第8课 分式方程与二次根式方程
〖知识点〗
分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根
〖大纲要求〗
了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。
内容分析
1．分式方程的解法
(1)去分母法
用去分母法解分式方程的一般步骤是：
（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
(ii)解这个整式方程；
(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.
(2)换元法
用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．
2．二次根式方程的解法
(1)两边平方法
用两边平方法解无理方程的—般步骤是：
(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；
(ii)解这个有理方程；
(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．
在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．
(2)换元法
用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．
〖考查重点与常见题型〗
考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现 在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。
考题类型
1．（1）用换元法解分式方程＋＝3时，设＝y，原方程变形为（ ）
（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0
2．用换元法解方程x2＋8x＋＝23，若设y＝，则原方程可化为（ ）
（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0
3．若解分式方程－＝产生增根，则m的值是（ ）
（A）－1或－2 （B）－1或2 （C）1或2 （D）1或－2
4．解方程－＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整式为（ ）
（A）x－1 （B）x（x－1） （C）x （D）x＋1
5．先阅读下面解方程x＋＝2的过程，然后填空.
解：（第一步）将方程整理为x－2＋＝0；（第二步）设y＝，原方程可化为y2＋y＝0；（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时，＝0；解得 x＝2，当y＝－1时，＝－1，方程无解；（第五步）所以x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，能够判定方程＝－1无解原根据是＿＿。上述解题过程不完整，缺少的一步是＿＿＿。
考点训练：
1． 给出下列六个方程：1）x2－2x＋2＝0 2）＝1－x 3）＋＝0 4）＋2＝0 5）＋＝0 6）＋1＝具中有实数解的方程有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）多于2个
2． 方程－1＝的解是（ ）
（A）－1 （B）2或－1 （C）－2或3 （D）3
3． 当分母解x 的方程＝时产生增根，则m的值等于（ ）
（A）－2 （B）－1 （C）1. （D）2
4． 方程－＝0的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
5． 能使（x－5）＝0成立的x是＿＿＿＿＿＿。
6． 关于x的方程＝2x－15是根式方程，则m的取值范围是＿＿＿＿＿。
7． 解下列方程：
（1）－＝ （2）＋＝
（3）x2＋－（x－）＋1＝0
解题指导：
1．解下列方程：
（1）＝x （2）＋＝
（3）x2＋2x＋2＝ （4）－＝3
独立训练
1．方程＝0的解是_______. 方程＝－x的解是_______，方程＝的解是___________ .
2．设y＝ ____时，分式方程（）2＋5（）＋6＝0可转化为__________.
3．用换元法解方程2x－3x2＋4＋1＝0可设y ＝_________.从而把方程化为_____________.
4．下列方程有实数解的是（ ）
（A）＋5＝4 （B）＋＝0
（C）x2－2x＋4＝0 （D）＋＝
5．解下列方程.
(1) = （2）－＝＋1
（3）＝5－(a＋b≠0) （4）＋＝2
(5) 2x2－4x－3＝10 （6）4（x2＋）－5（x－）－14＝0
（7）3x2＋15x＋2＝2 (8) ＋＝
6．若关于x的方程- = +1产生增根，求m的值。
m为何值时，关于x的方程- = 会产生增根。
7. 当a为何值时，方程- + =0只有一个实数根。
方程+ = - 只有一个实数根，求a的值
8．当m为何值时，方程+ - = 0有解