中考数学分类讨论题型整编
【知识整合创新】
整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：
1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.
中考高分解密：
题型1.考查数学概念及定义的分类
规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
考题1．求函数
的图象与x轴的交点？
名师点拔：二次项系数中含有参数k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对
分类讨论.
解：（1）当
时，即
时，此函数为
，故其与x轴只有一个交点（1，0）
（2）当
时，此函数为二次函数，
.①当
时，Δ＝0.抛物线与x轴的交点只有一个.
，交点坐标为（1，0）②当
时，Δ＞0，函数与x轴有两个不同的交点.
.
综合所述：当或时，函数图像与x轴只有一个交点（1，0）；当
且时，函数图像与x轴有两个不同交点
.
变式思考1已知关于x的方程
（1）若方程有实数根，求k的取值范围
（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长.
易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC的腰，故应考虑其所有可能情况.
题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
考题2．（2004，河南）如图（1）边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数
的图像
随
的不同取值变化时，位于的右下方由和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）.
（1）当取何值时，S＝3？
（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与的函数图像.
名师点拔：设与正方形ABCD的交点为M，N，易知ΔDMN是等腰RtΔ，只有当MD＝
时，
，那么
，此时求得
，第（2）问中，随着的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论在不同取值时S的表达式，进而作出图像.
解：（1）设与正方形ABCD的交点为M，N，
∵的解析式，在x轴，y轴上所截线段相等.
∴ΔDMN为等腰RtΔDMN
∵S＝3，∴
又∵
∴MD＝ND＝，∴ON＝OD－DM＝4－，
即D点的坐标为（0，4－）
∴，即当时，S＝3.
（2）∵直线与
轴的交点M的坐标为
∴当0≤t＜2时，
当2≤t＜4时，
当t≥4时，S＝4
根据以上解析式，作图如下图（图2）
变式思考2 （2004 资阳）如图所示，在平行四边形ABCD中， 
，
∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿
的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.
①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.
易误点睛：讨论变量的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.
题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.
规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.
考题3．（2004 上海）在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝
，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），
设BO＝x，ΔAOC的面积为.
（1）求关于
的函数解析式，并写出函数的定义域.
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O
与圆A相切时ΔAOC的面积.
名师点拔：（1）过点A作AD⊥BC于D点 ∵AB＝AC＝
∴AD＝
=2
∴OC=BC－BO=4－x，故ΔAOC的面积与的函数解析式为
即
（2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠BAC=90° AB=AC= ∴BC=4 AD＝
BC＝2
∴
即
（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在RtΔAOD中，
∵⊙A的半径为1，⊙O的半径为x
∴①当⊙A与⊙O外切时
解得
此时，ΔAOC的面积
②当⊙A与⊙O内切时， 解得
此时ΔAOC的面积
∴当⊙A与⊙O相切时，ΔAOC的面积为
.
变式思考3（2003 南京）如图，直线
与x轴，y轴分别交于点M，N
（1）求M，N两点的坐标；
（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，
为半径的圆与直线相切，求点P的坐标.
易误点睛：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）
小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.
题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类
规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
考题4（2004 福州）如图所示，抛物线
的顶点为A，直线
与y轴的交点为B，其中m＞0.
（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标
（用含有m的代数式表示）
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数.
（3）动点Q在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由.
名师点拨：（1）对称轴
，顶点A（m,0）（2）把x＝m代入
得
∴点A（m,0）在直线上，直线与y轴相交，则B点的横坐标为：
；B点坐标为
，由三角函数知识可得：
即∠OAB＝60° （3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题。
解：（1）对称轴为直线，顶点A（m，0）
（2）把代入函数
∴点A（m,0）在直线上.当x=0时，
∴
∴∠OAB=60°
(3)如图，以P、Q、A为顶点的三角形与ΔOAB全等，共有以下4种情况：
①
∴
点的坐标为
，代入抛物线解析式得：
∴
∴
②
∴
∴
∴
③
∴
点的坐标为
代入抛物线解析式得：
∴
∴
④
∴
点的坐标为
，代入抛物线解析式得：
∴
∴
分析可知，
关于抛物线对称轴的对称点均符合题意；
综上所述，符合条件的P点分别为
；（0，3），
，
，
.
变式思考4（2003宁波）已知抛物线
的顶点坐标为（4，－1）与y轴交于点C（0，3），O是原点.
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）设此抛物线与x轴的交点A、B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点，使以O，B，P为顶点的三角形与ΔAOC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
易误点睛：解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.
中 考 零 距 离
一、选择题
1．若m为实数，则点P（m－2，m+2）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．相交两圆公共弦长为6，两圆的半径分别为
，5，则这两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B．2或6 C．7 D．1或7
3．（2004，河南）如果关于x的方程
的两个根的差为1，那么m等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．平面上A、B两点到直线的距离分别是
，则线段AB的中点C到直线的距离是（ ）
A．2 B．
C．2或 D．不能确定
5．已知
是完全平方式，则m的值是（ ）
A．－3 B．10 C．－4 D．10或－4
二、填空题
6．已知AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，且AB＝2，AC＝，AD＝1，则∠CAD＝＿＿＿＿＿＿＿.
7．已知AB、CD是⊙O的两条平行线，AB＝12，CD＝16，⊙O的直径为20，则AB与CD之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿.
8．方程
的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.
9．（2004 上海）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于＿＿＿＿＿＿＿＿.
10．（2004 沈阳）已知ΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A和C为圆心作⊙A和⊙C，且⊙C与直线AB不相交，⊙A与⊙C相切，设⊙A的半径为r，那么r的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
11．已知
，则
的值等于＿＿＿＿＿＿＿.
12．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第＿＿＿＿＿象限.
三、解答题
13．（2004 广东）已知实数a，b分别满足
的值.
14．（2004 黑龙江）在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm，宽16cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.
15．（2004 芜湖）在钝角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点，且Ad与DC的长度为
方程的两个根，⊙O是△ABC的外接圆，如果BD长为
.求△ABC的外接圆⊙O的面积.
16．（2003 烟台）在直角坐标系中，有以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1,1）为顶点的正方形，设正方形在直线y＝x上方及直线
y=－x+2a上方部分的面积为S，（1）求
时，S的值.（2）a在实数范围内变化时，求S关于a的函数关系式.
17．(2004 黄冈)在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，4），C（－1，0），点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边）点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合）直线MP与y轴交于点G，MG＝BN.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式.（2）求点M的坐标.
（3）设ON＝t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.
（4）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由.
变式思考答案
1．解：（1）∵方程有实数根.∴①当k＝0时，原方程变为
，方程有实数根.
②当
时，
，解之得
，∴
故k的取值范围是.
（2）①若b=c，则
，解得
，此时方程的根为b＝c＝2，又∵a＝3，满足三角形三边关系，∴
②若a=b或a=c，则
，∴
，此时方程另一根为：
，满足三角形三边关系，∴
.
2．（1）当点P运动2秒时，AP＝2cm，由∠A＝60°，知AE＝1，PE＝.∴
.
（2）①（i）当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ＝t，AF＝
，QF＝
，AP＝t+2，AG＝1+，PG＝
.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
.
（ii）当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动，设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ＝t，AF＝，DF＝4－，QF＝
，BP＝t－6，
CP＝10－t，PG＝（10－t）.
而BD＝
，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
.
（iii）当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动，设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ＝20－2t，OF＝（20－2t），CP＝10－t，PG＝（10－t）.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
.
故S关于t的函数关系式为
②（附加题）当0≤t≤6时，S的最大值为
；
当6≤t≤8时，S的最大值为
.
当8≤t≤10时，S的最大值为
所以当t＝8时，S有最大值为.
3．解：（1）当x＝0时，y＝4. 当y＝0时，
，∴x＝3.
∴M（3，0），N（0，4）
（2）①当点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙与直线相切于点A，连接A，则A⊥MN.
∴∠AN＝∠MON＝90°，∵∠NA=∠MNO，∴△AN∽△MON，∴
在Rt△OMN中，OM＝3，ON＝4，∴MN＝5.
又∵
，∴
，∴点坐标是（0，0）
②
点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得点坐标是（0，0）
③当在x轴上，并且在M点的右侧时，设⊙与直线相切于点B，连接
，则
∴OA//. ∵OA＝，∴
.
∴
，∴点坐标是（6，0）
④当点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得
.
∴
. ∴点坐标是（0，8）
综上，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）.
4．解：（1）可设
. ∵交y轴于点C（0，3），∴3＝16a－1，∴
.
∴抛物线的解析式为
，即
.
（2）存在
当y＝0时，则
，∴
∴A（2，0），B（6，0）.
设P（0,m），则OP＝
. 在△AOC与△BOP中，
①若∠OCA＝∠OBP，则△BOP∽△COA，∴
.
OP＝
，∴
.
②若∠OCA＝∠OPB，则△BOP∽△AOC，∴
.
，∴
.
∴存在符合题意的点P，其坐标为（0，4）、（0，－4）、（0，9）或（0，－9）
中考零距离答案
一、选择题
1．C 2．D 3．C 4．C 5．D
二、填空题
6．15°或105° 7．14或2 8．3 9．4或5 10．
11．
12．三
三、解答题程
13．解：若
，则可知
为方程
的两实数根，由韦达定理得a+b＝－2，ab＝－2. ∴
若
，则解关于a，b的方程分别得
.
14．解：分三种情况计算：
（1）当AE＝AF＝10cm时，（如图1），
（2）当AE＝EF＝10cm时（如图2），
（3）当AE＝EF＝10cm时（如图3），
.
15．解：∵AD与DC的长度为
的两根 ∴有两种情况
①AD＝3，DC＝4 ②AD＝4，DC＝3
由勾股定理：求得AC＝5，连接AO并延长交⊙O于E点，
连接BE∴∠ABE＝90° 又∵∠E＝∠C
∴△ABE∽△ADC，
∴
16．解：（1）当时，如图1，
直线
的交点是
∴
（2）①当
时，如图2，
△ADC的面积就是S，
∴
②当－1≤a＜0时，如图3，
直线
的交点是E（
，）
∴EG＝（1－
）＝1+a AF＝2（1+a）
③当0≤a＜1时，如图4，
直线
的交点是E（a，a）
∴EG＝1－a CF＝2（1－a）
∴
④当a≥1时，如图5，S＝0
∴S关于a的函数关系式为
17．（1）设所求抛物线的解析式为
.
由题意，得：
解得：
∴所求的解析式为
.
（2）依题意，分两种情况：
①当点M在原点的左边（如图1）时，
在Rt△BON中，∠1+∠3＝90°
∵MP⊥BN，∴∠2+∠3＝90°
在Rt△BON和Rt△MOG中，
∴Rt△BON≌Rt△MOG. ∴OM＝OB＝4
∴M点坐标为（－4，0）
②当点M在原点的右边（如图2）时，同理可证：OM＝OB＝4.
此时M点的坐标为（4，0）
∴M点的坐标为（－4，0）或（－4，0）
（3）图1中，Rt△BON≌Rt△MOG. ∴OG＝ON＝t.
∴S＝
（其中0＜t＜4）
图2中，同理可得S＝2t，其中t＞4.
∴所求的函数关系式为S＝2t.
t的取值范围为t＞0且t 
4.
（4）存在点R，使△ORA为等腰三角形.
其坐标为：
.