第四讲 反比例函数
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一、反比例函数
一、选择题
1.若M
、N
、P
三点都在函数
（ｋ＜0＝的图象上，则
的大小关系为（ ）
A、
＞
＞
B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞
2.已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=
(k2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2，-1)，则它的另一个交点的坐标是
A. (2，1) B. (-2，-1) C. (-2，1) D. (2，-1)
3.在同一平面直角坐标系中，函数
的图像大致是
4.已知点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反
比例函数
的图象上，则
A. y1<y2<y3 B. y3<y2<y1 C. y3<y1<y2 D. y2<y1<y3
5.若点（3,4）是反比例函数
图象上一点，则此函数图象必须经过点（ ）.
（A）（2，6） （B）（2，-6） （C）（4，-3） （D）（3，-4）
6.反比例函数y= -
的图象位于 （
）
A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限
7.已知力F所作的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S之间关系的图象大致是( )
8.一次函数
与反比例函数
在同一直角坐标系内的大致图象是
A B C D
9.反比例函数y=
(k>0)在第一象限内的图象如图，
点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，
那么k的值是
(A)
1 (B)
2 (C) 4 (D)
10.若双曲线
经过点A（m，－2m），则m的值为（ C ）
A. 
B.3 C. 
D.
11.已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x之间的函数关系的图象大致是
A B C D
12.如图所示的函数图象的关系式可能是
A. y =
x B. y =
C. y =
x2 D. y
= 
13.函数y=
（k≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的
A、第一、三象限 B、第三、四象限
C、第一、二象限 D、第二、四象限
14.
如图4，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则．
A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3 C．S1<S3<S2 D．S1=S2=S3
（14题图） （15题图）
15.某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，图4表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )
A、
B、
C、
D、
16.在反比例函数(k<0)的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且
>
>0，则
的值为
A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 负数
17.若反比例函数
的图象经过点A（2，m），则m的值是
A. 
B.
C. 
D.
18.已知点A(1，5)在反比例函数y=
的图像上，则该反比例函数的解析式是
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=5x
19.已知反比例函数y＝
的图象在第二、四象限，则
的取值范围是
A．≤2 B．≥2 C．＜2 D．＞2
20.在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx2+2kx的图像大致是( )
21.已知k>0，则函数y=kx，
的图像大致是下图中的
22.当你将一把扇形扇子逐渐打开时，容易发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变化，那么下列函数中能正确描述这种变化的是
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数(b≠0) D．二次函数
二、填空题
1.试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 .
2.已知反比例函数y＝的图象经过点(1，2)，则k的值是_______。
3.双曲线y＝和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝____________。
4.已知反比例函数
，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为
。（写出满足条件的一个k的值即可）
5.写出一个图象分布在二、四象限内的反比例函数解析式
.
6.反比例函数
的图象经过点（2，－1），则k的值为
.
7.在电压一定的情况下，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，则I关于R的函数表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿。
8. 如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为_______________。
9.两个反比例函数
，
在第一象限内的图象如图所示, 点P1，P2，
P3，…，P2 005在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1， P2，P3，…，P2 005分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2 005（x2 005，y2 005），则 y2 005=________________．
（9题图）
10.如图,
、 
是等腰直角三角形,点
、
在函数
的图象上,斜边
、
都在
轴上,则点
的坐标是________________.
11.在某数学小组的活动中，组长为大家出了一道函数题：这是一个反比例函数，并且y随x的增大而减小.请你写山一个符合条件的函数表达式________________.
12.请你写出一个点坐标，使这点在反比例函数
的图象上，则这个点的坐标为 。
13.反比例函数y=
(m为常数)的图像如图所示，则m的取值范围是________________________。
14.反比例函数y = 的图象经过点（tan45°，cos60°），则k = ；
三、解答题
1.某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
| 年 度 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
| 投入技改资金z(万元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
| 产品成本(万元／件) | 7.2 | 6 | 4.5 | 4 |
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．
① 预计生产成本每件比2004年降低多少万元?
② 如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）?
2.已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的点，
过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝1＋.
（1）当n＝1时，求点A的坐标；
（2）若OP＝AP，求k的值；
(3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值.
3.【05黄石】一次函数y=x+b与反比例函数
图像的交点为A(m,n)，且m,n(m<n)
是关于x的一元二次方程kx2+(2k-7)x+k+3的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m,n为常数。
(1)求k的值；
(2)求A的坐标与一次函数解析式。
参考答案
一、选择题
1.B 2. A 3.D 4.D 5. A 6.D 7.C 8.C
9. B 10.C 11.D 12.D 13.D 14.D 15.A 16. A
17.C 18.C 19.C 20.D 21.C 22.A
二、填空题
1.答案不唯一，比如
等 2. 2 3.－2
4.答案不唯一，只要符合k＞2即可 5.y=－
(答案不唯一)
6.－2
7. I＝ 8.
9.
10.（
,0）
11.答案不惟一，例如
，写出的关系式只要满足x·y值为正数即可
12.答案不唯一（只要横坐标与纵坐标乘积为－2都对）
13. 
14.
三、解答题
1、(1)设其为一次函数，解析式为
当
时，
； 当
=3时，
6．
解得
，
∴一次函数解析式为
把
时，
代人此函数解析式，左边≠右边． ∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为。 当时，，
可得
解得
∴反比例函数是
。
验证：当=3时，
，符合反比例函数。
同理可验证
4时，，
时，
成立。
可用反比例函数表示其变化规律。
(2)解：①当5万元时，，
。 
（万元），
∴生产成本每件比2004年降低0．4万元。
②当
时，
。 ∴
∴
（万元）
∴还约需投入0.63万元．
2、过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m
（1）当n＝1时， s＝ ∴ a＝＝
（2）解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形
∴ m＝n＝ ∴ 1＋＝·an
即n4－4n2＋4＝0
∴ k2－4k＋4＝0
∴ k＝2
解2：∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n
设△OPQ的面积为s1 则：s1＝ ∴ ·mn＝(1＋)
即：n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0
∴ k＝2
（3）解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP
设：△OPQ的面积为s1，则＝
即： ＝
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0
∴k＝2或k＝(舍去) ∴当n是小于20的整数时，k＝2.
∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋
又m＞0，k＝2， ∴ n是大于0且小于20的整数
当n＝1时，OP2＝5
当n＝2时，OP2＝5
当n＝3时，OP2＝32＋＝9＋＝
当n是大于3且小于20的整数时，
即当n＝4、5、6、…、19时，OP2得值分别是：
42＋、52＋、62＋、…、192＋
∵192＋＞182＋＞…＞32＋＞5
∴ OP2的最小值是5.
解2： ∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋＝n2＋＝(n－)＋4
当n＝ 时，即当n＝时，OP2最小；
又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5
∴ OP2的最小值是5.
解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ
＝ ＝
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0
∴k＝2或k＝(舍去)
解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ
＝ 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0
∴k＝2或k＝(舍去)
解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP ∴ ＝ ∴ OP2＝OQ·OA
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0
∴k＝2或k＝(舍去)
3（1）由方程有两个不相等的实数根，得：
△=
=
∴
又∵k为非负整数 ∴k=0，1
当k=0时，方程kx2+(2k-7)x+k+3=0不是一元二次方程，与题设矛盾
∴k=1
（2）当k=1时，方程x2-5x+4=0 ∴
∵m<n ∴m=1 n=4 即A点的坐标为（1，4）
把A（1，4）坐标代入y=x+b得b=3
∴所求函数解析式为y=x+3