出A、B两个超市今年“五一节”期间的销售额．

云形标注: 两超市销售额去年共为150万元，今年共为170万元

云形标注: B超市销售额今年比去年增加10％云形标注: A超市销售额今年比去年增加15％

分析：本例考查学生从图表中搜集数据和运用方程解决实际问题的能力．

　解：设A、B两个超市去年“五一节”期间的销售额分别为x万元和y万元，根据图表信息知，A、B两个超市今年 “五一节”期间的销售额分别为（1＋15％）x万元和（1＋10％）y万元，根据题意，得

　　　　　　解得

　　　　∴（1＋15％）x＝115，1＋10％）y＝55．

答：A、B两个超市去年“五一节”期间的销售额分别为115万元和55万元．

评析：本题以学生对话的方式，把我们日常生活中经常光顾的超市的经营情况，以图文框的形式呈现给大家，彻底改变了传统的列方程（组）解应用题的说教模式，给学生以亲切、自然之感，体现了新课标的基本理念．

同步链接：请同学们尝试完成下面问题：

1．2004江苏南京中考题　某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．

2．2004陕西中考题　足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分．请问：

（1）前8场比赛中,这支球队共胜了多少场？

（2）这支球队打满14场比赛,最高能得多少分？

（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场才能达到预期目标？

提示：1．每盒茶叶的进价为40元．

2．（1）设这个球队胜x场，则平了(8－1－x)场．根据题意，得3x＋(8－1－x)＝17．

解得x＝5．

所以前8场比赛中，这个球队共胜了5场．

（2）打满14场比赛，最高能得17+(14-8)×3=35分．

（3）由题意知，以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可．

∴胜不少于4场，一定达到预期目标，而胜3场、平3场，正好达到预期目标．

∴在以后的比赛中这个球队至要胜3场．

二、涉及国计民生的政策性问题

例2　（2004湖北郴州中考题）今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农

业税.某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同.

（1）求降低的百分率；

（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？

（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？

解：（1）设降低的百分率为x，则今年后的第一年人均上缴农业税为25（1－x）元，第二年人均上缴农业税为25(1－x)－25(1－x)x＝元，根据题意，得

　　　　＝16．　解得x₁＝0.2＝20％，x₂＝1.8(舍去)．

　　　（2）明年小红全家少上缴的农业税为　25×20％×4＝20（元）．

　　　（3）明年全乡少上缴的农业税为 16000×25×20％＝80000（元）．

评析：本题以我国政府关于减轻农民负担的政策为依据，结合具体实例提出问题．既起到了宣传国家政策方针的目的，又培养了学生应用方程思想解决实际问题的能力．此类问题是今后中考命题的发展方向之一．

同步链接：请同学们尝试完成下面问题：

1．2004江苏徐州中考题　我市某乡规定：种粮的农户均按每亩年产量750公斤、每公斤售价1.1元来计算每亩的年产值．年产值乘农业税的税率就是应缴的农业税，另外还要按农业税的20%上缴“农业税附加”（“农业税附加”主要用于村级组织的正常运转需要）．

（1）去年我市农业税的税率为7％，王老汉一家种了10亩水稻，他一共要上缴多少元？

（2）今年，国家为了减轻农民负担，鼓励种粮，降低了农业税税率，并且每亩水稻由国家直接补贴20元（可抵缴税款）．王老汉今年仍种10亩水稻，他掰着手指一算，高兴地说：“这样一减一补，今年可以比去年少缴497元．”请你求出今年我市的农业税的税率是多少？（要有解题过程）

2．2004山东青岛中考题　某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨

25%．小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元．已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6m³，求该市今年居民用水的价格．

提示：1．（1）693元；（2）4％．

2．可设该市去年居民用水的价格为x元/m³，则今年用水价格为（1＋25%）x元/m³，

　　根据题意，得．解得：x=1.8．

　　　经检验：x=1.8是原方程的解．．

三、优选方案类问题

例3 （2004湖北武汉中考题）某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标．竞标资料上显示：若由两对合作，6天可以完成，共需工程费用10200元；若单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费用比乙队多300元．工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节省资金的角度考虑，应选择哪个工程队？为什么？

解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需（x＋5）天，

根据题意，得．化简，得．