初中数学竞赛模拟试题(1)
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．方程
的所有整数解的个数是（
）个
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
2．设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且
．若在边AC上取一点E，
使四边形DECB的面积为
，则
的值为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．如图所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长（ ）
（A）等于4 （B）等于5 （C）等于6 （D）不能确定
4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设
为整数，当直线
与直线
的交点为整点时，的值可以取（
）个
（A）8个 （B）9个 （C）7个 （D）6个
5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分．
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．当
分别等于
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
时，计算代数式
的值，将所得的结果相加，其和等于
．
7．关于的不等式
＞
的解是＜
，则关于的不等式
＜0的解为
．
8．方程
的两根都是非零整数，且
，则
＝ ．
9．如图所示，四边形ADEF为正方形，ABCD为等腰直角三角形，D在BC边上，△ABC的面积等于98，BD∶DC＝2∶5．则正方形ADEF的面积等于 ．
10．设有
个数
，
，…，
，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的一个，且
…
，
…
，则
…
的值是
．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．如图，凸五边形ABCDE中，已知S△ABC＝1，且EC∥AB，AD∥BC，BE∥CD，
CA∥DE，DB∥EA．试求五边形ABCDE的面积．
12．在正实数范围内，只存在一个数是关于的方程
的解，求实数的取值范围．
13．如图，一次函数的图象过点P（2，3），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，求△AOB面积的最小值．
14．预计用1500元购买甲商品个，乙商品
个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．
（1）求、的关系式；
（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求、的值．
参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．B 4．A 5．C
二、填空题
6．6 7．
8．－202 9．116 10．－125
三、解答题
11．∵ BE∥CD，CA∥DE，DB∥EA，EC∥AB，AD∥BC，
∴ S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝S△ACB＝S△ACF＝1．
设S△AEF＝，则S△DEF＝
，
又△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等，
所以，
，而△DEF∽△ACF，则有
．
整理解得 
．
故SABCDE＝3S△ABC＋S△AEF＝
．
12．原方程可化为
，①
（1）当△＝0时，
，
满足条件；
（2）若
是方程①的根，得
，
．此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根
；
（3）当方程①有异号实根时，
，得
，此时原方程也只有一个正实数根；
（4）当方程①有一个根为0时，
，另一个根为
，此时原方程也只有一个正实根。
综上所述，满足条件的的取值范围是或或
．
13．解：设一次函数解析式为
，则
，得
，令
得
，则OA＝
．
令
得
，则OA＝
．
所以，三角形AOB面积的最小值为12．
14．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为
元和元，则原计划是
， ①
由甲商品单价上涨1. 5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得
．②
再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得
， ③
由①、②、③得
|
④－⑤×2并化简，得
．
（2）依题意，有205＜
＜210及，54＜＜
，
由是整数，得
，从而得
．
答：（1）、的关系；
（2）预计购买甲商品76个，乙商品55个．
初中数学竞赛模拟试题(2)
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．已知
，
，则
＝（
）
（A）4 （B）0 （C）2 （D）－2
2．方程
的实根的个数为（
）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，△AOD的面积为4，
△BOC的面积为9，则梯形ABCD的面积为（ ）
（A）21 （B）22 （C）25 （D）26
4．已知⊙O1与⊙O2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（ ）个半径为3的圆与它们都相切．
（A）2 （B）4 （C）5 （D）6
5．一个商人用
元（是正整数）买来了台（为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则的最小值是（
）
（A）11 （B）13 （C）17 （D）19
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．已知等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积为 ．
7．△ABC的三边长、、
满足
，
，则△ABC的周长等于
．
8．若
表示不超过的最大整数，且满足方程
，则＝
．
9．若直线
与直线
的交点坐标是（，），则
的值是
．
10．抛物线
向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C，则C关于轴对称的抛物线解析式是
．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，D为AB的中点，E为AC边上一点，且∠AED＝90°＋∠C，求CE的长．
12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？
13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为、
，二次函数
的图象与轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且S△ABC≤1．
（1）求
的取值范围；（2）求出所有这样的两位数
．
14．已知是正整数，且
与
都是完全平方数．是否存在，使得
是质数？如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B 2．A 3．C 4．D 5．C
二、填空题
6．8cm2或32cm2 7．14 8．
9．2010 10．
三、解答题
11．作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的平分线交AB于G，交BF于H．
则∠AED＝∠AFB＝∠CHF＋∠C。
因为∠AED＝90°＋∠C，所以∠CHF＝90°＝∠CHB。
又∠FCH＝∠BCH，CH＝CH。
∴ △FCH≌△BCH。
∴ CF＝CB＝4，
∴ AF＝AC－CF＝7－4＝3。
∵ AD＝DB，BF∥DE，
∴ AE＝EF＝1.5，
∴ CE＝5.5．
12．设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则
∴ 
， 解得 
．
∵ S为正整数，∴ S＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车
辆．此时
，6+
=11.5（时）
答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．
13．（1）设A（，0），B（
，0），（
），则、是方程
的两个不同的实根，所以
，
，
．
又
（
表示点C的纵坐标），所以
S△ABC＝
，
从而
，
．
故0＜．
（2）由（1）知，
1，2，3，4．
因为
被4除余数为0或1，故被4除余数也是0或1，从而1，或4．这两个方程中符合题意的整数解有
故所有两位数为23，65，34，86．
14．设
，
，其中，都是正整数，则
．
若
，则不是质数．
若
，则
，于是
，矛盾．
综上所述，不存在正整数，使得是质数．
初中数学竞赛模拟试题(3)
一、选择题（每小题6分，共30分）
1.在一个凸边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160°的多边形，则的值为（
）
（A）只能为12 （B）只能为13 （C）只能为14 （D）以上都不对
2.已知关于的方程
有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是（
）
（A）＝0 （B）≥0 （C）＝－2 （D）＞0或＝－2
3．若正实数、满足
，则
的最小值为（
）
（A）－7 （B）0 （C）9 （D）18
4．如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB，下列结论：（1）DC·AB＝AC·BC；
（2）
； （3）
；（4）AC＋BC＞CD＋AB．
其中正确的个数是（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
5．设是正整数，0＜≤1，在△ABC中，如果AB＝
，BC＝
，CA＝
，BC边上的高AD＝，那么，这样的三角形共有（
）
（A）10个 （B）11个 （C）12个 （D）无穷多个
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．实数、、
满足：
，
，则
的值为
．
7．如果对于任意两个实数、，“
”为一种运算，定义为
，则函数
（－3≤≤3）的最大值与最小值的和为
．
8．已知四个正数、、、
满足＜＜＜，它们两两的和依从小到大的次序分别是：23、26、29、93、、，则
的值为
．
9．已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO＝150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 ．
10．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是 ．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．实数与使得，
，
，
四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（，）．
12．如图，△ABC的面积为S，作直线
∥BC，分别交AB、AC与点D、E，若△BED的面积为K．求证：K≤S．
13．如图，在直角坐标系内有两个点A（－1，－1），B（2，3），若M为x轴上一点，且使MB－MA最大，求M点的坐标，并说明理由．
 |
14．在△ABC中，AB＝40，AC＝60，以A为圆心，AB长为半径作圆交BC与D，且D在BC边上，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．
参考答案
一、选择题
1．D 2．D 3．D 4．B 5．C
一、填空题
6．0 7．37 8．195 9．（1，
），（－1，） 10．
或
二、解答题
11．显然，
，所以
．
依题意，有
或
，于是
（1）
解得或
．
当时，（舍去）；
当
时，
，无解；
当
时，
，∴，∴
（2）
解得
故数对（，）为（，－1），（
，－1）．
12．设
，
∵
∥BC，∴ 
，
由
，得
∴
．
又
．
∴
．
13．作点A关于轴的对称点A＇，作直线BA＇交轴于点M，由对称性知MA＇＝MA，MB－MA＝MB－MA＇＝A＇B．
若N是轴上异于M的点，则NA＇＝NA，这时NB－NA＝NB－NA＇＜
A＇B＝MB－MA．
所以，点M就是使MB－MA的最大的点，MB－MA的最大值为A＇B．
设直线A＇B的解析式为
，则
解得
，
．
即直线A＇B的解析式为
，令，得
．
故M点的坐标为（
，0）．
 |
14．设BD＝，CD＝，（，为正整数）
作AE⊥BD，垂足为E，则AB＝AD＝40，BE＝DE＝
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵ 20＜＜100，
∴
只有
或
故BC的长为50或80．
初中数学竞赛模拟试题(4)
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．若、都是质数，且
，则的值等于（
）
（A）2004 （B）2007 （C）2005 （D）2008
2．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是（ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
3．已知
，且－2≤≤1，则的最大值与最小值的和是（
）
（A）－1 （B）2 （C）4 （D）5
4．在△ABC中，若∠A＝58°，AB＞BC，则∠B的取值范围是（ ）
（A）0°＜∠B＜64° （B）58°＜∠B＜64°
（C）58°＜∠B＜122° （D）64°＜∠B＜122°
5．直线
与轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，那么，的取值范围是（ ）
（A）≤1 （B）0＜≤1 （C）－1≤≤1 （D）≤－1或≥1
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．若实数满足
＜＜
，则不等式
＞
的解集为 ．
7．设、是方程
的两个实根，且
．则的值是 ．
8．在直角坐标系中，轴上的动点M（，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP＋MQ取最小值时，点M的横坐标＝
．
9．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5．则这个等边三角形的面积是 ．
10．若正整数、、满足
，
，则
的最大值是
．
三、解答题（每小题15分，共60分）
| A | B | C | |
| 甲 | 10 | 5 | 6 |
| 乙 | 4 | 8 | 15 |
11．甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45t，向B提供75t，向提供40t．甲基地可安排60t，乙基地可安排100t．甲、乙与A、B、C的距离千米数如表1，设运费为1元／（km·t）．问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值．
12．已知为质数，使二次方程
的两根都是整数．求出的所有可能值．
13．已知CA＝CB＝CD，过A，C，D三点的圆交AB于点F．求证：CF为∠DCB的平分线．
 |
14．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回．在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？
参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．B 4．A 5．C
二、填空题
6．
7．1 8． 9．
10．1008．
三、解答题
11．设乙基地向A提供
，向B提供
，向C提供
，则甲基地向A提供
，向B提供
，向C提供
．
依题意，总运费为
．
∵0≤≤100，0≤≤45，当且仅当
，
时，
有最小值，则
（元）．
答：安排甲基地向A提供0，向B提供20，向C提供40；安排乙基地向A提供45，向B提供55，向C提供0，可使总运费最低，最小的总运费为960元．
12．因为已知的整系数二次方程有整数根，所以
△＝
为完全平方数，
从而，
为完全平方数．
设
，注意到
，故
，且为整数．
于是，
，则
，
中至少有一个是5的倍数，即
（为正整数）．
因此，
，
．
由是质数，
＞1，知
，
3或7．
当
时，已知方程变为
，解得
，
；
当
时，已知方程变为
，解得
，
．
所以3或7．
13．连结DF，BD，
∵ AC＝CB＝CD，
∴∠A＝∠2，∠CDB＝∠CBD，
∵∠A＝∠1，∴∠1＝∠2，∴∠FDB＝∠FBD，∴DF＝BF．
又∠1＝∠2，CD＝CB，∴△DCF≌△BCF，∴∠DCF＝∠BCF．
即CF为∠DCB的平分线．
 |
14．设考察队到生态区用了天，考察了天，则
，即
．
∴ 
（为整数）
由
解得
，所以
．
于是，
答：科学考察队在生态区考察了23天．